九年級數(shù)學下冊第29章幾何的回顧29.2反證法課件

1、29.2 反 證 法 課題學習 中點四邊形1.1.敘述反證法的概念敘述反證法的概念證明命題時證明命題時, ,不是直接從題設推出結論不是直接從題設推出結論, ,而是從命題結論的而是從命題結論的_出發(fā)出發(fā), ,引出引出_,_,從而證明命題成立從而證明命題成立, ,這樣的證明方法叫做反證這樣的證明方法叫做反證法法反面反面矛盾矛盾2.2.總結反證法證明命題的一般步驟總結反證法證明命題的一般步驟(1)(1)假設結論的假設結論的_是正確的；是正確的；(2)(2)通過邏輯推理通過邏輯推理, ,推出與公理、已證的定理、定義或已知條件推出與公理、已證的定理、定義或已知條件_；(3)(3)由矛盾說明假設由矛盾說明

2、假設_,_,從而得到從而得到_正確正確. .反面反面相矛盾相矛盾不成立不成立原結論原結論3.3.中點四邊形中點四邊形順次連結任意四邊形各邊的順次連結任意四邊形各邊的_所組成的四邊形稱為中點四邊所組成的四邊形稱為中點四邊形形【點撥點撥】中點四邊形的每條邊都是原四邊形對角線的一半中點四邊形的每條邊都是原四邊形對角線的一半, ,且與且與相應的對角線平行相應的對角線平行中點中點 反證法反證法【例例1 1】(8(8分分) )已知：已知：ABCABC中中,AB,ABACAC，求證：求證：B,CB,C必為銳角必為銳角. .易錯提醒易錯提醒: :BB與與C C必為銳角的反面是兩角為直角或鈍角！必為銳角的反面是

3、兩角為直角或鈍角！【規(guī)范解答規(guī)范解答】ABABAC,B=C,AC,B=C,1 1分分假設假設B,CB,C不是銳角不是銳角, ,則可能有兩種情況：則可能有兩種情況：B=CB=C= =9090或或B=CB=C9090. .3 3分分(1)(1)若若B=CB=C= =9090, ,則則A AB BC C180180, ,這與三角形內(nèi)這與三角形內(nèi)角和定理矛盾角和定理矛盾. .5 5分分(2)(2)若若B=CB=C9090, ,則則 A AB BC C180180, , 這與三角這與三角形內(nèi)角和定理矛盾形內(nèi)角和定理矛盾. .7 7分分所以假設不能成立所以假設不能成立. .故故B,CB,C必為銳角必為銳角

4、. .8 8分分【互動探究互動探究】直接法與反證法的區(qū)別是什么？直接法與反證法的區(qū)別是什么？提示：提示：直接法是從已知出發(fā)直接法是從已知出發(fā), ,根據(jù)公理、定義、定理直接推斷結根據(jù)公理、定義、定理直接推斷結論正確性的方法論正確性的方法, ,而反證法是由否定結論得出矛盾而反證法是由否定結論得出矛盾, ,從而推斷結從而推斷結論正確的方法論正確的方法【規(guī)律總結規(guī)律總結】適宜使用反證法的四種情況適宜使用反證法的四種情況1.1.結論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；結論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；2.2.有關結論是以有關結論是以“至多至多”或或 “至少至少”的形式出現(xiàn)的一的形式出現(xiàn)的一類命題；類命題；

5、3.3.關于唯一性關于唯一性, ,存在性的問題；存在性的問題；4.4.結論的反面是比原結論更具體更容易研究的命題結論的反面是比原結論更具體更容易研究的命題【跟蹤訓練跟蹤訓練】1.1.用反證法證明用反證法證明“若若O O的半徑為的半徑為r,r,點點P P與圓心的距離與圓心的距離d d大于大于r,r,則則點點P P在在O O的外部的外部”. .首先應假設首先應假設( )( )(A)d(A)dr r(B)(B)點點P P在在O O外外(C)dr(C)dr(D)(D)點點P P在在O O上或點上或點P P在在O O內(nèi)內(nèi)【解析解析】選選D.D.命題命題“若若O O的半徑為的半徑為r,r,點點P P與圓心

6、的距離與圓心的距離d d大于大于r,r,則點則點P P在在O O的外部的外部”的結論為：點的結論為：點P P在在O O的外部的外部. .若用反證法證若用反證法證明該命題明該命題, ,則首先應假設命題的結論不成立則首先應假設命題的結論不成立, ,即點即點P P在在O O上或點上或點P P在在O O內(nèi)內(nèi). .【高手支招高手支招】反證法證明問題的關鍵是正確作出假設反證法證明問題的關鍵是正確作出假設, ,并找到合并找到合理的矛盾之處；有些命題的反面不止一種情況理的矛盾之處；有些命題的反面不止一種情況, ,證明時應考慮全證明時應考慮全面面, ,并分別推出矛盾并分別推出矛盾2.2.用反證法證明用反證法證明

7、“若若|a|b|,|a|b|,則則ab.”ab.”時時, ,應假設應假設_. _. 【解析解析】 a,b a,b的等價關系有的等價關系有a=b,aba=b,ab兩種情況兩種情況, ,因而因而abab的反面的反面是是a=b,a=b,因此用反證法證明因此用反證法證明“abab”時時, ,應先假設應先假設a=ba=b答案：答案：a=ba=b 中點四邊形中點四邊形【例例2 2】已知：如圖已知：如圖, ,在四邊形在四邊形ABCDABCD中中,E,E為為ABAB上一點上一點, ,ADEADE和和BCEBCE都是等邊三角形都是等邊三角形, ,AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中點分別為的中點分別

8、為P,Q,M,N,P,Q,M,N,試判試判斷四邊形斷四邊形PQMNPQMN為怎樣的四邊形為怎樣的四邊形, ,并證明你并證明你的結論的結論. .【解題探究解題探究】1.1.試說明試說明MNMN和和PQPQ的關系的關系. . 答：答：平行且平行且相等相等. .理由如下：理由如下：如圖如圖, ,連結連結ACAC，BD.PQBD.PQ為為ABCABC的中位線的中位線, ,PQ PQ ACAC. . 同理同理MN MN ACAC. . MN MN PQPQ 2.2.由知由知MN MN PQPQ,四邊形四邊形PQMNPQMN為為平行四邊形平行四邊形1212_3.AC3.AC和和BDBD相等嗎？為什么？相等

9、嗎？為什么？答：答：ACAC和和BDBD相等相等, , 在在AECAEC和和DEBDEB中中, ,AED=CEB=60AED=CEB=60, ,AED+DEC=CEB+DEC,AED+DEC=CEB+DEC,即即AECAEC= =DEBDEB. .又又AE=AE=DEDE,EC=,EC=EBEB, ,AECAECDEBDEB，ACACBDBD4.MN4.MN和和PNPN相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？答：答：MNMN和和PNPN相等相等, ,由知由知MN= ACMN= AC，同理可證，同理可證PN= BD,PN= BD,由知由知ACACBDBD,MN,MN= =PN.PN.5.5.結論：由可知

10、四邊形結論：由可知四邊形PQMNPQMN為為菱形菱形1212【規(guī)律總結規(guī)律總結】用對角線判斷中點四邊形用對角線判斷中點四邊形1.1.如果原四邊形的對角線既不相等也不垂直如果原四邊形的對角線既不相等也不垂直, ,則其中點四邊形為則其中點四邊形為平行四邊形；平行四邊形；2.2.如果原四邊形對角線互相垂直如果原四邊形對角線互相垂直, ,則其中點四邊形為矩形則其中點四邊形為矩形, ,如菱如菱形的中點四邊形是矩形；形的中點四邊形是矩形；3.3.如果原四邊形對角線相等如果原四邊形對角線相等, ,則其中點四邊形為菱形則其中點四邊形為菱形, ,如矩形的如矩形的中點四邊形是菱形；中點四邊形是菱形；4.4.如果原

11、四邊形對角線互相垂直且相等如果原四邊形對角線互相垂直且相等, ,則其中點四邊形為正方則其中點四邊形為正方形形, ,如正方形的中點四邊形是正方形如正方形的中點四邊形是正方形. .【跟蹤訓練跟蹤訓練】3.(20113.(2011張家界中考張家界中考) )順次連結任意一個四邊形的四邊中點所順次連結任意一個四邊形的四邊中點所得的四邊形一定是得的四邊形一定是( )( )(A)(A)平行四邊形平行四邊形 (B)(B)矩形矩形(C)(C)菱形菱形 (D)(D)正方形正方形【解析解析】選選A.A.根據(jù)根據(jù)“順次連結任意一個四邊形的四邊中點所得順次連結任意一個四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形的四邊形是平

12、行四邊形”可知選可知選A.A.4.(20114.(2011宜昌中考宜昌中考) )如圖如圖, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ABCD,AD=BC,ABCD,AD=BC,點點E,F,G,HE,F,G,H分別是分別是AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中點的中點, ,則下列則下列結論一定正確的是結論一定正確的是( )( )(A)HGF=GHE (B)GHE=HEF(A)HGF=GHE (B)GHE=HEF(C)HEF=EFG (D)HGF=HEF(C)HEF=EFG (D)HGF=HEF【解析解析】選選D.D.因為點因為點E,F,G,HE,F,G,H分別是等腰梯形的分別是等腰梯形的A

13、B,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的的中點中點, ,所以四邊形所以四邊形EFGHEFGH為菱形為菱形, ,根據(jù)菱形的性質(zhì)可以判斷根據(jù)菱形的性質(zhì)可以判斷HGF=HEF.HGF=HEF.5.5.觀察探究，完成下面各題觀察探究，完成下面各題. .如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD中，點中，點E,F,G,HE,F,G,H分別是邊分別是邊AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中的中點，順次連結點，順次連結E,F,G,HE,F,G,H，得到的四邊形，得到的四邊形EFGHEFGH叫中點四邊形叫中點四邊形. .(1)(1)請你探究并填空：請你探究并填空：當四邊形當四邊形ABCDABCD變

14、成平行四邊形時，它的中點四邊形是變成平行四邊形時，它的中點四邊形是_；當四邊形當四邊形ABCDABCD變成矩形時，它的中點四邊形是變成矩形時，它的中點四邊形是_ _ ；當四邊形當四邊形ABCDABCD變成菱形時，它的中點四邊形是變成菱形時，它的中點四邊形是_ _ ；當四邊形當四邊形ABCDABCD變成正方形時，它的中點四邊形是變成正方形時，它的中點四邊形是_ _ ；(2)(2)根據(jù)以上觀察探究，請你總結中點四邊形的形狀是由原四邊根據(jù)以上觀察探究，請你總結中點四邊形的形狀是由原四邊形的什么決定的？形的什么決定的？【解析解析】(1)(1)填空依次為平行四邊形，菱形，矩形，正方形填空依次為平行四邊形

15、，菱形，矩形，正方形. .(2)(2)中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的關系來決定的中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的關系來決定的. .1.1.證明命題證明命題“任何偶數(shù)都是任何偶數(shù)都是4 4的倍數(shù)的倍數(shù)”是假命題可舉反例的數(shù)字是假命題可舉反例的數(shù)字為為( )( )(A)3 (B)4 (C)8 (D)6(A)3 (B)4 (C)8 (D)6【解析解析】選選D.D.因為因為 3 3不是偶數(shù)不是偶數(shù), ,不符合條件不符合條件, ,故錯誤；故錯誤；4 4是偶數(shù)是偶數(shù), ,且能被且能被4 4整除整除, ,故錯誤；故錯誤；8 8是偶數(shù)是偶數(shù), ,且是且是4 4的的2 2倍倍, ,故錯誤；故錯誤；

16、6 6是偶數(shù)是偶數(shù), ,但是不能被但是不能被4 4整除整除, ,故選故選D.D.2.2.某花木場有一塊如等腰梯形某花木場有一塊如等腰梯形ABCDABCD的空地的空地( (如圖如圖) )，各邊的中點，各邊的中點分別是分別是E E，F(xiàn) F，G G，H H，用籬笆圍成的四邊形，用籬笆圍成的四邊形EFGHEFGH場地的周長為場地的周長為40 m40 m，則對角線，則對角線AC=_m.AC=_m.【解析解析】根據(jù)中位線定理易證中點四邊形根據(jù)中位線定理易證中點四邊形EFGHEFGH是平行四邊形，是平行四邊形，因為等腰梯形的對角線相等，即因為等腰梯形的對角線相等，即AC=BDAC=BD，同時可推證，同時可推

17、證EF=FGEF=FG，所，所以四邊形以四邊形EFGHEFGH是菱形是菱形. .已知菱形已知菱形EFGHEFGH的周長為的周長為40 m40 m，所以邊，所以邊EF=10 m.EF=10 m.所以所以AC=2EF=20 m .AC=2EF=20 m .答案：答案：20203.3.已知命題已知命題“在在ABCABC中中, ,若若ACAC2+BC+BC2ABAB2, ,則則C90C90”,”,要證要證明這個命題是真命題明這個命題是真命題, ,可用反證法可用反證法, ,其步驟為：假設其步驟為：假設_,_,根根據(jù)據(jù)_,_,一定有一定有_,_,但這與已知但這與已知_相矛盾相矛盾, ,因因此假設是錯誤的此

18、假設是錯誤的, ,于是可知原命題是真命題于是可知原命題是真命題. .【解析解析】C90C90的反面是的反面是C=90C=90, ,在直角三角形在直角三角形ABCABC中中, ,依依據(jù)勾股定理可知據(jù)勾股定理可知ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2, ,這與已知這與已知ACAC2 2+BC+BC2 2ABAB2 2相矛盾相矛盾. .答案：答案：C=90C=90勾股定理勾股定理 ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2 AC AC2 2+BC+BC2 2ABAB2 24.4.在四邊形在四邊形ABCDABCD中中, ,點點E,F,G,HE,F,G,H分別是邊分別是邊AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中點的中點, ,如如果四邊形果四邊形EFGHEFGH為菱形為菱形, ,那么四邊形那么四邊形ABCDABCD是是_(_(只要寫出一只要寫出一種即可種即可) )【解析解析】答案不唯一：只要是對角線相等的四邊形均符合要求答案不唯一：只要是對角線相等的四邊形均符合要求. .如：正方形、矩形、等腰梯形等如：正方形、矩形、等腰梯形等答案：答案：正方形正方形( (或矩形、等腰梯形，答案不唯一或矩形、等腰