圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題名稱：圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題教學(xué)內(nèi)容分析圓錐曲線在高考中占有重要的位置，也是高考命題的熱點(diǎn)之一.由于圓錐曲線內(nèi)容的豐富性，與其他章節(jié)知識(shí)交叉的綜合性，決定了圓錐曲線在高考中地位的特殊性. 定點(diǎn)、定值問題與運(yùn)動(dòng)變化密切相關(guān)，這類問題常與函數(shù)，不等式，向量等其他章節(jié)知識(shí)綜合，是學(xué)習(xí)圓錐曲線的一個(gè)難點(diǎn)，這就要求我們?cè)趫A錐曲線的復(fù)習(xí)中，要重視基礎(chǔ)知識(shí)和方法的學(xué)習(xí)，理解和掌握?qǐng)A錐曲線中的基本知識(shí)與方法，幫助學(xué)生自我構(gòu)架圓錐曲線思維導(dǎo)圖，實(shí)現(xiàn)對(duì)圓錐曲線的整體把握.學(xué)情分析在學(xué)習(xí)本節(jié)課以前，學(xué)生對(duì)圓錐曲線中的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法有了一定的理解和掌握，學(xué)生具備一定的探究問題、分析問題和解決問題的能力，但

2、對(duì)圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值等綜合問題的解決缺乏一個(gè)明確的“主線”，正確解答這類問題既要有較強(qiáng)的分析問題能力、幾何直觀能力還要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)，但這幾方面學(xué)生都比較欠缺，這也是本節(jié)課需要對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行培育的重要著眼點(diǎn).教學(xué)目標(biāo)（1）掌握?qǐng)A錐曲線中定點(diǎn)與定值問題的分析方法和解題策略；（2）通過師生互動(dòng)探究的過程，理解和掌握?qǐng)A錐曲線中的基本知識(shí)與方法在處理定點(diǎn)和定值綜合問題中的應(yīng)用，幫助學(xué)生自我構(gòu)架圓錐曲線思維導(dǎo)圖，實(shí)現(xiàn)對(duì)圓錐曲線章節(jié)的整體把握；（3）通過合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在團(tuán)隊(duì)協(xié)作中，自我探究，進(jìn)一步讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰投嘟嵌人伎?/p>

3、問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)掌握?qǐng)A錐曲線中定點(diǎn)與定值問題的分析方法；參變量的選取原則教學(xué)難點(diǎn)對(duì)圓錐曲線基本知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用；分析問題的能力和運(yùn)算能力的突破教學(xué)方法啟發(fā)式、討論探究式.教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）課題引入提問學(xué)生：前面我們主要學(xué)習(xí)了圓錐曲線的哪些內(nèi)容？這節(jié)課我們來(lái)利用這些知識(shí)和方法一起研究圓錐曲線中的一些綜合問題.通過提問，讓學(xué)生總結(jié)歸納之前學(xué)習(xí)的圓錐曲線的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，為接下來(lái)的定點(diǎn)和定值問題的探究作鋪墊.（二）范例講解例1：已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線橫過一定點(diǎn).教師活動(dòng)：讓學(xué)生思考，小組討論解決這一問題的策略.分析：

4、直線是變化的，本質(zhì)是由于過點(diǎn)的直線的變化引起的，所以可以設(shè)過點(diǎn)的直線的斜率為參變量，將直線的方程用斜率加以表示，由于定點(diǎn)是與參變量的變化是無(wú)關(guān)的，然后通過代數(shù)變形，將參變量分離出來(lái)，令參變量的系數(shù)為零，即可求出定點(diǎn).解法1：設(shè)，則，聯(lián)立，得 ，代入上式，得 ，不妨設(shè)，上式化為因?yàn)槎c(diǎn)與的變化無(wú)關(guān)，所以，即直線恒過點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，結(jié)論也成立綜上，直線橫過定點(diǎn)進(jìn)一步提問：這個(gè)定點(diǎn)能否通過分析，提前確定下來(lái)呢？解法2：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，再結(jié)合幾何直觀感受，猜想直線很可能過軸上一定點(diǎn).在直線方程中，令，得將代入上式，化簡(jiǎn)得 所以，直線橫過定點(diǎn)深入分析解題過程，與學(xué)生一起歸納定點(diǎn)問題的解決

5、策略：（1）找到變化的根源，探究這一變化是由哪些量的變化引起的；進(jìn)而引進(jìn)參變量，根據(jù)題意建立這些參變量與已知量之間的關(guān)系；要使參變量的變化對(duì)建立的關(guān)系沒有影響，其系數(shù)或整個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)就應(yīng)滿足一定的條件，而恰恰是這些條件決定了我們要探究的定點(diǎn)，這是解決定點(diǎn)問題的基本思路。（2）特殊到一般的思想可以先通過特殊情況找到這個(gè)定點(diǎn)，明確解決問題的目標(biāo)，然后就一般的情形進(jìn)行推理計(jì)算證明.例2：設(shè)點(diǎn)分別是雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),點(diǎn)是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn).問：是否存在常數(shù),使得對(duì)于任意的動(dòng)點(diǎn)恒成立？證明你的結(jié)論.教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生類比例1的解題策略進(jìn)行分析，大小的變化是由于動(dòng)點(diǎn)在雙曲線右支上移動(dòng)導(dǎo)致的，若存在滿足

6、條件的常數(shù)，則其值與動(dòng)點(diǎn)的變化無(wú)關(guān)，所以可以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為參變量；進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖形，可以把探究的倍數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為探究直線與直線斜率間的關(guān)系；解：由題意知：,（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知，所以（2）以下證明當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，即可，設(shè)，直線的斜率；直線的斜率，而又得代入上式，得 綜上，存在常數(shù),使得對(duì)于任意的動(dòng)點(diǎn)恒成立.回顧分析解題過程，歸納定值問題的解決策略：與解決定點(diǎn)問題類似，首先尋找變化的根源，引入合適的參變量，建立參變量與其他已知量的關(guān)系；其次，把幾何定值用引入的參變量表示；最后，利用代數(shù)恒等變形進(jìn)行化簡(jiǎn)或消參變量，求得定值?？筛鶕?jù)特殊情形，先確定定值，這對(duì)一般情形的推理指明了解

7、決方向.教師補(bǔ)充總結(jié)：定值問題的含義比較豐富：可以是一些幾何量：線段長(zhǎng)度，三角形面積，向量的數(shù)量積、線段的比例系數(shù)等，但都有有個(gè)共同特征，即：在變化過程中表現(xiàn)出來(lái)的不變量。立足于學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平，通過此中等難度的例題，與學(xué)生一起探究分析解決圓錐曲線中的定點(diǎn)問題的主線，并對(duì)解決策略和通性通法加以梳理，體會(huì)特殊到一般思想的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).與學(xué)生一起板書解決例1，學(xué)生能夠?qū)?的分析和解決有清楚的梳理.通過對(duì)例1的探究，再分析此例可知，定值問題本質(zhì)上與例1中的定點(diǎn)問題是類似的，即這兩個(gè)問題都是尋求運(yùn)動(dòng)變化過程中的不變性，而這些不變性常常反映了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，通過類比思

8、想，探究定值問題的解決策略.學(xué)生的難點(diǎn)在于把代數(shù)恒等式進(jìn)行變形化簡(jiǎn)或消參（三）課堂練習(xí)1、（2017上海春考20改編）已知雙曲線，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。2、過拋物線上一點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們分別交拋物線于兩點(diǎn)，求證：直線的斜率為定值.通過前面兩道例題的分析和策略總結(jié)，學(xué)生對(duì)解決圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題有了整體把握，利用這兩道題，當(dāng)堂檢驗(yàn)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果；并讓學(xué)生在親自的解題體驗(yàn)中感悟“解決圓錐曲線的定點(diǎn)定值問題關(guān)鍵在于尋找產(chǎn)生變化的本質(zhì)原因”.通過與學(xué)生一起嘗試找出突破圓

9、錐曲線的定點(diǎn)定值問題之“難”的對(duì)策，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)圓錐曲線內(nèi)容的“整體把握”.（四）小結(jié)結(jié)合本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，談?wù)勀愕氖斋@，與學(xué)生一起總結(jié)：1、數(shù)學(xué)知識(shí)：2、思想與方法：特殊到一般、類比、化歸、設(shè)參的原則（五）布置作業(yè)1、（2016格致三模22）已知拋物線，過點(diǎn)與軸不垂直的直線與交于、兩點(diǎn)。設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線過定點(diǎn)。2、（2017金山一模19） 已知橢圓C以原點(diǎn)為中心，左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，直線與橢圓C交于點(diǎn)與，且都在軸上方，滿足（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。xy

10、3、（2017黃浦二模20）設(shè)橢圓M:的左頂點(diǎn)為、中心為，若橢圓M過點(diǎn)，且（1）求橢圓M的方程；（2）若APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上，試求APQ面積的最大值；（3）過點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線交橢圓M于兩點(diǎn)，且，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)4、（2017虹口一模20） 橢圓（）過點(diǎn)，且右焦點(diǎn)為，過的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，記、的斜率分別為和；（1）求橢圓的方程；（2）探討是否為定值？如果是，求出該定值，如果不是，求出的取值范圍；5、（2017奉賢一模20）過雙曲線的右支上的一點(diǎn)作一直線與兩漸近線交于、兩點(diǎn)，其中是的中點(diǎn). 求證：是一個(gè)定值6、 （2017青浦一模19）如圖，、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，且焦距為，動(dòng)弦平行于軸，且；（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)、的任意一點(diǎn)，且直線、分別與軸交于點(diǎn)、，若、的斜率分別為、，求證：是定值；這六道作業(yè)題分別選自上