數(shù)模論文——雨中打傘分析

1、暨 南 大 學(xué)本科生課程論文論文題目： 雨中撐傘分析 學(xué) 院： 管理學(xué)院 學(xué) 系： 市場學(xué)系 專 業(yè)： 市場營銷 課程名稱： 數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)新實(shí)踐 學(xué)生姓名： 廖秋杰 2014年12月 30日雨中撐傘分析模型摘要本模型是對于日常生活中下雨打傘問題進(jìn)行抽象分析的模型。對于這個(gè)模型，分三個(gè)部分。第一個(gè)部分是計(jì)算日常生活中雨水的下降到地面的角度，通過將雨水的速度分解為水平速度與豎直速度，建立起雨水入射角度的模型。第二個(gè)部分是建立起在不同撐傘姿勢下的模型并且解決在不同模型下所能夠遮擋雨水的最大角度。第三部分是通過引入日常生活中具體的數(shù)值對前面所建立的模型進(jìn)行求解并且得出最終的結(jié)論。對于第一個(gè)速度模型，考

2、慮到雨水的運(yùn)動(dòng)受到重力，阻力以及風(fēng)力的影響，把雨水的速度分解為水平與垂直兩個(gè)速度，從而比較直觀地，可行地建立起雨水速度以及降落角度的模型。對于第二個(gè)模型，由于雨水是變化的，所以針對這一現(xiàn)象，考慮不同撐傘姿勢下所能夠遮擋雨水的最大角度，這樣對于日常應(yīng)用有更加值得借鑒的作用。由于理論是為現(xiàn)實(shí)服務(wù)的。在現(xiàn)實(shí)生活中，算出雨水的速度等變量不容易，所以這里直接把日常生活中的一些數(shù)值代入求解結(jié)果，這樣更能提高其現(xiàn)實(shí)作用與借鑒意義。當(dāng)然，由于所學(xué)知識的限制，本模型還是顯得粗糙了些，需要進(jìn)一步的改進(jìn)以提高其實(shí)用性。關(guān)鍵詞：流體力學(xué)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)，力的分解，重力加速度，風(fēng)速，阻力，風(fēng)速，勾股定理。1.問題

3、重述日常生活中，由于天氣的變化，出行難免會(huì)遇到下雨的情況，撐傘出行就成為了一個(gè)很普遍的現(xiàn)象。理論上，雨水下落過程中受到地球重力的作用以及空氣阻力的作用，因此雨水下落的方向應(yīng)該是垂直于水平面的豎直方向，那么最有效的撐傘方式自然是豎直撐傘。然而現(xiàn)實(shí)中雨水降落過程中受到多種外力的影響，包括風(fēng)力，其他氣流的擾動(dòng)，因此雨是與水平面以一定的角度降落的，那么撐傘的方法與此發(fā)生相應(yīng)地變動(dòng)。問題是雨傘應(yīng)該如何調(diào)整，使得擋雨的面積最大化，這里就需要根據(jù)相關(guān)的變量建立起相關(guān)數(shù)學(xué)模型。根據(jù)模型得出在不同的情況下如何調(diào)整雨傘，使得擋雨面積最大化，從而有效地解決問題。理論是為現(xiàn)實(shí)服務(wù)的，在建立起數(shù)學(xué)模型后，接下來根據(jù)實(shí)際

4、資料，算出不同情況下的打傘方式，從而為生活服務(wù)。在這里，由于影響雨水軌跡的變量是連續(xù)的，不能夠一一計(jì)算出來，所以最后根據(jù)生活中比較典型的情況以及已有的資料，給出在不同天氣狀況下的打傘方式。2.問題分析根據(jù)實(shí)際情況，最理想的打傘方式是傘面與雨水的方向垂直。這里難點(diǎn)主要在于如何求出雨水的方向。根據(jù)牛頓力學(xué)以及力的分解，可以把雨水下落過程中受到的力分解為幾個(gè)獨(dú)立的力，而力又影響雨水的速度。那么其實(shí)就可以分析雨水降落過程中是受到那些力的作用，這些力又是如何改變雨水各個(gè)方向的速度的，接著根據(jù)平行四邊形法則把雨水各個(gè)方向的分速度合起來就可以計(jì)算出雨水的速度了。在計(jì)算出雨水的速度之后，接下來就是根據(jù)雨水速度

5、的方向調(diào)整傘的方向，使得擋雨面積最大化。由于撐傘的方式有多種，這里主要是研究傘的高度以及傘的角度是如何影響到擋雨面積的，通過比較，得出擋雨面積最大化的情況。另外一方面，擋雨面積最大化可能并不是最優(yōu)的打傘方式，根據(jù)實(shí)際情況，現(xiàn)實(shí)生活中打傘不一定要防雨面積最大化，只要行人撐傘不被雨水淋到就可以了。那么接下來需要再分析各種打傘方式的臨界值，即超過這個(gè)臨界方式行人則會(huì)被雨水淋到。最后，根據(jù)各種比較結(jié)果得出最優(yōu)的打傘方式，解決生活中的實(shí)際問題。模型假設(shè)（1）假設(shè)雨水降落過程中只收到重力，風(fēng)力，以及空氣阻力的作用，不受到其他力的作用（2）風(fēng)對雨水作用力的方向是水平的，且在一定時(shí)間范圍內(nèi)方向是固定的（3）假

6、設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)雨滴是一樣大的（4）假設(shè)風(fēng)力在一定時(shí)間范圍內(nèi)是穩(wěn)定不變的（5）模型的假設(shè)基于人在水平面行走上進(jìn)行的（6）雨水在水平方向受到阻力忽略不計(jì)（7）雨水達(dá)到收尾速度（8）人是緩慢行走的，與雨水上的相對作用很小3.符號說明Vw表示風(fēng)在水平方向的速度；Vr1表示雨水在豎直方向的速度；Vr2表示雨水在水平方向的速度；Vr表示雨水的收尾速度；H傘面到地面的距離W行人跨步寬度U雨傘寬度雨水與地面的夾角4.模型準(zhǔn)備在本模型中，關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一個(gè)是根據(jù)各種力的作用計(jì)算出雨水的矢量速度另外一個(gè)是根據(jù)雨水的速度調(diào)整雨傘的角度。這里先計(jì)算雨水的速度。根據(jù)牛頓力學(xué)力的分解我們可以把雨水受到的力分解出來，由于雨

7、水的速度受到力的影響，根據(jù)分解出來的力，可以計(jì)算出雨水在不同方向的速度，接下來根據(jù)力的合成以及速度的合成即可求出雨水的速度出來。由于雨水在下降過程中受到多個(gè)力的影響，但主要的力是重力，空氣阻力以及風(fēng)力的影響，其他的力的影響作用不顯著，為了簡化模型，這里把雨水受到的其他的力忽略不計(jì)。5.0 雨水豎直方向的速度5.1雨水在豎直方向上的速度根據(jù)牛頓力學(xué)以及流體力學(xué)的知識，在豎直方向，雨水在剛開始下落的過程，是以g(重力加速度)為加速度做自由落體運(yùn)動(dòng)，但是在這個(gè)下降過程中由于還受到空氣阻力以及雨水本身浮力的作用，雨水先是加速下降，速度越大，雨水所受到的阻力越大，當(dāng)重力與阻力相等時(shí)，雨水達(dá)到二力平衡的條

8、件，此時(shí)雨水做勻速直線運(yùn)動(dòng)，雨水最后勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度稱為收尾速度。而影響雨水最終收尾速度主要是雨水的半徑，一般來說，雨水的半徑越大，質(zhì)量越大，從而達(dá)到重力與阻力相等的時(shí)間越長，此時(shí)雨水的收尾速度就越大，雨水半徑與雨水的速度之間有著相關(guān)的關(guān)系。而雨水半徑又與雨量息息相關(guān)，一般雨量大的話雨水半徑就大，即雨下得越大，那么雨水的速度就越大。這里雨量跟雨水存在著一個(gè)關(guān)系式，但是由于資料的欠缺，所以模型不以雨量為自變量，直接以雨水的速度Vr1為自變量，即這里假設(shè)雨水在垂直方向的速度為Vr1。5.1雨水在水平方向速度雨水在水平方向的受力主要是風(fēng)力以及水平方向的阻力，但是相對于雨水速度，風(fēng)速比較小，所以受到

9、的阻力比較小，為了簡化模型，這里把阻力忽略不計(jì)，所以雨水在水平方向的阻力最終等于風(fēng)速。另外，從雨水水平方向受到風(fēng)力的影響到雨水水平速度等于風(fēng)速存在一個(gè)加速的過程，這里假設(shè)雨水直接達(dá)到風(fēng)速。那么最終雨水的水平速度Vr1=Vw5.2 雨水速度的合成以及雨水的夾角雨水所受到的水平力與豎直力是垂直的，根據(jù)平行四邊形法則以及勾股定理,可以得出夾角：=arctan(Vr1/ Vr2)= arctan(Vr1/ Vw)雨水的受力分析圖Vr2雨水運(yùn)動(dòng)方向Vr16模型的建立根據(jù)上面所求出來的結(jié)果，下面分幾種情況建立構(gòu)造不同的模型：6.1改變撐傘高度對擋雨有效面積的模型在這里，為了使撐傘時(shí)不遮擋視線，把雨傘的側(cè)面

10、的弧形簡化為過傘檐的割線如下圖：6.11 雨水不受風(fēng)力時(shí)的情況由圖可以看出來，假設(shè)在沒有風(fēng)的情況下，且行人的行走速度相對緩慢時(shí)，行人與雨水的相對速度較小，此時(shí)改變高度不影響遮雨效果，此時(shí)為最理想的出行狀況。6.12 雨水受風(fēng)力影響的情況在有風(fēng)的情況下，假設(shè)風(fēng)是迎面吹來的，此時(shí)雨水與傘面，地面形成一個(gè)平行四邊形。每當(dāng)雨傘下降h個(gè)單位，則整體擋雨面積順著行人行走的方向平移（h*cot）個(gè)單位。6.13 改變高度的臨界情況在實(shí)際使用的情況中，雨傘不可能無限降低高度，當(dāng)雨傘離地面的距離等于人的身高時(shí)，雨傘的高度就不能夠再降低了，否則行人需要彎下腰行走，且容易遮擋視線。所以這里存在著一個(gè)夾角，當(dāng)雨水與地

11、面的夾角大于這個(gè)值的時(shí)候，即便是改變高度，行人也必定會(huì)被雨水淋到。下面計(jì)算這個(gè)臨界值：如上圖可以看出，當(dāng)雨傘的高度H等于人的高度，雨水剛好落在前腳尖，此時(shí)達(dá)到臨界值，假如雨水角度超過這個(gè)臨界值，那么行人就會(huì)被雨淋到了。在三角形ABC中，AB=H，BC=1/2*（U-W），則=arctan(AB/BC)=arctan(2H/(U-W)。另外，根據(jù)風(fēng)速與雨水速度算出來的雨水角度，即可比較得出采用此種方案是否能夠有效擋雨。6.2 移動(dòng)傘面對擋雨面積的影響如下圖，當(dāng)傘面前進(jìn)或者后移時(shí)的情況：6.21 傘面前移分析由6.1可以知道，雨水傾斜時(shí)雨水與傘面，地面構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，此時(shí)，當(dāng)傘面向前移動(dòng)一個(gè)單

12、位距離時(shí)，在地上的當(dāng)雨區(qū)域也相應(yīng)移動(dòng)一個(gè)單位距離。但是此方案也有另外一個(gè)限制，雨傘不可能一直向前移動(dòng)。由于慣性等的影響，滴落在雨傘上面的雨滴會(huì)在雨傘的四周下落（由于身體的阻擋，雨傘后檐的雨滴基本不受風(fēng)的影響，所以后檐的雨水水平上基本不受風(fēng)的作用，即此時(shí)雨水是豎直下降的），則雨傘前移的最大限度是雨傘的后檐要與腳后跟平齊，否則，腳后跟會(huì)被打落到雨傘上而低落的雨水而滴到。6.22平移的臨界情況根據(jù)6.1的資料可以知道，降低雨傘高度可以讓擋雨區(qū)域前移，而雨傘前移有著同樣的作用，那么，前移的臨界情況如下圖，當(dāng)雨水角度超過這個(gè)值時(shí)，前移就擋不到所有的雨了。下面來求出這個(gè)臨界值：此時(shí)雨傘高度應(yīng)該與行人的高度

13、平齊，并且雨傘的后檐與腳后跟對齊。仍然是在三角形ABC中，AB=H,BC=U-W,則=arctan(AB/BC)=arctan(H/(U-W),當(dāng)雨水超過這個(gè)角度時(shí)候，前移不能夠有效遮擋雨水。6.3改變雨傘角度對擋雨面積的影響 當(dāng)改變高度與平移都無法有效擋雨時(shí)，此時(shí)可以選擇第三種方式：改變雨傘的角度。這里有三個(gè)問題需要計(jì)算：第一，雨水滴落到雨傘后接下來的運(yùn)動(dòng)方式 如何；第二個(gè)問題是雨傘與雨水之間的角度為多大時(shí)有最佳的遮雨范圍；第三是求改變角度的臨界情況。6.31雨水滴落到雨傘后的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，雨傘的側(cè)面是圓形的一小段弧，圖中虛線與圓之間的切點(diǎn)是雨水低落的分割點(diǎn)，雨水下落在分割點(diǎn)的左邊上，那

14、么雨水則會(huì)往左邊滴落，如果雨水下落在右邊上，那么雨水就在右邊滴落。假如雨傘的弧完全處在切點(diǎn)的左邊上，那么雨水都將在左邊滴落。6.32雨傘與雨水之間的角度為多大時(shí)有最佳的遮雨范圍如圖所示，斜線為雨水效果圖，弧線為雨水的側(cè)面圖，為了使效果更加明顯，這里把雨傘的弧夸張化，A點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，當(dāng)雨水剛好與弧線相切時(shí)且這個(gè)切點(diǎn)就是雨傘的邊緣，雨傘的遮擋效果最佳。加入雨水再往下旋轉(zhuǎn)，此時(shí)雨水仍然與雨傘相切，但是切點(diǎn)下方雨傘起不到擋雨的作用。加入雨傘往上旋轉(zhuǎn)，雨水會(huì)與以傘桿為半徑的圓相割（圖中半徑?jīng)]有畫出來），如圖，即雨線右移，最理想的效果就是雨傘的弧的割線與雨線垂直。6.33旋轉(zhuǎn)雨傘的臨界情況E當(dāng)行人高度與雨傘

15、寬度，行人跨步是一定的時(shí)候，那么現(xiàn)在就存在一個(gè)臨界值，當(dāng)雨水角度大于時(shí)，那么行人就必定被雨水淋到，下面來算出這個(gè)的值。DBCA在一般情況下，這個(gè)臨界值會(huì)比較大，即此時(shí)最佳遮雨效果要使雨傘大幅度傾斜，此時(shí)往后流的雨水很少或者雨水只往前流。為了減少復(fù)雜度，這里假設(shè)雨水都向前流。同時(shí)，雨傘的高度跟人的高度相同（由6.1結(jié)論可以知道，這里其實(shí)簡化了，真實(shí)情況應(yīng)該稍微高一點(diǎn)才不會(huì)淋到頭），且雨傘的后檐正好在人身體的正上方，這時(shí)剛好達(dá)到臨界情況。為了算出這個(gè)來，我們把圖像抽象化，如圖2。此時(shí)DE為雨傘寬度，則DE=U，EC為雨傘到地面的距離，也等于人的高度，EC=H，BC是人跨度的一半，則BC=0.5WE

16、CBC，則在EBC中，EB=（BC2+EC2）=(0.25W2+H2)又因?yàn)樽罾硐氲男Ч怯昃€與雨傘垂直，即DEBC,即可以算出在DEB中， DB=(BE2-DE2)= (0.25W2+H2 U2)，接下來算DBE和EBC的余弦值cosDBE=DB/BE=(0.25W2+H2 U2)/ (0.25W2+H2)sinDBE=DE/BE=U/(0.25W2+H2)cosEBC=BC/BE=0.5W/(0.25W2+H2)sinEBC=EC/BE=H/(0.25W2+H2)cosDBC=cos(DBE+EBC)= cosDBE* cosEBC- sinDBE* sinEBC =(0.5*(0.25W

17、2+H2 U2)-U*H)/( 0.25W2+H2)cosABD=cos（-DBC）=-cosDBC=-(0.5W(0.25W2+H2 U2)-U*H)/( 0.25W2+H2)則=arccosABD當(dāng)超過這個(gè)角度時(shí)，出行必定被雨淋。7.模型的求解與結(jié)果分析對于上面所建立的三種情況下的三個(gè)大模型，其結(jié)果都是基于變量傘到地面高度H、雨傘寬度，行人跨步來得出的。在這樣的情況下，模型顯得過去抽象。同時(shí)，基于雨量與風(fēng)速的模型也過于抽象。這樣過于抽象的模型對于日常生活沒有太多的借鑒意義。那么下面所要做的就是根據(jù)日常生活中的具體數(shù)據(jù)給出在不同雨量雨風(fēng)速下的實(shí)際模型與撐傘方式。在上面求出的計(jì)算雨水速度的模型

18、中，由于雨量與雨水速度的根據(jù)查閱相關(guān)資料，且考慮到現(xiàn)實(shí)情況，這里以中國女性為例.中國女性平均身高1.63m,跨步0.5m。另外，雨傘撐開大約有1m寬。同時(shí)，雨水與風(fēng)力之間存在著一般的相關(guān)關(guān)系，一般來講，雨下的越大，風(fēng)力越大；雨下得越小，風(fēng)越小。這里我們以小于，中雨，大雨為例，并且查閱相關(guān)資料，分別在這三種雨情況下一般風(fēng)力最多能夠達(dá)到的等級。這樣就可以得出在不同降雨等級下?lián)蝹愕男Ч?。下面先根?jù)上面的模型計(jì)算不同撐傘情況下的臨界值：由上知道，在模型中，H=1.63，W=0.5，U=1，根據(jù)這三個(gè)變量，結(jié)算結(jié)果如下：模型1：=arctan(2H/(U-W)=arctan(2*1.63/(1-0.5

19、)=81.21模型2：= arctan(H/(U-W)=arctan(1.63/(1-0.5)=72.94模型3：=arcos(-(0.5W(0.25W2+H2 U2)-U*H)/( 0.25W2+H2)=61.38從上面的結(jié)果中可以看出來，三種模型雖然都是在相同的條件下，但是其結(jié)果卻是不同的。第三中模型能夠承受雨水的角度最大，即說明在雨下得大的情況下，采取第三種模型仍然能夠有效地抵擋雨水。但是，單純給出一個(gè)雨水的角度太抽象了，下面就以日常生活中具體的現(xiàn)象為例，說明在什么情況下可以采取哪種撐傘方式，同時(shí)，在什么條件下不宜撐傘出行。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)上查找到的資料，一般小雨的降落速度為3m/s，中雨為5

20、m/s，大雨為7 m/s，暴雨為9 m/s。同時(shí)，雨越大風(fēng)越大，因此雨水的水平速度越大。但是現(xiàn)實(shí)情況中雨水的水平速度不會(huì)跟風(fēng)速一樣，這里找到了4個(gè)不同雨水降落速度時(shí)的水平速度，從小雨到暴雨雨水的水平速度分別為0.9 m/s,2.45 m/s,4.01 m/s,5.94 m/s.接下來是算這幾種不同情況下雨水的角度值了：小雨時(shí)夾角：=arctan（Vr1/Vw）=arctan(3/0.9)=73.3中雨時(shí)夾角：=arctan（Vr1/Vw） =arctan(5/2.45)=63.86大雨時(shí)夾角：=arctan（Vr1/Vw）=arctan(7/4.01)=60.19暴雨時(shí)夾角：=arctan（V

21、r1/( Vw+Vm)）=arctan(9/5.94)=56.57從上面的數(shù)據(jù)中可以看出來，雨下得越大，雨水與地面的夾角就越小。當(dāng)達(dá)到中雨時(shí)候，一般就不太適合帶傘出行了。假如帶傘出行的話，被雨淋到的可能性會(huì)比較大。8.模型的評價(jià)和改進(jìn)8.1模型的優(yōu)點(diǎn)：本模型的主要優(yōu)點(diǎn)是把日常生活中的具體事例抽象化，數(shù)學(xué)化，通過建立起數(shù)學(xué)模型為本問題提供了一個(gè)比較方案。本數(shù)學(xué)模型對于日常生活具有一定的借鑒意義，其主要目的是解決什么情況下可以帶傘出行，什么情況下同時(shí)本模型可以擴(kuò)展到日常生活其他應(yīng)用中去，比如帳篷擋雨等。另外一方面，本模型是對網(wǎng)絡(luò)上的這個(gè)問題的擴(kuò)展與具體化，對解決網(wǎng)絡(luò)上的問題具有一定的借鑒意義。8.2模型的缺點(diǎn)：模型的主要問題在于計(jì)算雨水的水平與豎直速