專題復習(六)

1、專題復習（六）求最短路徑問題最短路徑問題在四川省的中考中出現(xiàn)的頻率很高，這類問題一般與垂 線段最短、兩點之間線段最短關系密切.類型1利用“垂線段最短”求最短路徑問題EH如圖所示，是一條河流，要鋪設管道將河水引到C, D兩個用水點，現(xiàn)有兩種鋪設管道的方案. 方案一：分別過C D作的垂線，垂足分別為E F,沿，鋪設管道；方案二：連接交于點P,沿、鋪設管道.問：這兩種鋪設管道的方案中哪一種更節(jié)省材料，為什么？【思路點撥】方案一管道長為+,方案二管道長為+,利用垂線段最短即可比較出大小.【解答】按方案一鋪設管道更節(jié)省材料.理由如下：丄，丄，而與不垂直，二根據(jù)“垂線段最短”，可知v,v,.+v + ,沿

2、、鋪設管道更節(jié)省材料.本題易錯誤的利用兩點之間線段最短解決，解答時需要準確識圖，找 到圖形對應的知識點.1. （2015 保定一模）如圖，點A的坐標為（一1, 0），點B（a , a），當線段最短時，點B的坐標為（）A. （0 ， 0）B. （，-）C （ 一，一 ）D.（-,-）2. （2015 杭州模擬）在直角坐標系中，點 P落在直線x 2y + 6= 0上，O 為坐標原點，則的最小值為（）B. 33. （2013 內江）在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的圓過點 A（13 ,0），直線y= 3k + 4與00交于B、C兩點，則弦的長的最小值為.4. （2015 碑林區(qū)期中）如圖，平原上有

3、 A, B, C, D四個村莊，為解決當 地缺水問題，政府準備投資修建一個蓄水池.（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池 H點的位置，使它到四個村莊距離之和最小；(2) 計劃把河水引入蓄水池 H 中，怎樣開渠最短并說明根據(jù)類型2利用“兩點之間線段最短”求最短路徑問題（2015 樂陵模擬）（1）如圖1，直線同側有兩點A, B,在直線上求一點C,使它到A B之和最??；（保留作圖痕跡不寫作法）（2）知識拓展：如圖2,點P在/內部，試在、上分別找出兩點E、F,使周長最短；（保留作圖痕跡不寫作法）（3）解決問題：如圖3,在五邊形中，在，上分別找一點 M N使得 周長最小；（保留作圖痕跡不寫作法）若/=

4、 125,/ B=Z E= 90,=,=,/ + / 的度數(shù)為.【思路點撥】（1）根據(jù)兩點之間線段最短，作A關于直線的對稱點E, 連接交直線于C,即可解決；（2）作P關于、的對稱點C、D,連接交、于E、F,此時周長有最小 值；（3）取點A關于的對稱點P,關于的對稱點 Q連接與相交于點 M 與相交于點N,的長度即為的周長最小值；根據(jù)三角形的內角和等于180求出/ P+/ Q再根據(jù)三角形的外角以及三角形內角和知識運用整體思想解決.【解答】（1）作A關于直線的對稱點E ,連接交直線于C,連接，則此時C點符合要求.A方形內，在對角線上有一點P,使+最小，則這個最小值為（）M I /C N z圖1作圖如

5、圖.（3）作圖如圖./= 125,/ P+Z Q= 180 125= 55/ P+Z = 2Z P,Z = Z Q+Z = 2Z Q.Z + Z= 2（ Z P+Z Q）= 2X 55= 110 .“兩點（直線同側）一線型”在直線上求一點到兩點的和最短時，利用 軸對稱的知識作一點關于直線的對稱點，連接對稱點與另一點與直線的交 點就是所求的點；“一點兩線型”求三角形周長最短問題，作點關于兩直 線的對稱點，連接兩個對稱點與兩直線分別有兩個交點，順次連接所給的 點與兩交點即可得三角形；“兩點兩線型”求四邊形的周長最短類比 “一點 兩線型”即可.I針對訓練I1. （2015 內江）如圖，正方形的面積為

6、 12, 是等邊三角形，點E在正C. 2B. 22. （2015 遵義）如圖，在四邊形中，/ C= 50,/ B=Z 90, E、F分別是、上的點，當?shù)闹荛L最小時，/的度數(shù)為（）A. 50B. 60C. 70D. 803. （2015 攀枝花）如圖，在邊長為2的等邊中，D為的中點，E是邊上 一點，則+的最小值為.AB D C4. （2015 鄂州）如圖，/= 30,點 M N分別是射線、上的動點，平分/,且=6,當?shù)闹荛L取最小值時，四邊形的面積為.5. （2015 涼山）菱形在平面直角坐標系中的位置如圖所示， 頂點B（2 , 0）, / = 60,點P是對角線上一個動點，E（0 , - 1），

7、當+最短時，點P的坐 標為.6. （2015 廣元改編）如圖，已知拋物線 y = （x + 2）（x -m）（m0）與x軸相交于點A, B,與y軸相交于點C,且點A在點B的左側.(1) 若拋物線過點G(2, 2)，求實數(shù)m的值;(2) 在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H,使+最小，并求出點H的坐標.7. (2015 成都改編)如圖，一次函數(shù) y= x + 4的圖象與反比例 y = (k 為常數(shù)，且kz0)的圖象交于A, B兩點.在x軸上找一點P,使+的值最 小，求滿足條件的點P的坐標.8. 如圖所示，已知點 A是半圓上的三等分點，B是的中點，P是直徑上的 一動點，O O的半徑為1,請

8、問：P在上什么位置時，+的值最??？并給出 +的最小值.9. (2015 達州)如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在y軸的正半 軸上，在x軸的正半軸上，/的平分線交于點 D, E為的中點，已知 A(0 , 4)、C(5, 0)，二次函數(shù)y = x2+ + c的圖象拋物線經(jīng)過 A, C兩點.(1) 求該二次函數(shù)的表達式;(2) F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接 D E、F、G構成四邊形, 求四邊形周長的最小值；(3) 拋物線上是否在點P,使的面積為12?若存在，求出點P的坐標；若 不存在，請說明理由參考答案類型1利用“垂線段最短”求最短路徑問題1. D 23. 24 提示：直線 y =-3

9、k + 4 必過點 D(3, 4),二當過點D且丄時最小.點 D 的坐標是(3 , 4)，二=5. v = = 13,二根據(jù)勾股定理可得=12. 的長的最小值為24.4. (1) v兩點之間線段最短，連接，交于H,則H為蓄水池位置，它到四個村莊距離之和最小.(2)過H作丄，垂足為G.則沿開渠最短，根據(jù)垂線段最短.類型2利用“兩點之間線段最短”求最短路徑問題1. B 23提示：作B關于的對稱點B,連接、B D,交于E,此時+= B E+ = B D,根據(jù)兩點之間線段最短可知 BD就是+的最小 值，v B、B關于對稱，、互相垂直平分.四邊形是平行四邊形./ 三角形是邊長為2,v D為的中點，丄.

10、= ,= 1,= 2= 2,作B G丄的延長線于B G= = ,在厶 B中,=3. . = = 3 1 = 2.在AB中，B D= = =.故+的最小值為.4. 36 54 5. (2 3, 2 )6. (1)拋物線過點 G(2, 2)時，一(2 + 2)(2 m) = 2, 即卩 m= 4. V m 4,二 y = - (x + 2)(x - 4).令 y = 0,則(x + 2)(x - 4) = 0，解 得 Xi= 2, X2 = 4.-A( 2, 0) , B(4, 0).二拋物線對稱軸為直線x = 1.令x = 0,則y = 2,-C(0, 2).VB點與A點關于對稱軸對稱，二連接，

11、與對稱軸的交點便為所求點 H.V B(4, 0) , C(0, 2),二求得線段所在直線為y =- x + 2.當x= 1時，y =,-H(1 ,).7. 聯(lián)立解得或 A(1 , 3) , B(3, 1) . B點關于x軸的對稱點B坐標為(3 , - 1), 連接交x軸于點P,連接.設直線為y =+ b,聯(lián)立得解得二 y =- 2x + 5.令 y = 0, 得 x =. Pf ( , 0).即滿足條件的P的坐標為(，0).8. 作A關于的對稱點A,根據(jù)圓的對稱性，則A必在圓上，連接交于P,連接，則+最小，此時+ =+ = A B.連接、，：=,./ = / A = 605./ = /= 30

12、 . A = 90.A B= = = ,即+的最小值是.9. (1)將A(0, 4)、C(5, 0)代入二次函數(shù)y = x2 + c,得解得二二次函數(shù)的表達式 y = x2 x + 4.延長至E,使 E C=，延長至 D ,使 D A=，連接 D E,交x 軸于F點，交y軸于G點，連接，=,=E F,( + + + )最小=D E+,由 E 點坐標為(5 , 2) , D(4, 4)，得 D ( 4, 4) , E (5 , 2).由勾股 定理，得=,D E，= 3,. ( +I+ )最小 = D E+= 3+,即四邊形周長的最小值為3+ .(3) 如下圖：=4.Sa = 12.點P到的距離=3.過點O作丄，取=3，過點F作直線/,交y軸于G點，交拋物線于點P1,AP2,刁在中，=6.二直線的解析式為y = x 6將y = x- 6代入y = x2 x + 4得:+ 4.2x 6= x x解得 xi =, X2=.將 xi, X2 的值代入 y = x 6 得：yi =, y2=.二點 Pi(, ), R(, ) 過點o作丄，取=3,=6.x + 6= x2 xy2 = X2 + 6 =或(001),8),過點F作直線，交y軸于G點，交拋物線于Ps, P4,