模糊數(shù)空間中幾種距離的比較

1、模糊數(shù)空間中幾種距離的比較關(guān)鍵詞模糊數(shù);距離;模糊距離;模糊回歸 作者簡(jiǎn)介伍思敏,茂名學(xué)院理學(xué)院講師,研究方向:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),廣東茂名,525000;廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東廣州,510006;許若寧,廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東廣州,510006 中圖分類號(hào) D159 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1007-7723(2010)02-0034-0003 模糊距離在模糊數(shù)學(xué)的分析理論和實(shí)際應(yīng)用中都起著重要的作用。為了使模糊距離適合不同的模糊現(xiàn)象和研究需要,人們相繼提出了不少的模糊距離公式。文獻(xiàn)5、6、7基于模糊距離,研究了模糊數(shù)序列的極限、有界性、單調(diào)收斂性及閉區(qū)間套定理等分析理論

2、。文獻(xiàn)2、3、4、8、9、10基于模糊距離,研究了不同類型的模糊回歸問題等,具有較強(qiáng)的應(yīng)用背景。這些不同的模糊數(shù)距離各有自己的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍,人們可根據(jù)具體問題的特性和研究目的選擇使用。本文將介紹幾種常用的模糊距離,并通過例子來說明各公式的區(qū)別聯(lián)系。 一、預(yù)備知識(shí) 設(shè)R為實(shí)數(shù)集, F(R)為R上全體模糊集的集合。下面給出幾個(gè)基本概念及相應(yīng)性質(zhì)12。 定義1設(shè) ,如果滿足: (i)是正規(guī)的,即 使得 ; (ii)的 截集是R上的一個(gè)閉區(qū)間,記為;則稱 為上R的模糊數(shù),記R上的全體模糊數(shù)為 。 由模糊集的分解定理可知,有 。 如果我們定義 對(duì)于任何的 ,則 ,且 。 由多元擴(kuò)展原理可以得到有關(guān)模

3、糊數(shù)的線性運(yùn)算結(jié)論: 定理1設(shè)記 ,有 (i); (ii); 。 定義2設(shè) ,如果 和, 則稱 。如果 使得 和 至少一個(gè)成立,則稱 。如果 ,又 ,則稱 。 定義3設(shè) ,對(duì)于任何正實(shí)數(shù),如果 使得 或 , 則稱為模糊無窮大,記為。 二、幾種模糊距離 定義4 映射稱為一個(gè)模糊距離,如果滿足: (i)且; (ii); (iii)。 如果是模糊數(shù)的模糊距離,則稱 是一個(gè)模糊度量空間。 下面將介紹幾個(gè)模糊數(shù)的模糊距離。 (一)對(duì)稱三角模糊數(shù)的距離3 文獻(xiàn)3 基于對(duì)稱三角模糊數(shù),給出了對(duì)稱三角模糊數(shù)的距離公式,并在此基礎(chǔ)上研究了輸入輸出數(shù)據(jù)均為模糊數(shù),而回歸系數(shù)非模糊的線性回歸模型。 定義5 設(shè) 為對(duì)

4、稱三角形模糊數(shù),其中 m為的對(duì)稱軸,也即的中心,w是的支撐區(qū)間的一半。設(shè)都是對(duì)稱三角模糊數(shù), 的為距離 , 則 (1) 可以證明(1)式滿足定義2的三個(gè)條件,因此,(1)式是一個(gè)模糊距離公式。該公式形式簡(jiǎn)單,計(jì)算方便,得到的是一個(gè)實(shí)數(shù)距離,在應(yīng)用上也很方便。但是該公式只適用于對(duì)稱三角模糊數(shù),對(duì)于其他的模糊數(shù)則不能使用,使用范圍非常小,這是該公式的極大局限。 (二)三角模糊數(shù)的距離4 文獻(xiàn)4基于三角模糊數(shù),給出了三角模糊數(shù)空間上的距離,并依據(jù)這一距離,研究了三角模糊數(shù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的線性回歸問題。 定義6設(shè) 為三角模糊數(shù),其中為 的均值, 為 的左右擴(kuò)展,三角模糊數(shù) 的截集左右端點(diǎn)可表示為: 定義7

5、設(shè)是三角模糊數(shù), 的距離為 ,則 (2) 同樣可以證明(2)式滿足定義2的三個(gè)條件,因此,(2)式是一個(gè)模糊距離公式。該公式形式簡(jiǎn)單,計(jì)算方便,容易理解,在應(yīng)用上也很方便。但是該公式只適用于三角模糊數(shù),對(duì)于其他的模糊數(shù)則不能使用,使用范圍非常小;而且對(duì)于三角模糊數(shù),其頂點(diǎn)是隸屬度為1的點(diǎn),而三角形底邊兩個(gè)端點(diǎn)則隸屬度為0,在距離公式(2)中,這三個(gè)點(diǎn)所起的作用是一樣的,沒有區(qū)別,這也不太合理。 (三)一般模糊數(shù)距離(一) 文獻(xiàn)2在文獻(xiàn)4的基礎(chǔ)上,考慮三角模糊數(shù)的局限性和距離的合理性,從更一般的角度出發(fā),給出了模糊距離,并以此距離為基礎(chǔ),建立了從模糊數(shù)空間到模糊數(shù)空間的線性回歸模型。 定義8設(shè)記

6、其 截集為 , 則 距離為: (3) 其中。 進(jìn)一步,在積分號(hào)下引進(jìn)單調(diào)函數(shù) ,則 距離還可以定義為: (4) 在積分號(hào)下引進(jìn)單調(diào)函數(shù) ,這相當(dāng)于對(duì) 的每一個(gè) 截集的距離進(jìn)行加權(quán),可以使隸屬度高的截集在距離的確定中起到較為重要的作用。距離公式(1)、(2)、(3)都是這一距離的特例。但如何選取 也是一個(gè)需要繼續(xù)探討的問題。 (四)一般模糊數(shù)距離(二) 文獻(xiàn)5在定義了模糊數(shù)集 的稠密性和模糊數(shù)的上確界之后,給出了一個(gè)模糊數(shù)的距離,討論了該距離的性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上,研究了模糊數(shù)序列的模糊極限的定義和性質(zhì)。 定義9設(shè),如果滿足條件:(i)有 ; (ii) 至少存在一個(gè) ,使得 , 則稱為的上確界,記

7、為。 定理2設(shè),如果有上確界,則 。 定義10 設(shè) 記其 截集為 , 則 距離為: 同樣可以證明(5)式滿足定義2的三個(gè)條件,因此,(5)式是一個(gè)模糊距離公式。容易看到,當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí), 此時(shí) 為一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),即是 之差的絕對(duì)值。因此模糊距離公式(5)是實(shí)數(shù)絕對(duì)值概念的推廣。該距離是一個(gè)模糊數(shù)。但在應(yīng)用此距離公式研究模糊數(shù)序列的收斂性時(shí),要求必須滿足水平收斂,以致單調(diào)收斂性受到極大約束6。 (五)一般模糊數(shù)距離(三) 為消除公式(5)中對(duì)水平收斂的要求,文獻(xiàn)7給出新的模糊距離,并在此距離基礎(chǔ)上,給出相應(yīng)定理。 定義11設(shè) 記其 截集為 , 則 距離為: 同樣可以證明(6)和(7)式滿足定義2的三

8、個(gè)條件,因此,(6)和(7)式都是模糊距離公式。該距離是一個(gè)模糊數(shù),改進(jìn)了距離(5)的約束,在模糊數(shù)的單調(diào)性和收斂性方面作出了有益的貢獻(xiàn)。 三、應(yīng)用舉例 為更好理解以上幾個(gè)距離公式,特給出以下例子。 例1設(shè)模糊數(shù)為,求 的距離。 解:因?yàn)?為對(duì)稱三角模糊數(shù),所以可由距離公式(1)計(jì)算 的距離。 。 注:亦可由距離公式(2)計(jì)算 的距離。 例2設(shè)模糊數(shù)為,求 的距離。 解:法1 因?yàn)?為三角模糊數(shù),所以可由距離公式(2)計(jì)算 的距離。 ; 法2由定義4,模糊數(shù) 的 截集左右端點(diǎn)可表示為: , 本例亦可利用距離公式(3)、(4)來計(jì)算 的距離。 由距離公式(3),得 如果取水平截集距離的全函數(shù)為

9、,則由距離公式(4),得 例31設(shè)模糊數(shù)為,求 的距離。 解: 又可表示為: , 的截集可表示為: , 則由距離公式(5),得 由距離公式(6),得 由距離公式(7),得 四、結(jié)論 模糊數(shù)距離是模糊度量空間的一個(gè)基本概念。本文給出了5種常用的模糊距離公式,并通過比較得到了幾種常用模糊數(shù)距離的異同及各公式的應(yīng)用范圍,最后給出具體算例,增強(qiáng)了實(shí)用性。 參考文獻(xiàn) 1楊綸標(biāo),高英儀. 模糊數(shù)學(xué)原理及應(yīng)用:第4版M. 廣州:華南理工大學(xué)出版社,2005. 2許若寧.擬合模糊數(shù)據(jù)的線性回歸模型J.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1997,13(2). 3胡良劍,宗云南.模糊數(shù)據(jù)的線性回歸模型J.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),200

10、2,16(1). 4Phil Diamond. Fuzzy least squares J. Information Science,46(1988). 5張廣全.Fuzzy數(shù)的Fuzzy距離和Fuzzy極限J.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),1992,6(1). 6劉慧林,馮汝鵬.一種新的模糊數(shù)距離定義J.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2003,17(3). 7劉慧林,馮汝鵬.新的模糊數(shù)的模糊距離J.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2005,19(2). 8Xu Ruoning. A linear regression model in fuzzy environment, Advances in Modeling Simulation, 1991,Vol.27(4). 9Xu Ruoning. S-curve regression in fuzzy environment, Fuz