高中數(shù)學不等式習題及詳細答案

1、第三章不等式一、選擇題21 .已知 x>5,貝f（x）= x4x+5 有（）.2 2x 4A.最大值5B.最小值5C.最大值1D.最小值1442.若x>0, y>0,則（x+工）2 +（y+工）2的最小值是（）.2y2xA. 3B. 7C. 4D.-2 23 .設(shè)a>0, b>0則下列不等式中不成立的是（）.A.a+b+J_)2<2B.(a +b)( +工)4 aba b22C. a bL >a+bD. _2ab_ > vab.aba b4.已知奇函數(shù)f(x)在(0, +x)上是增函數(shù)，且f(1) =0,則不等式f(x)f(x) xV 0的解集為

2、().A. ( 1, 0) U (1 , +oo)B. (x, 1)U(0, 1)C. ( x, - 1) U(1 , +oo)D. (-1, 0) U(0 , 1)25 .當0vxv時，函數(shù)f(x) - 1+cos2x+8sin x的最小值為() 2sin 2xA. 2B . 2V3C. 4D. 4736 .若實數(shù)a, b滿足a+ b= 2,則3a+3b的最小值是（）A. 18B. 6C. 2 3D. 243x > 07.若不等式組 x+3y >4,所表示的平面區(qū)域被直線 y=kx+ 4分為面積相等3x+ y < 4的兩部分，則k的值是（）.A. 7B. -C. 4D.-3

3、7348.直線x + 2y+3 = 0上的點P在x y = 1的上方，且 P到直線2x+y6 = 0的距離為3后 則點P的坐標是（）A. ( 5, 1)B. ( 1,5)D. (2 , -7)9.已知平面區(qū)域如圖所示， z=m奸y（m> 平面區(qū)域內(nèi)取得最優(yōu)解（最大值）有無數(shù)多個，則 為（）.A. - 7-B. L2020C. 1D.不存在2C. (7, 2)（第9題）0）在m的值10.當x>1時，不等式x+，）a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（） x 1A. （x, 2B. 2 , +oo） C. 3, +oo ） D. （x, 3、填空題所表示的平面區(qū)域的面積12.設(shè)變量x, y滿

4、足約束桑林2y 3若目標函數(shù)z = ax+ y（a>0）僅在點（3, 0）處取得最大值，則a的取值范圍是13 .若正數(shù)a,b滿足ab= a+b+3,則ab的取值范圍是 14 .設(shè)a, b均為正的常數(shù)且 x>0, y>0, a + b=1,則x + y的最小值 x y為.15 .函數(shù)y = loga（x+3） 1（a>0,且a才1）的圖象恒過定點 A,若點A在直線 m桿ny + 1=0上，其中 mn>0,則1+ 2的最小值為.m n16 .某工廠的年產(chǎn)值第二年比第一年增長的百分率為Pi,第三年比第二年增長的百分率為6,若pi+6為定值，則年平均增長的百分率p的最大值

5、為.三、解答題 217 .求函數(shù)y= x+7x+10(x>1)的最小值.x+118 .已知直線l經(jīng)過點P(3, 2),且與x軸、y軸正半軸分別交于 A, B兩點, 當AAOB®積最小時，求直線l的方程.19 .某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元.該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是多少？20 . (1)已知x< 5 ,求函數(shù)y = 4x1+1 的最大值; 44x 5(2)已

6、知x, ye R*(正實數(shù)集)，且1+ 9 = 1,求x+y的最小值；x y2(3)已知a>0, b>0,且a2+2 = 1,求a/+b2的最大值.2參考答案1. D22 .解析：由已知 f(x)= x4x+ 5 =(x 2) +1 =1(x 2)+ -2x 42(x 2)2x- 2x> 5 , x-2>0, 2I" 2)+x- 21.n=1，當且僅當x2=，即x= 3時取等號.x-22. C解析：(x+L2+(y+1)22y2x= x2+3+3+y2+ ) + 工y 4y x 4x_2 12 1一 x H 2 + y 2"十x2+47>2Vx

7、2 41，4x24y2當且僅當x2=y, x=遙時取等號;4x22"仁L，當且僅當y2=*，y=9時取等號;y2=x2時取等號.-+>2 .fxny=2(x>0, y>0),當且僅當- = y, y x . y xy x> v ab不成立.方法二：可逐項使用均值不等式判斷A:a+ b+ ,>2 J ab + ；. ab、 ab>2 2病工 =2& ,不等式成立. .abB： V a+b>2ab>0,二 十 二>2 J1>0,相乘得(a+b)( 1 +1)4 成立. a b . aba b2C:a2+b2= (a+ b

8、)2 2ab>(a+b)2 2b =222, 2又 VObwJb-X > -2- ,，a二 a十b 成立.2, ab a b ,. abD:a+ b> 2 abJa b 2*ab空 0 2ab =.，即空.不a b 2. aba b成立.4. D解析：因為f(x)是奇函數(shù)，則f(x)= f(x),f( x)f( x) <0 包為0 xf(x)v0,滿足 x xx號的x的集合為所求.因為“乂)在(0, +°°)上是增函數(shù)，且f(1) =0,在(0, +°°)的簡圖如圖，再根據(jù)f(x)是奇函數(shù)的性(第4題)與f(x)異畫出f (x)質(zhì)

9、得到f(x)在(一X, 0)的圖象.由f(x)的圖象可知，當且僅當 xG (-1, 0)U(0, 1)時，x與f(x)異號.5. C解析：由 0vxv：,有 sinx>0, cosx> 0.f (x)=2221+cos2x + 8sin x = 2 cos x+8sin x = cosx +sin 2x2sin xcosx sin x4sin xcosx>2.S注.”蜂=4,當且僅當空照=生叱，即tan x=工時，取“=” sin x cosxsin x cosx2與直線解得K5丁 0vxv，存在 x 使 tan x=；,這時 f（x）min=4.6. B解析：< a+

10、 b = 2,故3a+3b>2；FV=2j萍 =6,當且僅當a=b=1時取等 號.故3a+3b的最小值是6.7. A解析：不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所分 ABC由 x+3y=4得a（i , i）,又 b（o, 4）, qo, 3x + y=4由于直線y=kx+4過點qo, 4），設(shè)它3x + y = 4的交點為D,貝4由SaBCD= Sa ABC, 知D為AB的中點，即25 = kx 1+4, k=7.22338. Axo+2yo+ 3= 0,解析：設(shè)P點的坐標為（x°, y°xo7y0上1<0,|2xo + yo 6點P坐標是（5, 1）.9. B解析：當直

11、線 mx+ y = z與直線AC平行時，線段AC上的每個點都是最優(yōu)解.3- 22kAC=-=5 120一 m=7-, 即 m=. 202010. D解析：由 x+，=(x1) +，+ 1, x1x1x>1, x-1>0,則有(x1) +，+ 1)2j(x 1) ' + 1=3, x-1,x-1貝(J a< 3.二、填空題這兩個不等式組所對應(yīng)的區(qū)域面積之和為所求.第一個不等式組所對應(yīng)的區(qū)域 如圖，而第二個不等式組所對應(yīng)的區(qū)域不存在.圖中 A(3, 8), B(3, 3), Q0, 5),陰影部分的面積為3 (11+5) =24.212. a1 a>-2解析：若 z

12、=ax+y（a>0）僅在點（3 , 0）最大值，則直線z=ax+ y的傾斜角一定小于+ 2y 3=0的傾斜角，直線z = ax+y的斜率處取得（第門即直線x就一定小于直線x+2y3=0的斜率，可得：ava>2-13 . ab>9.解析：由于a,b/正數(shù)，等式中含有ab和a+b這個特征，可以設(shè)想使用誓> <b構(gòu)造一個不等式.ab= a+b+ 3> 2<0b+3,即 ab）2«7 + 3（當且僅當 a=b 時等號成立）， ( Jab ) 24 ab 3)0, (vOb-3)(VOb+ 1)>0,VOb>3,即 ab> 9(當且僅

13、當 a=b=3時等號成立).14 .(西十亞)2解析：由已知ay, bx均為正數(shù)， x yx+ y = (x+ y)(+ -b ) = a+ b+ ay + bx >a+ b+ 2 但=a+b+ 2Vab ,x yay _ bxx y|a bI =11 x y即 x= a+型時取等號. y= b+>/abr即x+y>(四+/)2,當且又當15 . 8.解析：因為y = loga x的圖象恒過定點(1, 0),故函數(shù)y=loga(x+ 3) 1的圖象恒過定點A(-2, 1),把點A坐標代入直線方程得 m2)+ n( 1)+1=0,即2mn=1,而由mn>0知，4m均為正,

14、 m n工+ 2 = (2m+ n)( l + 2)=4+Jn + 4m>4+ 2；-也=8,當且僅當 m nm nm n.mn,1n 4m m m=-，m=M ：時取等號.、2m+n=11 n=一216 Pp22解析：設(shè)該廠第一年的產(chǎn)值為a,由題意，a(1+p)2=a(1+pD(1 +，且1+ p1 > 0,1 + P2>0,22所以a(1 + p) = a(1+p1)(1+P2) <a1+ p1+1 + 比=a1+ p1+ p2,解得22p< 叱包，當且僅當1 + 2=1 +訪,即力=6時取等號.所以p的最大值是 上士運.22三、解答題17 .解：令 x+ 1

15、 = t >0,則 x = t 1,丫=(1丁1+10 =牛 + .29，當且僅當t =即t=2, x=1時取等號，故x=1時，y取最小值9.18 .解：因為直線l經(jīng)過點P(3, 2)且與x軸y軸都相交,故其斜率必存在且小于0.設(shè)直線l的斜率為k則l的方程可寫成y 2=k(x 3),其中kv0.令 x=0,則 y = 23k;令 y = 0,則 x= 2+ 3.(第 18題) k12141,4Saaob= (2 3k)( + 3) = 12+( 9k)+()12 + 2 )( 9k)()2k2k 2.k12,當且僅當(9k)=( 4),即k= 2時，S ao有最小值12,所求直線方程為

16、k3y 2= 2(x 3),即 2x+ 3y- 12=0.319 .解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，則有關(guān)系：A原料用量B原料用量甲產(chǎn)品x噸3x2x乙產(chǎn)品y噸y3yx 0則有y 0,目標函數(shù)z=5x+3y3x y <132x 3y < 18作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標，可知當x = 3, y = 4時可獲得最大利潤為 27萬兀.20 .解：(1) V xv 5,4x-5<0,故 5-4x>0.4,1,1、y = 4x1十 一 5 -4x+ - > 25- 4x)=2,5- 4x15- 4x二. y0 2 + 4 = 2,當且僅當5 4x= ,即x=1或x=3(舍)時，等號成立,5- 4x2 = (5 4x+ ) +4.4x 55 4x故當 x= 1 時，ymax= 2.(2) ; x>0, y>0, 1+ - = 1, x y，x+y=( 1 + £)( x + y) = 2 + 9x+ 10>2 乜. 9x +10=6+10=16. x yx y- x y當且僅當？=9x,且J+9 = 1,即x=4,時等號成立，x y x yy=12當 x = 4, y= 12 時，(x+y)min=16.20 c 1 b