等比數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)與典型例題+答案

1、等比數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)與典型例題1、等比數(shù)列的定義:-an-q q 0 nan 12,且 n Nq稱為公比2、通項(xiàng)公式:n 1anaqa nq qBn a1q 0,A0 ,首項(xiàng)：a1；公比：q推廣：ann mamq冬q amanam3、等比中項(xiàng)：(1)如果a, A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，即：A2 ab或A Tab注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng) 有兩個(2)數(shù)列an是等比數(shù)列2anan 1 an 14、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式:(1)當(dāng) q 1 時，Snna1(2)當(dāng) q 1 時，Sna1 1a11 qanA Bn A'Bn A' ( A,

2、B,A',B'為常數(shù))5、等比數(shù)列的判定方法:(1)用定義：對任意的n ，都有an 1qan或旦q(q為常數(shù)，a00) a0為等比數(shù)列 an(2)等比中項(xiàng)：an2an 1an 1 (an 1 an 10)an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式:anBnan為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法:依據(jù)定義：若n-qan 12,且nN 或an 1 qanan為等比數(shù)列7、等比數(shù)列的性質(zhì):(2)對任何m,n N ,在等比數(shù)列an中，有an amq。(3)右 m n s t(m,n,s,t N ),則 an am as at。特別的，當(dāng) m n 2k 時，得 an am akr： ai an a2 a

3、n 1 a3an 2等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；通項(xiàng)公式()中項(xiàng)()()前項(xiàng)和重要性質(zhì)am an ap aq *(m, n, p,q N ,m n p q)a m a n a p a q,- . *、(m, n, p, q N ,m n p q)經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例 1.等比數(shù)列an中，a1 a9 64, a3 a7 20,求 a11.思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過已知條件可列出關(guān)于ai和q的二元方程組，解出ai和q,可得an；或注意到下標(biāo)1 9 3 7,可以利用性質(zhì)可求出a3、a7,再求即.總結(jié)升華:列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時利

4、用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；解題過程中具體求解時，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要 用除法（除式不為零）.舉一反三：【變式11 an為等比數(shù)列，a二3, a9=768,求a6?！咀兪?】an為等比數(shù)列，an>0,且a1a89=16,求a44345a46的值。【變式3】已知等比數(shù)列an,若a1 a2 a3 7 , a1a2a3 8 ,求an。類型二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例2,設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為3,若&+&=2S,求數(shù)列的公比q.舉一反三：【變式1】求等比數(shù)列1J,L的前6項(xiàng)和3 9【變式2】已知：an為等比數(shù)列，aia2a3=27, S3=13,求

5、&.【變式3】在等比數(shù)列an中，a1 an 66, a2 an 1 128, Sn 126,求n和q。類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例 3.等比數(shù)列2門中，若a5a69,求 log 3alog3 a2 logs aio.舉一反三：【變式1】正項(xiàng)等比數(shù)列an中，若ai 3100=100;貝U lgai+lga2+ +lga 100=【變式2】在8和27之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為 320類型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4.在等比數(shù)列an中，已知& 48, S2n 60,求S3n。思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比

6、數(shù)列中前k項(xiàng)和，第2個k項(xiàng)和，第3個k項(xiàng)和，第n個k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。舉一反三：【變式11等比數(shù)列an中，公比q=2, S4=1，則&二【變式2】已知等比數(shù)列a。的前n項(xiàng)和為S 且S°=10, S 20=40，求:&。=?【變式3】等比數(shù)列烝的項(xiàng)都是正數(shù)，若S=80, S 2n=6560,前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54,求n.【變式4】等比數(shù)列an中，若a+&=324, a 3+a4=36,則a5+a6=【變式5】等比數(shù)列an中，若ai+&+a3=7,a4+a5+a5=56,求a7+a8+&的值。類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5.已知三個數(shù)成等比

7、數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32,則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4,則又成等比數(shù)列.求原來的三個數(shù).思路點(diǎn)撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到有三個數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)， 并將其設(shè)為整式形式.總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d, a, a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為 -,x, xy。但還要就問題而言，這里解法二 y中采用首項(xiàng)a,公比q來解決問題反而簡便。舉一反三：【變式1】一個等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4,那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列,如果再把這個等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原

8、來的等比數(shù)列.2】已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為 91，求這三個數(shù)?！咀兪?】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求這四個數(shù).類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S滿足：log 5(Sn+1)=n(n N),求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式, 并判斷a n 是何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過通項(xiàng)公式判斷an類型.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列Cn,其中G=2n+3n,且數(shù)列Cn+1-pCn為等比數(shù)列，求常數(shù)P【答案】 p=2 或 p=3；【證明】設(shè)

9、數(shù)列an、bn的公比分別為p, q ,且pwq【變式3】判斷正誤：a n為等比數(shù)列a7=&a4；(2)若b2=ac,貝U a, b, c為等比數(shù)列；(3)a n, bn均為等比數(shù)列,則anbn為等比數(shù)列；a n是公比為q的等比數(shù)列，則a2、 仍為等比數(shù)列；an(5)若 a, b, c 成等比，則 log na, log mb, log mc 成等差.類型七：Sn與an的關(guān)系a (n 1)Sn Sni (n 2)例7.已知正項(xiàng)數(shù)列an,其前n項(xiàng)和&滿足10Sn a2 5an 6,且ai, a3, ai5成等比數(shù)列J, 求數(shù)列a n的通項(xiàng)an.總結(jié)升華：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有

10、很大的聯(lián)系，它們是 尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系.舉一反三：【變式】命題1：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an+b(awl),則數(shù)列an是等比數(shù)列；命題2： 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=na-n,則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列。上述兩個命題中， 真命題為 個.經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例 1.等比數(shù)列an中，a1a9 64, a3 a7 20,求 a11.思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過已知條件可列出關(guān)于a1和q的二元方程組，解出 a1和q,可得ai；或注意到下標(biāo)1 9 3 7,可以利用性質(zhì)可求出a3、a7,再求ai.解析:設(shè)此數(shù)列公比為q,則a1 a9 a1alq8 6426a

11、3 a7 aq aq20由(2)得：a1q2(1 q4) 20(3), , a10 .由(1)得：(a1q4)2 64 , . aq4 8 (4)/41q205(3)+(4)得：一；一q28242.一2.21 2q 5q 2 0,解得 q2 或 q-2當(dāng) q2 2 時，42, a11 a1 q10 64；2110當(dāng) q 時，a132, an a q 1.2法一:, a a9 a3 a764，又 a3 a7 20,，a3、a7為方程x2 20x 64 0的兩實(shí)數(shù)根,a3 16a3 4或a7 4a7 1622a7, a3 an a7 , ，a11 1 或 a11 64 .a3總結(jié)升華：列方程（組）

12、求解是等比數(shù)列的基本方法，同時利用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；解題過程中具體求解時，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用除法（除式 不為零）.舉一反三：【變式1】an為等比數(shù)列,a1=3, a9=768,求a6?！敬鸢浮客?96法一：設(shè)公比為 q,貝U 768=a1q8, q8=256,，q=±2,%=±96;2法一： a5 =a1a9 a5=± 48 q=±2,，a6=±96?！咀兪?】an為等比數(shù)列，an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值?！敬鸢浮?4;aa89 a4516,又 an>0, . . a

13、45=4, , a44 a45 a46a4564。7 ， aa2a3【變式3】已知等比數(shù)列an,若a1 a2 a3anaa3-n 13 n2 或 an22a2,aa2a33a2a1 a3 5從而，解之得a1 1 , a3 4或a1 4, a3 1a® 4-1當(dāng) ai 1 時，q 2；當(dāng) ai 4 時，q 2。故 an 2n 1 或 an 23n。法二：由等比數(shù)列的定義知a2 a1q ， a32aq21a1a1qa1q7代入已知得11M1M7,(1) 2 a1 a1q a1q8a1(1q q2) 7, a(1 q q2)3 3a1q8aq 2»29將 a1一代入(1)得 2q

14、2 5q 2 0, q1解得q 2或q. a 4a 1由(2)得臼 或 1,以下同方法q 2 q 2類型二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例2.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若&+&=2&,求數(shù)列的公比q.解析：若 q=1,貝U有 S3=3a1, &=6a , &=9a1.因aw0,得與+與吃2s9,顯然q=1與題設(shè)矛盾，故qw1._92ai(1 q )3、6、a1(1 q ) a1(1 q )由 S3 s6 2s9 得，一1A"1 q 1 q整理得 q3(2q 6-q 3-1)=0 ,由 qw0,得 2q6-q 3-1=0 ,從而(2q 3+1)(

15、q 3-1)=0 ,因 q3w1,故 q31一,所以q2342舉一反三:【變式1】求等比數(shù)列11,3,9,L的前6項(xiàng)和。364；2431， q1161364324313,613【變式2】已知：an為等比數(shù)列,a1a2a3=27, S3=13，求 G.-121【答案】121或上1；93貝U a1=1或a9* 27 a2 3, 13 至91 q一 S5135121 或 S5=1211-3【變式3】在等比數(shù)列an中，a1 an66 , a2 an 1 128, Sn 126,求 n和 q。1【答案】q 或2, n 6； 2a2 an 1 a an, aan128解方程組aan 128 /日 a1,待

16、q an 66an64a1an264將an 6j。2由 anaqn 1,解得 n 6 ；將a1 2代入Sn a1 anq，得q 2, an 641 q由 anaqn 1,解得 n 6。1八c q 或 2, n 6。2類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例3.等比數(shù)列an中，若 a5 a6 9,求 log3allog3a2 . log 3 a10.解析:.an是等比數(shù)列，.1 log 3 ai log 3 a2舉一反三：【變式1】正項(xiàng)等比數(shù)列a1 a10a2 a9a3 a8 a4 a7 a5 a6955log 3 a10 Iog3(a1 a2 a3L a10)Iog3(a5 a6) Iog3 910an中，若

17、 ai - aioo=1OO;則 Iga i+lga 2+lga 100=【答案】100; Iga 1+Iga 2+Iga 3+lga 100=lg(a 1 a2 a3 a100)而 a a100=a2 - a99=a3 麗=a50 - a5150 .原式=lg(a 1 - a100) =50lg(a 1 - a100)=50 x Ig100=100?！咀兪?】在8和紅之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為 32法一：設(shè)這個等比數(shù)列為an,其公比為qa2 a3a5a4274 aq281162aq aq3aq3ai63216。法二：設(shè)這個等比數(shù)列為an,公比為aia5272

18、，加入的三項(xiàng)分別為a2, a3, a4，2由題忌a1，a3, a5也成等比數(shù)列，a327236 ,故 a3 6,【答案】216;23a? a3 a4 a3 a3 a3 216。類型四：等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4.在等比數(shù)列an中，已知Sn 48,S2nk項(xiàng)和,思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前 第2個k項(xiàng)和，第3個k項(xiàng)和，第n個k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。解析：法一： 令 b1 = S=48, b 2=Sn-Sn=60-48=12 , b3=S3n-S2n觀察 b1=a1+a2+b2=an+1+an+2+-b3=a2n+1+a2n+2+an,-

19、+a2n=qn(a /2+a3n=q易知bi,b2,b3成等比數(shù)列，2n,_. 一 .(a 1+32+hb2b3一+an), +an) 望3,S3n=b3+S2n=3+60=63.法二： S2n 2Sn ,qai(1 qn)481 q由已知得 q一q2n)601 qc5ci+得i qn5,即qn144代入得& 64 , i qa1(1q3n)1S3n64(1630法三：:an為等比數(shù)列，Sn, S2n & , S3n S2n也成等比數(shù)列, (S2nSn)2Sn(S3n S2n),(S2n Sn)2(60 48)2S3n S2n 60 63。Sn48舉一反三：【變式1】等比數(shù)列a

20、n中，公比q=2, S4=1，則&=【答案】17;S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q +&q +a3q +a4q =S4+q (a 1+a2+a3+a4)=S4+qS4=S4(1+q )=1 x (1+2 )=17【變式2】已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=10, S20=40,求：§。=?【答案】130;法一：S0, S20-S10, S30-S20構(gòu)成等比數(shù)列，(S20-S10)2=S10 - (S30-S20)即 302=10(S30-40),Sb0=130.法二：,2S0WS20,q 1 ,1020 辿山 10, S20 到9 40,1

21、 q1 q.10.- 1 q 1 - a10 3 . _a_520, q 3 ,51 q 41 q30 S301( q )( 5)(1 33) 130.1 q【變式3】等比數(shù)列an的項(xiàng)都是正數(shù)，若 Sn=80, S 2n=6560,前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為 54,求n.【答案】-Sn-80- , q 1(否則 S-)S2n6560S2n 2 Sna1(1 q )=80 1 q2nS2naq- =6560(2),1 q(2) +(1)得：1+qn=82, .,.qn=81(3) .該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，由(3)知q>1，an為遞增數(shù)列，an為最大項(xiàng)54.an=aiqn-1=54,aiqn=54q,

22、 .81ai=54q(4)542,、2 a1q q 代入(1)得q(1 81) 80(1 q),8133q=3,n=4.【變式4】等比數(shù)列an中，若a1+a2=324, a 3+a4=36,則a5+a6=.【答案】4; 24, 、令 b1=a1+a2=a1(1+q) , b2=a3+a4=a1q (1+q),b 3=a5+a6=aq (1+q),易知：b1, b 2, b 3成等比數(shù)列，m=匡=36_ =4，即 a5+a6=4.。324【變式5】等比數(shù)列an中，若a1+a2+a3=7,a 4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值?！敬鸢浮?48;,an是等比數(shù)列，(a 4+a5+a6)=(

23、a 1+a2+a3)q 3,，q3=8, a7+a8+a9=(a 4+a5+a)q3=56x 8=448.類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5.已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32,則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4,則又成等比數(shù)列.求原來的三個數(shù).思路點(diǎn)撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到有三個數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式.解析：法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為a-d, a,a+d.則a-d, a, a+d+32成等比數(shù)列，a-d, a-4, a+d成等比數(shù)列.a2(a d)(a d 32)(1)(a 4)2 (a d)(a d)(2)d 2 16由(2

24、)得 a=d(3)8 2 由(1)得 32a=d +32d(4)(3)代(4)消a,解得d 8或d=8. 3 8 .26. 當(dāng)d -時，a ；當(dāng)d=8時,a=1039 原來三個數(shù)為 2 ,空，338或2,10,50.9 99法二：設(shè)原來三個數(shù)為 a, aq, aq 2,則a, aq,aq 2-32成等差數(shù)列，a, aq-4, aq 2-32成等比數(shù)列_2.2aq a aq 32(aq 4)2a(aq2 32)(2),2八由(2)得a ，代入解得q=5或q=13q 4， 一 ， 一， 2 當(dāng) q=5 時 a=2;當(dāng) q=13 時 a -.9，原來三個數(shù)為 2, 10, 50或2, _6,338.

25、 999總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d, a, a+d;若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為-,x, xy 。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項(xiàng)a,公比q來解y決問題反而簡便。舉一反三：【變式1】一個等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4,那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32,那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列【答案】為2, 6, 18或2,竺,50； 99 9設(shè)所求的等比數(shù)列為a, aq, aq2;貝U 2(aq+4)=a+aq 2,且(aq+4) 2=a(aq 2+32);2斛得 a=2, q=3 或

26、 a - , q=-5 ；9故所求的等比數(shù)列為 2, 6, 18或2, 10,5099 927,或一9、它們的平方和為 91,求這三個數(shù)。3、一 1【變式2】已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為【答案】1、3、9或一1、3、一9或9、3、1設(shè)這三個數(shù)分別為 -,a,aq , q由已知得a a aq 27 q2a 22 2-2 a a q q91a 3a24 q2 1) 91 q1得 9q4 82q2 9 0 ,所以 q2 9 或 q2-,91即q 3或q 13故所求三個數(shù)為：1、3、9或一1、3、 9或9、3、1或一9、3、一 1?！咀兪?】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并

27、且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和 是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求這四個數(shù).【答案】0, 4, 8, 16 或 15, 9,3,1;設(shè)四個數(shù)分別是 x,y,12-y,16-x2y x 12 y.2(12 y)2y(16 x).(2)由(1)得 x=3y-12 ,代入(2)得 144-24y+y 2=y(16-3y+12) 144-24y+y 2=-3y 2+28y, 4y2-52y+144=0, y2-13y+36=0,y=4 或 9,x=0 或 15,.四個數(shù)為 0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1.類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：log 5(

28、Sn+1)=n(n C N+),求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷an是 何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列an的前n項(xiàng)和與可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過通項(xiàng)公式判斷an類型.解析：-.log 5(Sn+1)=n, .Sn+1=5n, .S=5n-1 (n CM),ai=Si=51-1=4,當(dāng) n>2 時，an=Sn-Sn-i=(5 n-1)-(5 n-1-i)=5 n-5 n-1=5n-1(5-i)=4 X 5n-1而 n=1 時，4X 5n-1=4X 51-1=4=a,n C N+時，an=4X 5n1由上述通項(xiàng)公式，可知 an為首項(xiàng)為4,公比為5的等比數(shù)列.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列Cn,其中G=

29、2n+3n,且數(shù)列Cn+1-pCn為等比數(shù)列，求常數(shù) P?！敬鸢浮縫=2或p=3;Cn+1-pCn是等比數(shù)列，對任意 nCN 且 n>2,有(Cn+1-pCn) 2=(Cn+2-pCn+1)(C n-pCn-1).G=2n+3n,(2 n+1+3n+1)-p(2 n+3n) 2=(2 n+2+3n+2)-p(2 n+1+3n+1)(2 n+3nAp(2 n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p) - 3n 2=(2-p) 2n+1+(3-p) 3n+1 (2-p)- 2n-1 +(3-p) 3n-1.一 1整理得：(2 p)(3 p) 2n 3n 0,解得：p=2 或 p=3,6顯然

30、G+1-pCnW 0,故p=2或p=3為所求.【變式2】設(shè)an、bn是公比不相等的兩個等比數(shù)列，C=an + bn,證明數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.【證明】 設(shè)數(shù)列an、bn的公比分別為p, q ,且pwq為證Cn不是等比數(shù)列，只需證 C1 C3 C；.2 , 、222,22C2 (ap bq)ai p 6 q2a1blpq,q2)2,2、22,222C1 C3 (a bi)(a1 p 6q ) a p6 qabi(p22C1 C3 C2a1bl ( p q) ,又 p w q, a 1 w 0, b 1 w 0,C1 CC；0即C1 C3.數(shù)列Cn不是等比數(shù)列【變式3】判斷正誤：a n為等比數(shù)列a7=a3a4；(2)若b2=ac,則a, b, c為等比數(shù)列；(3)a n,