初中數(shù)學(xué)圓的輔助線八種作法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考數(shù)學(xué)圓的輔助線在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本文只通過分析探索歸納幾種圓中常見的輔助線的作法。下面以幾道題目為例加以說明。1.有弦，可作弦心距在解決與弦、弧有關(guān)的問題時(shí)，常常需要作出弦心距、半徑等輔助線，以便應(yīng)用于垂徑定理和勾股定理解決問題。例1 如圖1, O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，且AC=BD。求證：PO平分APD。DCBPOAEFPB圖 1AC(BD，(AB(CD(分析1：由等弦AC=BD可得出等弧 =進(jìn)一步得出

2、= ，從而可證等弦AB=CD，由同圓中等弦上的弦心距相等且分別垂直于它們所對應(yīng)的弦，因此可作輔助線OEAB，OFCD，易證OPEOPF，得出PO平分APD。CD(AB(證法1：作OEAB于E，OFCD于FBD(AC( AC=BD => = => = => AB=CD=> OE=OFOEP=OFP=90° => OPEOPF0OP=OP=>OPE=OPF => PO平分APD分析2：如圖1-1，欲證PO平分APD，即證OPA=OPD，可把OPA與OPD構(gòu)造在兩個(gè)三角形中，證三角形全等，于是不妨作輔助線即半徑OA，OD，因此易證ACPDBP，得A

3、P=DP，從而易證OPAOPD。DCBPOAPB圖1-1證法2：連結(jié)OA，OD。 CAP=BDP APC=DPB =>ACPDBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>OPAOPD =>OPA=OPD =>PO平分APDOP=OP2.有直徑，可作直徑上的圓周角BDCMAO.A21圖 2對于關(guān)系到直徑的有關(guān)問題時(shí)，可作直徑上的圓周角，以便利用直徑所對的圓周角是直角這個(gè)性質(zhì)。例2 如圖2，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O交BC于點(diǎn)D ，過D作O的切線DM交AC于M。求證 DMAC。分析：由AB是直徑，很自然想到其所對的圓周角是直角。于是可連結(jié)AD，得ADB

4、=Rt,又由等腰三角形性質(zhì)可得1=2，再由弦切角的性質(zhì)可得ADM=B，故易證AMD=ADB=90°，從而DMAC。證明 連結(jié)AD。=>1=2 AB為O的直徑 =>ADB=Rt AB=ACDM切O于D => ADM=B => 1+B=2+ADM =>AMD=ADB= Rt => DMAC說明，由直徑及等腰三角形想到作直徑上的圓周角。3. 當(dāng)圓中有切線常連結(jié)過切點(diǎn)的半徑或過切點(diǎn)的弦例3 如圖3,AB是O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長線上，BD=OB，DC切O于C點(diǎn)。求A的度數(shù)。分析：由過切點(diǎn)的半徑垂直于切線，于是可作輔助線即半徑OC，得Rt，再由解直角三角形

5、可得COB的度數(shù)，從而可求A的度數(shù)。DAOBC.圖 3解：連結(jié)OC。=> COSCOD=OC/OD=1/2 =>COB=60°DC切O于C =>OCD=90°OC=OB=BD=> A=1/2COB=30°說明，由過切點(diǎn)的半徑垂直于切線想到連結(jié)半徑。例4 如圖4，已知ABC中，1=2，圓O過A、D兩點(diǎn)，且與BC切于D點(diǎn)。求證 EF/BC。EDCFO12AB圖 4分析：欲證EF/BC，可找同位角或內(nèi)錯(cuò)角是否相等，顯然同位角相等不易證，于是可連結(jié)DE，得一對內(nèi)錯(cuò)角BDE與DEF，由圓的性質(zhì)可知這兩個(gè)角分別等于1和2，故易證EF/BC。證明 連結(jié)D

6、E。BC切O于D =>BDE= 1 2= DEF =>BDE= DEF =>EF/BC 1= 2說明，由有切線且在同圓中等弧所對的圓周角相等想到連結(jié)弦。4.當(dāng)兩圓相切，可作公切線或連心線例5 已知：如圖5，O1與O2外切于點(diǎn)P，過P點(diǎn)作兩條直線分別交O1與O2于點(diǎn)A、B、C、D。求證 PBPC=PAPD。分析：欲證PBPC=PAPD，即證PAPB=PCPD，由此可作輔助線AC、BD，并證AC/DB，要證平行，需證一對內(nèi)錯(cuò)角相等，如C=D，然后考慮到這兩個(gè)角分別與弦切角有關(guān)，進(jìn)而再作輔助線即兩圓公切線MN，從而問題迎刃而解。ACNBDMPO1O2.圖 5證明 連結(jié)AC、BD，過

7、P點(diǎn)作兩圓的內(nèi)公切線MN=> C=D=>APM=C，BPN=DAPM=BPN=> AC/DB => PAPB=PCPD => PBPC=PAPD說明，由需證弦平行且弦切角等于其所夾弧對的圓周角想到作公切線和作弦。例6 已知：如圖6，O1與O2內(nèi)切于點(diǎn)T，經(jīng)過切點(diǎn)T的直線與O1與O2分別相交于點(diǎn)A和B。求證 TATB=O1AO2B。TBAO1O212圖 6分析：欲證TATB=O1AO2B，可考慮證這四條線段所在的三角形相似，即證TO1ATO2B，于是只需連結(jié)O2O1，并延長，必過切點(diǎn)，則產(chǎn)生TO1A和TO2B，由1= 2=T，則O1A/ O2B，易證線段比相等。=&

8、gt; O2O1必過切點(diǎn)T證明 連結(jié)并延長O2O1 O1 和O2內(nèi)切于點(diǎn)T=> 1= 2 => O1A/ O2B O1A=O1T =>1= T O2T= O2B =>2= T =>TO1ATO2B => TATB=O1AO2B說明，由連心線必過切點(diǎn)可構(gòu)造三角形證全等想到作連心線。5當(dāng)兩圓相交，可作公共弦或連心線。例7 如圖7，O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作O2的切線交O1于點(diǎn)C，直線CB交O2于點(diǎn)D，DA延長線交O1于點(diǎn)E，連結(jié)CE。求證 CA=CE。FEBCAO1O2.圖 7D分析：欲證CA=CE，考慮在三角形中證它們所對的角相等，即E=CAE，又由

9、DAF=CAE，想到弦切角DAF與所夾弧對的圓周角相等，故需作輔助線：公共弦AB，得E=DBA，易證CA=CE。證明 連結(jié)AB。 CA切O2于A =>DAF=DBA 四邊形ABCE內(nèi)接于O1 =>E=DBA DAF=CAE=>E=CAE => CA=CE說明，由兩圓相交及用到弦切角和圓內(nèi)接四邊形想到作公共弦。CDEMNGABO2O1F圖 8例8 如圖8，在梯形ABCD中，以兩腰AD、BC分別為直徑的兩個(gè)圓相交于M、N兩點(diǎn)，過M、N的直線與梯形上、下底交于E、F。求證： MNAB。分析：因?yàn)镸N是公共弦，若作輔助線O1O2，必有MNO1O2，再由O1O2是梯形的中位線，得

10、O1O2/AB，從而易證MNAB。證明 連結(jié)O1O2交EF于G => MNO1O2。 DO1=O1A，CO2=O2B => O1O2是梯形ABCD的中位線 => O1O2/AB =>EFA=EGO1=Rt => MNABFABDO.HEC圖 9說明，由兩圓相交連心線垂直于公共弦想到作連心線。6有半圓，可作整圓例9 如圖9，BC為O的直徑，ADBC于D，BA(AF ( = , AD交BF于E。求證 AE=BE分析：欲證AE=BE，可考慮在三角形中證這兩邊BH(BA(BH(AF，(所對角相等。即ABF=BAE，再考慮證這兩個(gè)圓周角所對的弧相等，故需補(bǔ)全O，可證 = ，

11、故有 = 易證AE=BE.證明 補(bǔ)全O，延長AD交O于H，BA=AF，(BH(BA( 直徑BCAD => = BH(AF(=> = =>ABF=BAH => AE=BE說明，由平分弦的直徑必平分弦所對的弧想到補(bǔ)全圓。7相交兩圓中至少有一個(gè)圓經(jīng)過另一個(gè)圓的圓心，遇到這類問題，常用的輔助線是連結(jié)過交點(diǎn)的半徑例10 如圖10，O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，且O2在O1上，點(diǎn)P在O1上，點(diǎn)Q在O2上，若APB=40°，求AQB的度數(shù)。PAQBO2O1.圖 10分析 連結(jié)O2A、O2B，在O1中利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求得AO2B=140°，在O2中，AQB=1/2AO2B=70°。證明過程略。說明，由同圓內(nèi)同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半想到連結(jié)過交點(diǎn)的半徑。