淺談至江蘇高考附加題最后一題

1、 08-13江蘇高考數(shù)學(xué)附加題最后一題解析點(diǎn)評(píng)（08年23題）23【必做題】請(qǐng)先閱讀：在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：（i）； （ii）； （iii）證明：（1）在等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得 移項(xiàng)得 （*）（2）（i）在（*）式中，令，把-n移過去整理得 所以 =0（ii）看到項(xiàng)，首先想到的就是升次，所以必定是求兩次導(dǎo)由（1）知繼續(xù)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得在上式中，令 即 ，亦即 又時(shí)， （1）又由（i）知 （2）由（1）+（2）得（iii）（官方解答）第三問中含有，而且是在分母上的，有種逆求導(dǎo)的感覺

2、，所以想到跟積分有關(guān)，故將等式兩邊在上對(duì)積分 由微積分基本定理，得 所以 第（iii）問別解：搞過數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)很容易就想到一個(gè)組合恒等式，所以等價(jià)于證，即證 而這時(shí)顯然的。點(diǎn)評(píng)：江蘇的這道題是新課改后的第一張?jiān)嚲?，所以命題還不成熟，對(duì)于絕大部分普通學(xué)生，此題屬于難題，但卻很適合競(jìng)賽黨，這不明擺著照顧競(jìng)賽黨么。這道題是組合恒等式的范疇，用到的技巧又是算兩次，標(biāo)答中竟然還用到了微積分，只能呵呵了。（09年23題）23. （本題滿分10分）對(duì)于正整數(shù)2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。（1）求

3、和；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)2，有.下面先給出官方解答：上面第二問的標(biāo)準(zhǔn)解答用的是對(duì)立事件，而且沒有去求，而是在概率分析上放縮，這時(shí)它的高明之處。然而其實(shí)大可不必這樣做，這道題可以說是很簡(jiǎn)單的題目，我來給出第二問的直接解法：（2）證明：我們沿用第一問的思路，引入高斯符號(hào) ,例如x表示不大于x的最大整數(shù)。 當(dāng)，總有，所以共有組有序數(shù)對(duì)； 當(dāng)，因?yàn)?，所以共有組有序數(shù)對(duì)。所以根據(jù)高斯函數(shù)的定義，易得點(diǎn)評(píng)：此題屬于容易題，就是普普通通的放縮而已。（10年23題）已知ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。（1） 求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。同樣先給出官方答案：這道題出自葛軍

4、之手，同樣也有競(jìng)賽的背景，他給的答案中采用的加強(qiáng)命題的技巧。其實(shí)這是一類競(jìng)賽題型，在對(duì)偶原理中經(jīng)常能見到這種題目，要證cos不容易入手，那我就再順手牽羊證sin也滿足如此性質(zhì)?？墒强吹酱祟}競(jìng)賽黨又樂了，不就是第二數(shù)學(xué)歸納法嗎？下面給出別解：（1） 證明：設(shè)三邊長(zhǎng)分別為，是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉性，必為有理數(shù)，cosA是有理數(shù)。（2）當(dāng)時(shí)，顯然cosA是有理數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osA是有理數(shù)， 也是有理數(shù)；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，解得：cosA，均是有理數(shù)，是有理數(shù)，是有理數(shù)。即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，cosnA

5、也是有理數(shù)。點(diǎn)評(píng)：此題又是照顧競(jìng)賽黨，表示呵呵。（11年23題）設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，其中 （1）記為滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求；（2）記為滿足是整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求解析：（1）因?yàn)闈M足的每一組解構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)所以。（2）設(shè)，則 （競(jìng)賽中就寫作，即同余），同樣，它的每一組解對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，所以對(duì)于每個(gè)。下面就是要解決，又因?yàn)?，所以，那么我們?cè)谙脒@個(gè)問題：在區(qū)間中，到底有多少整數(shù)呢？如果由前面我講過的高斯函數(shù)性質(zhì)的話，那么很簡(jiǎn)單，共有個(gè)整數(shù)，k的取值最大為，所以。（保留這個(gè)和式就行了，不必展開算。）如果你不用高斯函數(shù)，那么就按標(biāo)準(zhǔn)答案一樣規(guī)規(guī)矩矩來，分類討論后再整合。關(guān)于標(biāo)答請(qǐng)自行百度。點(diǎn)評(píng)：此題屬于中

6、高檔題，以數(shù)論中同余的背景來切入高中數(shù)學(xué)分類討論的思想，是一道好題。（12年23題）設(shè)集合，記為同時(shí)滿足下列條件的集合的個(gè)數(shù)：；若，則；若，則。（1）求；（2）求的解析式（用表示）照慣例，先給出官方解答：解：（1）當(dāng)時(shí)，符合條件的集合為：， =4。 ( 2 ）任取偶數(shù)，將除以2 ，若商仍為偶數(shù)再除以2 ，··· 經(jīng)過次以后商必為奇數(shù)此時(shí)記商為。于是，其中為奇數(shù)。由條件知若則為偶數(shù)；若，則為奇數(shù)。于是是否屬于，由是否屬于及k的奇偶性確定。設(shè)是中所有奇數(shù)的集合因此等于的子集個(gè)數(shù)。當(dāng)為偶數(shù) 或奇數(shù)）時(shí)，中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是（）。標(biāo)準(zhǔn)答案給得很好，通俗易懂，雖然涉及到了一個(gè)數(shù)論中小小的基本知識(shí)：任意一個(gè)正整數(shù)可以表示為，其中。這道題因?yàn)楸容^巧，比較難，請(qǐng)恕我在短時(shí)間內(nèi)也想不到更好的解法了。這道題應(yīng)該是近幾年江蘇附加題最難的一道了。（13年23題）設(shè)數(shù)列：，即當(dāng)時(shí)，.記.對(duì)于，定義集合是的整數(shù)倍，且.（1） 求集合中元素的個(gè)數(shù)；（2） 求集合中元素的個(gè)數(shù).解：（1）通過計(jì)算易知個(gè)數(shù)為5. （2）思路：嘗試探尋的通項(xiàng)，與的通項(xiàng)比較發(fā)現(xiàn)規(guī)律.若為奇數(shù)，且時(shí)，則數(shù)列前個(gè)數(shù)為：，（） 為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，是整數(shù)，故均能整除.若為偶數(shù)，且時(shí)，則數(shù)列前個(gè)數(shù)為：，（）為奇數(shù)，為偶