利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程江南中教研組曲線在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率，我們通常用導(dǎo)數(shù)的這個(gè)幾何意義來(lái)研究一些與曲線的切線有關(guān)的問(wèn)題。對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程我們要把握三個(gè)等量關(guān)系：1 曲線在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率，有；2 切點(diǎn)在曲線上，有3 切點(diǎn)在切線上，有切線方程最基礎(chǔ)的題型就是已知切點(diǎn)求斜率、切線方程。例一：曲線在x=1的切線方程為 ；解析：直接利用等量關(guān)系得到切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率；由題意可知，切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5）又，切線的斜率為4，切線的方程為y5 = 4(x1)，即y=4x1。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的關(guān)鍵是要理解導(dǎo)數(shù)的

2、幾何意義，熟悉等量關(guān)系。另有一種題型是先知道切線的斜率，求切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程。例二：曲線的一條切線的斜率是，求切線方程。解析：先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用等量關(guān)系由待定系數(shù)法求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求切線方程；設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（），切線的斜率為，= 4，切點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）切線的方程為y =4x4解這種題型的關(guān)鍵問(wèn)題就是不能忽視切點(diǎn)在曲線上的這個(gè)關(guān)系。再有一種題型求過(guò)曲線外一點(diǎn)的切線的方程。例三：曲線的切線過(guò)點(diǎn)（0，4）求切線的方程。解析：同樣設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，充分利用等量關(guān)系，由待定系數(shù)法求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求切線方程；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則在點(diǎn)處的切線方程為： 過(guò)點(diǎn)，且 或 當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為y=4x4

3、， 當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為y=4x4， 過(guò)點(diǎn)（0，4）的切線方程為： y=4x4， y=4x4。由于切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率均可用切點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，故可輕松利用待定系數(shù)法，但要充分利用三個(gè)等量關(guān)系。還有一種題型求過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線的方程。 例四： 求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程 解析：同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)常忽視對(duì)切點(diǎn)的情況進(jìn)行具體分析，引起錯(cuò)解。如：顯然點(diǎn)P在曲線上， 過(guò)點(diǎn)P（2，-2）的切線方程為： ，即由于點(diǎn)恰好在曲線上，因此很容易得到一條切線方程，即以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線。本題求的是“經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線”，而不是“點(diǎn)處的切線”，因而不排除有其他切線經(jīng)過(guò)。因此本題切線應(yīng)有兩條，一條以點(diǎn)為切點(diǎn)，另一條不以點(diǎn)為切點(diǎn)但經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故解法應(yīng)同例三； 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則在點(diǎn)處的切線方程為： 過(guò)點(diǎn)，且 整理，得： 即： 或 當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為， 當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為 過(guò)點(diǎn)的切線方程為：或當(dāng)點(diǎn)P在曲線上，要求過(guò)點(diǎn)P的切線時(shí)，一定要注意可能存在兩種情況：一是點(diǎn)P本身即為切點(diǎn)；二是切線是以曲線上的另一點(diǎn)Q為切點(diǎn)，但該切線恰好過(guò)點(diǎn)P。解題時(shí)勿混淆了“在P點(diǎn)處的切線”與“過(guò)P點(diǎn)的切線”兩概念，否則會(huì)因概念理解不夠深刻而“大意失荊州”。