畢業(yè)論文張銳

1、和式極限的幾種求法作者: 張銳 指導(dǎo)老師：蔡改香摘要 和式極限是分析學(xué)的基礎(chǔ)和重要工具，也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)難點(diǎn).本文著重介紹了利用數(shù)列部分和公式求和式極限，利用定積分定義求和式極限，利用冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式求和式極限，利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性等幾種求和式極限的方法.關(guān)鍵詞 和式極限 數(shù)列 積分 無(wú)窮級(jí)數(shù)1 引言極限是數(shù)學(xué)分析中非常重要的概念，極限思想始終對(duì)于解決分析學(xué)中的許多問(wèn)題起著非常關(guān)鍵的作用，而且和式極限是極限論中的重難點(diǎn)問(wèn)題.對(duì)于如何計(jì)算無(wú)限多項(xiàng)和式的極限問(wèn)題，雖然在很多數(shù)學(xué)教材里均有所涉及，但是少有專題研究它的求法.當(dāng)我們遇到極限為“無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小之和”的形式(簡(jiǎn)稱無(wú)窮和式),就不能用這些常

2、規(guī)的方法了.通常是先求出無(wú)窮數(shù)列前項(xiàng)的和,再求和式的極限.但當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)的和不易求出時(shí),我們就可以考慮用定積分的定義來(lái)求它的極限是微分學(xué)的靈魂，極限的計(jì)算是極限理論的重要內(nèi)容.本文將詳細(xì)地歸納出求解和式極限的幾種基本方法和運(yùn)用相關(guān)定理求解和式極限的方法.2 求解和式極限的幾種方法 一般而言，求解和式極限有求和、夾逼準(zhǔn)側(cè)、定積分的定義以及無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)式求和等方法，以及應(yīng)用托布利茲（Toeplitz）定理和施篤茲（Stolz）定理求解相關(guān)問(wèn)題，下面以例題的形式介紹一下這幾種方法的具體應(yīng)用. 2.1利用求和的方法求和式極限 是指使用初等的方法數(shù)列求和、裂項(xiàng)相消等求出的和，然后再求其極限.例1 求極限

3、. 解 .例2 求極限.解 疊加得所以.2.2利用夾逼準(zhǔn)則求和式極限 需要構(gòu)造兩個(gè)和式或數(shù)列將要求極限的和式夾在中間，并使得兩邊的極限相等，這時(shí)往往使用放縮的方法.例3 求極限.解 由于且所以.例4 求極限.解（1）當(dāng)時(shí)，則又，所以當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)（3）當(dāng)時(shí)，則又所以當(dāng)時(shí)綜上所述.2.3利用定積分的定義求解和式極限和式極限是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)問(wèn)題,由于解法的多樣性,也是一個(gè)難題.討論一類用定積分定義求和式極限的方法,同時(shí)這種方法充分表現(xiàn)了和式極限與積分這兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念之間的緊密聯(lián)系,也表現(xiàn)出求和式極限的多樣性與靈活性.和式極限是一類基本的極限,其一般的方法是先求和,然后取極限.但

4、是,有些和式求和并非易事,而有些和式甚至不能求和,怎么求它的極限呢?我們知道,“和”與“積分”是有緊密聯(lián)系的,有些和式極限,在滿足特定的條件下,可以轉(zhuǎn)化為積分.一般需要將極限化為的形，然后根據(jù)定積分的定義將極限轉(zhuǎn)化為積分計(jì)算.例5 求.解 設(shè)由此可知，可看作在上的積分和式其中,于是 原極限.例6 求極限.解 令則有所以.2.4利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求和式極限討論由冪級(jí)數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (1)它稱為冪級(jí)數(shù)，是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從某種意義上說(shuō)，它是可以看作室多項(xiàng)函數(shù)的延伸.冪級(jí)數(shù)在理論和實(shí)際上都有很多應(yīng)用，特別是在應(yīng)用它表示函數(shù)方面，使我們對(duì)它的作用有很多新的了解和認(rèn)識(shí).下面將著重討論.即：

5、 （2）的情形，因?yàn)橹灰眩?）中的換成，就得到（1）.（阿貝爾定理）若冪級(jí)數(shù)（2）在收斂，則對(duì)滿足不等式的任何，冪級(jí)數(shù)（2）收斂而且絕對(duì)收斂；若冪級(jí)數(shù)（2）在時(shí)發(fā)散，則對(duì)滿足不等式的任何，冪級(jí)數(shù)（2）發(fā)散.在函數(shù)的冪級(jí)數(shù)(特別是麥克勞林)展開(kāi)式中，選取適當(dāng)?shù)闹?，即可能轉(zhuǎn)化為通過(guò)論數(shù)列級(jí)數(shù)的收斂性求和極限.例7 計(jì)算即計(jì)算.解 在上兩式中令得 （3） （4）（3）（4）得所以.例8 求，收斂域.解 令 取，即得.2.5利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式求和式極限一般地說(shuō)，若是以為周期且在上可積的函數(shù)，則可按公式計(jì)算出和，它們稱為函數(shù)（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉系數(shù)，以的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)稱為（關(guān)于三角

6、函數(shù)系）的傅里葉級(jí)數(shù)，記作.這里的記號(hào)“”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù).由公式知道，若得右邊的三角級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上一致收斂于其和函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，即此時(shí)中的“”號(hào)換成等號(hào).然而，若從以為周期且在上可積的函數(shù)出發(fā)，按公式:求出其傅里葉系數(shù)并得到傅里葉級(jí)數(shù)，這時(shí)還需要討論此級(jí)數(shù)是否收斂.如果收斂，是否收斂于本身.在函數(shù)的傅氏（特別是正、余弦）展開(kāi)式中在其收斂域內(nèi)選取適當(dāng)?shù)闹?，即可轉(zhuǎn)化為通過(guò)對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的討論求和式極限.例9 求.解 將在展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)因?yàn)樗o函數(shù)在上滿足狄氏收斂定理因此 令時(shí)，則所以故 .例10 計(jì)算.解 將在展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)且該余弦級(jí)數(shù)在滿足狄利克萊充分條件，因此: 令，則

7、所以故.另外，.2.6利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性求和式極限 收斂的充分必要條件是存在.因此可以通過(guò)討論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性和式 的極限.一般地，可以將所給和式擴(kuò)充為一個(gè)級(jí)數(shù)來(lái)討論，也可以通過(guò)討論某級(jí)數(shù)的收斂性來(lái)求和式的極限. 例11 計(jì)算及.解 首先討論的收斂性：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且所以收斂且其和為又所以.2.7利用等價(jià)無(wú)窮小替換求和式極限定理 若則當(dāng)時(shí).例12 求. 解 因?yàn)榱顒t當(dāng)故原式.例13 求 .解 因?yàn)榱顒t當(dāng)故原式.2.8構(gòu)造母函數(shù)求和式極限母函數(shù)法是一種生產(chǎn)函數(shù)法，它充分具體現(xiàn)了由特殊到一般及由一般到特殊的關(guān)系，把問(wèn)題“化整為零”，把分散的問(wèn)題歸總起來(lái)，可收“事半功倍”之效.例14 求證.證明

8、構(gòu)造的母函數(shù)，即，亦即是的和函數(shù)由有積分得 再微分得故有 取即得.2.9利用托布利茲（Toeplitz）定理求和式極限托布利茲（Toeplitz）定理若其中且當(dāng)時(shí)，則有.例15 求極限.解 因?yàn)槎耶?dāng)時(shí)， 又因?yàn)橛衫猛胁祭潱═oeplitz）定理即得： .例16 求極限 . 解 我們知道當(dāng)時(shí)又因?yàn)橐蚨捎衫猛胁祭潱═oeplitz）定理即得.2.10利用施篤茲（Stolz）定理求和式極限施篤茲（Stolz）定理設(shè)和是兩個(gè)數(shù)列，若滿足條件：1)存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí) 2) ;3) 存在（有限或者是）. 則.例17 求極限 解 令由施篤茲（Stolz）定理即得 .結(jié)束語(yǔ)本文系統(tǒng)地闡述了求解和式極

9、限的幾種方法，并以例題的形式給出示范.正文中主要提到10種求解方法，前面8種是常見(jiàn)的基本方法，而后面兩種是通過(guò)對(duì)托布利茲（Toeplitz）定理和施篤茲（Stolz）定理的巧妙應(yīng)用來(lái)求解和式極限的.當(dāng)然求解和式極限的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這10種，所以需要大家共同去探索研究. 參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,數(shù)學(xué)分析M,北京:高等教育出版社,2001.2 錢吉林,數(shù)學(xué)分析題解精粹M,武漢:崇文書局,2003.3 朱小紅,關(guān)于和式極限求法的探討J,武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),19：1(2007),74-76.4 翟龍余,一類和式極限的求解J,宜春學(xué)院學(xué)報(bào),30：4(2008),20-22.5 陳傳璋,數(shù)學(xué)分

10、析M, 復(fù)旦大學(xué)出版社,1983.6 佐里奇,Mathematical AnalysisM,世界圖書出版公司2006.Several Ways to Evaluate the Sum LimitAuthor: Zhang Rui Supervisor: Cai Gaixiang Abstract The sum limit is the foundation and an important tool of analysis, it is also a difficult point in higher mathematics teaching. This paper mainly introduces several ways to evaluate the sum limit, namely, the evaluation by using the partial sum formula of sequence of number, the evaluation by using the definition of definite integral, the evaluation by using the