【2020年高考必備】高考數(shù)學(xué)終極解題策略-構(gòu)造函數(shù)

1、i高考數(shù)學(xué)終極解題策略-構(gòu)造函數(shù)構(gòu)建函數(shù)專題關(guān)系式為“加”型(1)f(x) f(x)_O構(gòu)造exf(x) =exf(x)f(x)(2)xf(x) f(x) _0構(gòu)造xf(x) =xf(x) f(x)(3)xf (x) nf (x) _0構(gòu)造xnf(x)xnf (x) - nxnf (x) =xnxf (x) nf (x)(注意對(duì)x的符號(hào)進(jìn)行討論) 關(guān)系式為“減”型YV(1)f(x)f(x)XO構(gòu)造竺=f(x)e_zf(x)e=f(x)f(x)e(e )e(2)xf(X)-f(X)_O構(gòu)造f(x) =xf(x)；f(x)xx(3) xf(x)nf(x)XO構(gòu)造単=%打0)-訃：十儀)=%(二時(shí)儀

2、)x(x )x(注意對(duì)x的符號(hào)進(jìn)行討論)典型例題：例 1.1.設(shè)f(x)、g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),變式： 設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)、 偶函數(shù)， 當(dāng)x： ： ：0時(shí)，f(x)g(x) f (x)g(x) 0,g(-3) = 0，求不等式f (x)g(x) 0的解集._例 2 2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)、g(x)滿足-f(x)ax，且f(x)g(x)：f (x)g(x)g(x)g(i) g(T) 2Xf(n)*31數(shù)列 -(n N )的前n項(xiàng)和等于一，則n等于_g(n)32變式：已知定義在R上的函數(shù)f(x)、g(x)滿足f(x)二ax，且f(x)g(x)：f (x)g(

3、x)，若若f(1).仆-1),g(x)g(i) g(-1)小結(jié)：1.1.加減形式積商定2.2.系數(shù)不同幕來(lái)補(bǔ)3.3.符號(hào)討論不能忘(x)g(x)f(x)g(x)：g(-3) = 0，求不等式f(x)g(x)：0的解集22求關(guān)于x的不等式logax 1的解集.例 3.3.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x)，當(dāng)x = 0時(shí)，f(x) f(x).0，若x11 1a = 2f(2),b = 2f(2),c = lnfQn 2)，則關(guān)于a,b,c的大小關(guān)系是 _例 4.4.已知函數(shù)f (x)為定義在R上的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f(x)：f(x)對(duì)于任意x R恒成立，且f(3)=e,3)=e,則f

4、 (x)/e/eA Ax1x1 的解集為1變式：設(shè)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)_-f(x)，f(0) =1，f(2)=；求f(1)的值e例 5 5. .設(shè)函數(shù)f (x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且2f(x) xf (x) x2，變式：已知f (x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x)，當(dāng)x 0時(shí)，2f(x) xf (x)，且f (1)=1，若存在xR，使f (x) =x2， 求x的值. .鞏固練習(xí)：1. 定義在R上的函數(shù)f (x)，其導(dǎo)函數(shù)fx滿足fx 1，且f2=3，則關(guān)于x的不等式f x：x 1的解集為 2. 已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f/(x)，滿足f/(x) :：f(x

5、)，且y = f(x T)為偶函數(shù)，f (2) =1,則不等式f (x) ex的解集為3. 設(shè)f (x)和g (x)分別是f (x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(x)g(x)_ 0在區(qū)間|上恒成立，則稱f (x)和g(x)在區(qū)間|上單調(diào)性相反若函數(shù)f(x)=-x32ax與g(x)=x2+2bx在開(kāi)區(qū)間(a,b)上單調(diào)性相反(a=0)，貝U ba的最大3值為 4. 設(shè)函數(shù)f (x)在 R 上存在導(dǎo)數(shù)f (x)，對(duì)任意的X，R有f (-X) f(x) =x2，且在0,上，f (x) x.，若f (2 -a) - f (a) - 2 - 2a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi) ；3一些常見(jiàn)的導(dǎo)數(shù)小題1 已知函數(shù)f

6、(xx3bx2cx d(b、c、d為常數(shù))，當(dāng)(0,1)時(shí)取極大值，當(dāng)(1,2)時(shí)取極小值，則12 2(b )2(C-3)2的取值范圍是()2cl4 .定義在 R 上的函數(shù) y =fx，滿足 f 2 -x 二 f x , x -1 f x 0，若f 3a 1 : f 3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()f_oo -He)A.,3B .3,A.(孕5)B.(.5,5)C.37匚25)D.(5,25)2.已知 f(x)、g(x)都是定義在 R 上的函數(shù),TO,f(x)g(x)2恒成立，貝V實(shí)數(shù)a的2人 一X2取值范圍是()A.(0,1B .(1,：)2 2C.33D2】f2-：,一2 2,：336 .已知

7、函數(shù)y斗空嚴(yán)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為X1, X2，且 X1(0, 1) , X2 (1, +：)，記分別以 m n 為橫、.(1,3)(3,)D . 3,)7 .已知函數(shù)11-x 363八x 1,x J|0丄2-2，函數(shù)1,12&g x = asin i x16-2a 2 a 0 ,若存在x1,x21-0,1，使得B.41C.I3 D.5C. (0,1)D.V：)10.已知定義在R上的函數(shù)f (x)和g(x)分別滿足f(x)=e2x=+x22f(0)x,g(x) + 2g(x) 0f 2b c 3：0 Ic 04b c 12 -07冷，則h(x)(x)g(x)f(x)g(x)：0,所以h(x

8、)二f (x)二ax是減函數(shù),g(x)o1.又f(1)f(-1)g(1) g(1)515=5，所以a =5,a2a2試題分析：曲線y =xn -1(n N),y (n 1)xn, f(1) = n 1，二曲線 y=xn+1(n2)在(1, 1 )處的切線方程為y十(n 1)(x-1),該切線與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為Xn，因此。n +1n -1n_ 1X1X2川Xn二122 3 n n +1 n +1考點(diǎn)：y =xn的導(dǎo)數(shù)，曲線 C 的切線方程，直線與 x 的交點(diǎn).4. D【解析】試題分析：函數(shù)y二fx，滿足 f 2-x 二 f x 說(shuō)明函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線X =1對(duì)稱，由于x -1 f

9、x：0,則當(dāng)x：1時(shí)，f(x) 0,函數(shù)在(-：，1)為增函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)：0，函數(shù)在(1 ,+：)為減函數(shù)，因f(1) =f(3)，若 f(3a+1)cf(3 )，則3a+1 3，則a -，選33D；試題分析：令h(x) =f(x)g(x)2g(x)1.由厶 0得b：2.又b (0,1)，由幾何概型概率公式得:8考點(diǎn)：1 禾 U 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性； 2借助函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，解不等式5. A【解析】試題分析：f (x) =1 cosx _ 0，所以f (x) = x sin x(x二R)單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).由f(y2-2y 3) f(x24x 1)0得f(y22y 3)乞f(

10、x24x1)即:-1112k _1亠kl313 1 y 3kpE.設(shè)PD:y=k(x1)，由 _-1得k1,k2=0.結(jié)合圖形可知，k即選k21444 4 x 1 43試題分析：因?yàn)?，?mx +(m +2Ex”，所以,2y=x +mx+12(m+r),依題意知，方程 y=0 有兩個(gè)根 X1、X2，且 X1(0,1) ,X2(1,+s),2構(gòu)造函數(shù) f (x) =x +mx+12(m+n),A.-3考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)；2、平面區(qū)域；3、不等關(guān)系.6.B-4【解析】，即y2-2y 3乞-x24x -1= (x -2)2(y -1)乜1作出y-1(x 2)2(y_1)2叮表示的區(qū)域如圖所示

11、:m n02 3m nV031112x3試題分析：當(dāng)x 0, 時(shí)，0 _f(x)；當(dāng)X，(,1時(shí)，f(x)(x)二4x36x2(x 1)20,故函數(shù)在x (1,12直線 m+n=0, 2+3m+n=0 的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1 , 1)考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，二元一次不等式(組)與平面區(qū)域。點(diǎn)評(píng)： 中檔題， 本題綜合性較強(qiáng)， 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值， 通過(guò)構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)圖象研究方程跟單分布， 體現(xiàn)應(yīng) 用數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活性。7. A【解析】92 3a_0且2 2am1，所以a1,422 3考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、函數(shù)的值域；3、集合的運(yùn)算8.B.【解析】設(shè)P(a,a),Q(b,二，則

12、(ab)2十(d C)2=|PQ|2,P(a,-)的軌跡為直線3b333雙曲線y，雙曲線上一點(diǎn)(x0,)到直線x-3y=：0的距離為d二XX0最小值為一5【命題意圖】本題主要考查距離公式、基本不等式等知識(shí)，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、邏輯推理能力.9.D【解析】試題分析：根據(jù)f(X1)f(x2)2可知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于或等于2，所以fx=a2 x 0,a 0，分離參數(shù)x1-x2X得a _ x 2 -x，而當(dāng)x 0時(shí)，x 2 -x最大值為1，故a _ 1考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，恒成立問(wèn)題.10. D【解析】試題分析：f x二f 1e2x2x - 2f0,所以f1 = f12-2f0,f 0 = 1,f x二

13、e2xx2-2x,設(shè)F x二e2xg x,Fxi=g x e2x- 2g x e2x=e2x| g x2g x，由于e2x0,g x2gx：0,Fx：0恒成立，所以Fx單調(diào)遞減，所以F 2015 - F 2017,f 2 = e4，故有e2 2015g 2015 -e2 2017g 2017，即g 2015e4g 2017，因此g(2015) f (2) g(2017),故選 D.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.解答本題首先對(duì)f x求導(dǎo)，求出f 0，進(jìn)而得到函數(shù)f x的解析式，對(duì)于g(x) 2g(x)：0的應(yīng)用，應(yīng)考慮構(gòu)造函數(shù)F x = e2xg x，求導(dǎo)即可得到其單調(diào)性，從而有F 2015 F 2017，整理即可得到結(jié)論，考查考生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力.11.aT 或a 2【解析】