電大離散數(shù)學集合論部分期末復習輔導

1、離散數(shù)學集合論部分期末復習輔導一、單項選擇題1若集合A a，a，1，2，則下列表述正確的是( )Aa，aA B1，2A CaA DA解 因為aA，所以aA2若集合A=1，2，B=1，2，1，2，則下列表述正確的是( )AAB，且AB BBA，且ABCAB，且AB DAB，且AB解 因為1B，2B，1，2B，A=1，2所以AB，且AB3若集合A2，a， a ，4，則下列表述正確的是( )Aa， a A BAC2A D a A解 因為aA，所以 a A4若集合A a，a，則下列表述正確的是( )AaA BaACa，aA DA解 因為aA，所以aA注：若請你判斷是否存在兩個集合A，B，使AB，且AB

2、同時成立，怎么做？答：存在。如2題中的集合A、B。或，設(shè)A=a，B=a，a。注意：以上題型是重點，大家一定要掌握，還要靈活運用，譬如，將集合中的元素作一些調(diào)整，大家也應(yīng)該會做例如，下題是2011年1月份考試試卷的第1題：若集合A a，1，則下列表述正確的是( )A1A B1ACaA DA解 因為1是集合A的一個元素，所以1A5設(shè)集合A=a，則A的冪集為( )Aa Ba，aC，a D，a解 A = a的所有子集為0元子集，即空集：；1元子集，即單元集：a所以P(A) = ，a6設(shè)集合A = 1, a ，則P(A) = ( )A1, a B,1, aC,1, a, 1, a D1, a, 1, a

3、 解 A = 1, a的所有子集為0元子集，即空集：；1元子集，即單元集：1，a；2元子集：1, a所以P(A) = ,1, a, 1, a 注意： 若集合A有一個或有三個元素，那么P(A)怎么寫呢？例如，2012年1月份考試題的第6題：設(shè)集合Aa，那么集合A的冪集是 ,a 若A是n元集，則冪集P(A )有2 n個元素當n=8或10時，A的冪集的元素有多少個？ （應(yīng)該是256或1024個）7若集合A的元素個數(shù)為10，則其冪集的元素個數(shù)為（ ）A1024 B10 C100 D1解 |A| = 10，所以|P(A)| = 210 = 1024以下為2012年1月份考試題的第1題：若集合A的元素個數(shù)

4、為10，則其冪集的元素個數(shù)為（ ）A10 B100 C1024 D18設(shè)A、B是兩個任意集合，側(cè)A-B = ( )AA=B BAB CAB DB = 解 設(shè)xA，則因為A-B = ，所以xA-B，從而xB，故AB9設(shè)集合A=1,2,3,4，R是A上的二元關(guān)系，其關(guān)系矩陣為MR則R的關(guān)系表達式是( )A，B，C，D，10集合A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的關(guān)系R=|x+y=10且x, yA，則R的性質(zhì)為（ ）A自反的 B對稱的C傳遞且對稱的 D反自反且傳遞的解 R = ，易見，若R，則R，所以R是對稱的答 B另，因為1A，但R，所以R不是自反的。因為5A，但R，所以R不是反自

5、反的。因為R且R，但R，所以R不是傳遞的。要求大家能熟練地寫出二元關(guān)系R的集合表達式，并能判別R具有的性質(zhì)11集合A=1, 2, 3, 4上的關(guān)系R=|x=y且x, yA，則R的性質(zhì)為（ ）A不是自反的 B不是對稱的C傳遞的 D反自反解 R = ， IA是A上的恒等關(guān)系，是自反的、對稱的、傳遞的。答 C12如果R1和R2是A上的自反關(guān)系，則R1R2，R1R2，R1-R2中自反關(guān)系有（ ）個A0 B2 C1 D3解 對于任意aA，由于R1和R2是A上的自反關(guān)系，所以 R1， R2，從而R1R2，R1R2，( R1-R2)故R1R2，R1R2是A上的自反關(guān)系，R1-R2是A上的反自反關(guān)系答 B13

6、設(shè)集合A=1 , 2 , 3 , 4上的二元關(guān)系R=1, 1，2, 2，2, 3，4, 4，S=1, 1，2, 2，2, 3，3, 2，4, 4，則S是R的（ ）閉包A自反 B傳遞C對稱 D自反和傳遞解 RS，S是對稱關(guān)系，且S去掉任意一個元素就不包含R或沒有對稱性，即S是包含R的具有對稱性的最小的關(guān)系，從而S是R的對稱閉包答 C14設(shè)A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除關(guān)系，B=2, 4, 6，則集合B的最大元、最小元、上界、下界依次為 ( )A8、2、8、2 B8、1、6、1C6、2、6、2 D無、2、無、2解 關(guān)系R的哈斯圖如下：由圖可見，集合B=2, 4,

7、6無最大元，其最小元是2無上界，下界是2和1答 D15設(shè)集合A=1，2，3，4，5，偏序關(guān)系是A上的整除關(guān)系，則偏序集上的元素5是集合A的（ ）A最大元 B最小元C極大元 D極小元解 關(guān)系R的哈斯圖如下：由圖可見，元素5是集合A的極大元答 C2413516設(shè)集合A = 1, 2, 3, 4, 5上的偏序關(guān)系的哈斯圖如右圖所示，若A的子集B = 3, 4, 5，則元素3為B的（ ）A下界 B最小上界C最大下界 D最小元答 B17設(shè)A=a, b，B=1, 2，R1，R2，R3是A到B的二元關(guān)系，且R1=, ，R2=, , ，R3=, ，則（ ）不是從A到B的函數(shù)AR1 BR2 C R3 DR1和R

8、3解 R2， R2，即R2不滿足函數(shù)定義的單值性，因而不是函數(shù)答 B注意：函數(shù)R1，R3的定義域、值域是什么？兩個函數(shù)R1，R3是否能復合？解 Dom(R1)= a, b=A，Ran(R1)= 2；Dom(R3)= a, b=A，Ran(R3)= 1, 2=B因為Ran(R1)Dom(R3)，所以函數(shù)R1和R3不能復合。18設(shè)A=a，b，c，B=1，2，作f：AB，則不同的函數(shù)個數(shù)為 A2 B3 C6 D8解 AB ，AB的任一子集即為從A到B的二元關(guān)系，在這些關(guān)系中滿足函數(shù)定義的兩個條件（單值性；定義域是A）的關(guān)系只能是，其中每個有序?qū)Φ牡诙乜扇?或2，于是可知有222 8個不同的函數(shù)答

9、 D事實上，8個不同的函數(shù)為：f1 = a , 1，b , 1，c , 1，f2 = a , 1，b , 1，c , 2，f3 = a , 1，b , 2，c , 1，f4 = a , 2，b , 1，c , 1，f5 = a , 1，b , 2，c , 2，f6 = a , 2，b , 1，c , 2，f7 = a , 2，b , 2，c , 1，f8 = a , 2，b , 2，c , 219設(shè)集合A =1 , 2, 3上的函數(shù)分別為：f = 1, 2，2, 1，3, 3，g = 1, 3，2, 2，3, 2，h = 1, 3，2, 1，3, 1，則h =（ ）Afg Bgf Cff Dg

10、g解 fg 1, 3，2, 1，3, 1 hgf 1, 2，2, 3，3, 2ff 1, 1，2, 2，3, 3gg 1, 2，2, 2，3, 2答 A20設(shè)函數(shù)f：NN，f(n)=n+1，下列表述正確的是（ ）Af存在反函數(shù) Bf是雙射的 Cf是滿射的 Df 是單射函數(shù)解 因為任意，則，所以f 是單射對于，不存在，使，所以f不是滿射從而f不是雙射，也不存在反函數(shù)答 D二、填空題1設(shè)集合，則P(A)-P(B )= ，A B= 解 答 3,1,3,2,3,1,2,3,2設(shè)集合A有10個元素，那么A的冪集合P(A)的元素個數(shù)為 答 2103設(shè)集合A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5，

11、R是A到B的二元關(guān)系，則R的有序?qū)蠟?答 R，注意：如果將二元關(guān)系R改為或則R的有序?qū)鲜鞘裁茨兀看?R或 R，4設(shè)集合A=1, 2, 3, 4 ，B=6, 8, 12， A到B的二元關(guān)系R那么 5設(shè)集合A=a, b, c, d，A上的二元關(guān)系R=, , , ，則R具有的性質(zhì)是 因為任意xA，R，所以R是反自反的答 反自反的6設(shè)集合A=a, b, c, d，A上的二元關(guān)系R=, , , ，若在R中再增加兩個元素 ，則新得到的關(guān)系就具有對稱性答 ，注意：第5，6題是重點，我們要熟練掌握，尤其是A和R的元素都減少的情況。如果6題新得到的關(guān)系具有自反性，那么應(yīng)該增加哪兩個元素呢？答 應(yīng)增加，兩

12、個元素7如果R1和R2是A上的自反關(guān)系，則R1R2，R1R2，R1-R2中自反關(guān)系有 個答 2（見：一、9題）8設(shè)A=1, 2上的二元關(guān)系為R=|xA，yA, x+y =10，則R的自反閉包為 因為R，所以R的自反閉包s(R)=IA=,答 ,注意：如果二元關(guān)系改為R=|xA，yA, x+y 10，則R的自反閉包是什么呢？解 R ,是A上的全關(guān)系，它的自反閉包是它自己。答 R 或,9設(shè)R是集合A上的等價關(guān)系，且1 , 2 , 3是A中的元素，則R中至少包含 等元素答 ，因為等價關(guān)系一定是自反的、對稱的、傳遞的，由二元關(guān)系R是自反的，所以它至少包含, , 等元素注：如果給定二元關(guān)系R，你能否判斷R

13、是否是等價關(guān)系？10設(shè)集合A=1, 2，B=a, b，那么集合A到B的雙射函數(shù)是 ， 想一想：集合A到B的不同函數(shù)的個數(shù)有幾個？答 有4個，除上述兩個雙射函數(shù)外，還有，（參考：一、14題）三、判斷說明題（判斷下列各題，并說明理由）1若集合A = 1，2，3上的二元關(guān)系R=，則(1) R是自反的關(guān)系； (2) R是對稱的關(guān)系解 （1）錯誤因為3A，但R（2）錯誤因為R，但R2如果R1和R2是A上的自反關(guān)系，判斷結(jié)論：“、R1R2、R1R2是自反的”是否成立？并說明理由解 成立因為R1和R2是A上的自反關(guān)系，所以任意，有，從而有（逆關(guān)系定義），故、R1R2、R1R2是自反的3若偏序集的哈斯圖如圖一

14、所示，則集合A的最大元為a，最小元不存在解 不正確。可見a大于等于A中的元素b、c、d、e、f，但與元素g、h沒有關(guān)系，所以a不是A的最大元。沒有一個元素小于等于A中的所有元素，所以A沒有最小元。注：本題中，極大元為a、g，極小元為e、f、h注意：題目修改為：若偏序集的哈斯圖如右圖所示，則集合A的最大元為a，極小元不存在解 結(jié)論不成立。A的最大元為a，極小元為b、c問：是否存在一個元素a，它既是偏序集的最大元，也是的最小元？4設(shè)集合A=1, 2, 3, 4，B=2, 4, 6, 8，判斷下列關(guān)系f是否構(gòu)成函數(shù)f：，并說明理由(1) f=, , , ；(2)f=, , ；(3) f=, , ,

15、解 （1）關(guān)系f不構(gòu)成函數(shù)因為Dom(f)=1, 2, 4A，不滿足函數(shù)定義的條件（2）關(guān)系f不構(gòu)成函數(shù)因為Dom(f)=1, 2, 3A，不滿足函數(shù)定義的條件（3）關(guān)系f構(gòu)成函數(shù)因為 任意aDom(f)，都存在唯一的bRan(f)，使f； Dom(f)=A即關(guān)系f滿足函數(shù)定義的兩個條件，所以關(guān)系f構(gòu)成函數(shù)四、計算題1設(shè)，求：(1) (AB)C； (2) (AB)- (BA)；(3) P(A)P(C)； (4) AB解 （1）；（2）；（3）；（4）2設(shè)A=1,2,1,2，B=1,2,1,2，試計算（1）（A-B）； （2）（AB）； （3）AB解 （1）；（2）；（3）3設(shè)A=1，2，3，4

16、，5，R=|xA，yA且x+y4，S=|xA，yA且x+y0，試求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R)解 ，4設(shè)A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除關(guān)系，B=2, 4, 6(1) 寫出關(guān)系R的表示式； (2 )畫出關(guān)系R的哈斯圖；(3) 求出集合B的最大元、最小元解 （1）（2）關(guān)系R的哈斯圖如下：（3）集合B=2, 4, 6無最大元，其最小元是2五、證明題1試證明集合等式：A (BC)=(AB) (AC)證明 任意，則，或若，則，從而；若，則，從而所以任意，則由知，或若，則；若，則必有，由知，也有，從而，進而所以故2試證明集合等式A (BC)=(

17、AB) (AC)證明 任意，則且即且（）即且，從而，或且，從而于是有，所以任意，則若，則，從而，；若，則，從而，所以故注意：第1、2題是重點，這樣的證明方法我們要熟練掌握3對任意三個集合A, B和C，試證明：若AB = AC，且A，則B=C證明 若B，則ACAB，由于A，所以C，從而BC若B，則，任意，存在，使，由于AB = AC，所以，從而，故，任意，存在，使，由于AB = AC，所以，從而，故所以注意：這個題09秋學期的復習時重點強調(diào)了，但2010年1月份考卷中的證明題：設(shè)A，B是任意集合，試證明：若AA=BB，則A=B許多同學不會做，是不應(yīng)該的事實上這道題并不難：證明：若A，則BBAA，所以B，從而AB若A ，則AABB ，任意xA，則AA，因為AA=BB，故BB，則有xB，所以AB任意設(shè)xB，則BB，因為AA=BB，故AA，