電子聲子相互作用2

1、第五章 電子聲子相互作用§1 互作用過(guò)程一、有效質(zhì)量近似和帶邊能量帶底附近能帶電子能量 （）帶邊能量與原子間距有關(guān)。例如：電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)為 其中，為整數(shù)，為常量用近自由電子近似，求出晶體電子的第一個(gè)和第二個(gè)帶隙寬度解：對(duì)于，其中計(jì)算得到二、形變勢(shì)模型LA聲子伴隨晶格常數(shù)和體積的局域變化。帶邊能量發(fā)生移動(dòng) （）電聲相互作用的形變勢(shì)模型。三、形變勢(shì)模型的電聲相互作用哈密頓（2.5.31）二次量子化表示（5.1.4）給出電聲相互作用的兩個(gè)基本過(guò)程。圖5.1 電子吸收、發(fā)射聲子圖5.2 電子空穴對(duì)以上是的一級(jí)過(guò)程。二級(jí)過(guò)程由基本過(guò)程組成：圖5.3§2 電子與聲頻支聲子的相

2、互作用晶格模型簡(jiǎn)單晶格只有聲頻支振動(dòng)。電阻效應(yīng)。N過(guò)程、U過(guò)程。一、晶格模型中電聲互作用哈密頓量離子處于格點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，電子與離子的互作用 （5.2.1）離子位移，電子與離子的互作用 （5.2.2）能帶電子與晶格振動(dòng)的相互作用 （5.2.3）其中電聲相互作用的一個(gè)電子的單體勢(shì) （5.2.4）電聲相互作用的二次量子化哈密頓對(duì)和作傅氏變換， （5.2.6）其中是Bloch函數(shù)。得到 （5.2.8）用簡(jiǎn)正坐標(biāo)、聲子算符表示 （5.2.9）其中格波偏振指標(biāo) 。得到（5.2.10）用平面波代替布洛赫函數(shù)，利用 （5.2.19）晶格模型中電聲互作用哈密頓量（5.2.21）二、N過(guò)程和U過(guò)程（i）N過(guò)程（正常過(guò)

3、程）TA聲子，只有LA聲子的貢獻(xiàn)：（5.2.22）（ii）U過(guò)程（倒逆過(guò)程）LA聲子和TA聲子對(duì)于互作用都有貢獻(xiàn)。倒逆過(guò)程是大角度散射過(guò)程。三、準(zhǔn)動(dòng)量守恒、實(shí)過(guò)程討論電聲互作用系統(tǒng)由初態(tài)到終態(tài)的躍遷概率。記電子的初態(tài)和終態(tài)。使含時(shí)，令由含時(shí)微擾理論，電聲系統(tǒng)由初態(tài)到終態(tài)的躍遷概率 （5.2.27）其中用到公式 。躍遷能量守恒 （5.2.28）即 （5.2.30）虛過(guò)程：電子攜帶著晶格畸變運(yùn)動(dòng)；沒(méi)有真的發(fā)射聲子。§3 聲子的自能修正計(jì)算LA聲子由于電聲互作用的自能修正。N個(gè)離子浸沒(méi)在均勻電子氣體中，未微擾的LA聲子長(zhǎng)波頻率 （5.3.1）LA聲子的哈密頓量 （5.3.2）金屬的總哈密頓

4、量 （5.3.3）其中電聲互作用為 （5.2.24）由海森伯方程，得到運(yùn)動(dòng)方程 （5.3.4）其中 （5.2.24）下面通過(guò)討論離子密度起伏與的關(guān)系、與的關(guān)系，建立與的關(guān)系，代入（5.3.4），討論電子對(duì)于晶格振動(dòng)能量和運(yùn)動(dòng)的影響；將得到（i）離子密度起伏晶格振動(dòng)產(chǎn)生極化 公式 （束縛電荷）傅里葉展開(kāi)系數(shù) （5.3.9）（ii）與的關(guān)系公式 ， 離子運(yùn)動(dòng)比電子慢得多，有， 進(jìn)行傅里葉展開(kāi)，利用，得到 （5.3.13）（iii）與的關(guān)系代入運(yùn)動(dòng)方程 （5.3.4）得到有電子屏蔽作用的LA聲子運(yùn)動(dòng)方程 （5.3.15）結(jié)果： （5.3.16）長(zhǎng)波近似下采用Thomas-Fermi介電函數(shù) （5.3

5、.18）即 （5.3.19）其中LA格波速度（5.3.20）這是Bohm-Staver聲速公式。討論：（1）LA格波速度與費(fèi)米速度線性相關(guān)。（2）費(fèi)米速度很大，金屬電子的定向運(yùn)動(dòng)速度很小。（3）晶體中聲子的速度 >> 電子的平均運(yùn)動(dòng)速度。§4 電子與光頻聲子的相互作用電子與LO聲子的相互作用更強(qiáng)。極化子（電子+極化），電子自能修正。LO振動(dòng)：一方面，產(chǎn)生極化電場(chǎng)，使；有LST關(guān)系 （）另一方面，LO振動(dòng)的極化電場(chǎng)對(duì)于離子晶體中電子有重要作用。本節(jié)討論LO聲子對(duì)于離子晶體中電子的影響。首先在長(zhǎng)波近似下建立LO振動(dòng)極化電場(chǎng)與電子互作用的哈密頓： （2.6.1） （5.4.2）

6、 （5.4.7）得到LO振動(dòng)極化電場(chǎng)中電子的電勢(shì)能互作用哈密頓 由于 （5.4.1）對(duì)于N過(guò)程 （5.4.11）其中 （5.4.5）極化子概念：極化子（polaron）電子極化極化范圍與晶格常數(shù)相比：大極化子，小極化子大極化子可采用連續(xù)模型；Frohlich的微擾處理：對(duì)于慢電子 （5.4.12）零級(jí)近似波函數(shù)（T=0K）（5.4.13）（作業(yè)16：計(jì)算一階能量修正。）計(jì)算一級(jí)近似波函數(shù)、二階能量修正 （5.4.15）該式表示電子自能修正過(guò)程（圖5.3a）: （5.4.11）= -1所以 （5.4.15）計(jì)算取和（只考慮慢電子），得到 （）其中 （）（作業(yè)17：由（5.4.15）推導(dǎo)（）電子與

7、LO聲子相互作用的結(jié)果討論：（1）使導(dǎo)帶的帶邊能量降低了（2）電子有效質(zhì)量增大為 （）稱為極化子有效質(zhì)量。在電子周圍激發(fā)的平均聲子數(shù)對(duì)于慢電子，令，得到積分，求得 （）兩點(diǎn)討論：（1）電子自能過(guò)程中的聲子是虛聲子；虛聲子過(guò)程中的聲子是晶格中允許（可以有）的任何頻率的聲子，但是，不是晶格中熱平衡的真實(shí)聲子；（2）微擾理論要求耦合參數(shù)，適用于少數(shù)族和族化合物半導(dǎo)體。非微擾理論在第九章學(xué)習(xí)。§5 有效電子電子相互作用電子電子有效相互作用的物理圖像。圖5.6哈密頓量 （5.5.1）1電子電子有效互作用的微擾估計(jì)Frohlich按照可能的兩種虛聲子過(guò)程進(jìn)行的二級(jí)微擾估計(jì)。圖5.7電子通過(guò)交換聲

8、子的互作用矩陣元其中初態(tài)與終態(tài)為聲子真空態(tài)，具體為互作用矩陣元為（5.5.2）Frohlich猜測(cè)的電電有效互作用哈密頓量 （5.5.5）電電有效互作用的吸引與排斥，取決于是負(fù)與正。當(dāng)時(shí)，即費(fèi)米面附近寬度范圍內(nèi)電子間的有效互作用是吸引的。費(fèi)米面附近相反動(dòng)量及自旋的一對(duì)電子，通過(guò)聲子吸引機(jī)制形成的束縛電子對(duì)，稱為庫(kù)柏對(duì)。束縛電子對(duì)的形成，電子系統(tǒng)能量降低，導(dǎo)致費(fèi)米球改組，產(chǎn)生新的電子系統(tǒng)基態(tài)。2正則變換方法中島（Nakajima）變換 （） （）對(duì)于，作正則變換， （）滿足，ev相同。其中S待定。量子力學(xué)公式（5.5.9）：假設(shè)待定的S是與H同階的一階項(xiàng)。去除高階項(xiàng)確定S：令一階項(xiàng)為零，這就是Nakajima變換的S。即 （）Nakajima變換的哈密頓 （1）包括了電聲互作用的全部二級(jí)過(guò)程。假設(shè) （2）由，確定待定系數(shù)。中包括了電聲互作用的全部二級(jí)過(guò)程，對(duì)聲子真空態(tài)平均，得到電子之間的有效互作用：結(jié)果與Frohlich猜測(cè)的電電有效互作用哈密頓相同。中島變換方法是凝聚態(tài)理論中尋找有效互作用的一種傳統(tǒng)方法。聲子吸引機(jī)制的物理原因：當(dāng)時(shí)，為負(fù)；即費(fèi)米面附近寬度范