概率論基礎知識

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容1.隨機事件與概率隨機事件與概率2.隨機變量及其概率分布隨機變量及其概率分布3.多維隨機變量及其概率分布多維隨機變量及其概率分布4.隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 5.大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理1.隨機事件與概率隨機事件與概率1.1 隨機事件隨機事件1.2概率概率1.3條件概率條件概率1.4事件的獨立性事件的獨立性返回返回1.1 隨機事件隨機事件一、隨機現(xiàn)象一、隨機現(xiàn)象二、隨機試驗和隨機事件二、隨機試驗和隨機事件三、樣本空間三、樣本空間四、事件的關系與運算四、事件的關系與運算例子（事件的關系和運算）例子（事件的關系和運算）練習題練習題一、隨機現(xiàn)象一、隨機

2、現(xiàn)象1. 確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象: 例如，向上拋一顆石子必然下落；例如，向上拋一顆石子必然下落；同性電荷必定相互排斥；在一個大氣壓下同性電荷必定相互排斥；在一個大氣壓下60度度的水必定不會沸騰，等的水必定不會沸騰，等 等。等。2. 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象: 例如，拋一枚硬幣結(jié)果可能是正面例如，拋一枚硬幣結(jié)果可能是正面朝上、也可能是反面朝上；用同一門炮向同一朝上、也可能是反面朝上；用同一門炮向同一目標射擊的彈著點不盡相同，等等。這類現(xiàn)象目標射擊的彈著點不盡相同，等等。這類現(xiàn)象有一個共同特點：即在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)有一個共同特點：即在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性出不確定性,而在大量重復試驗中其結(jié)果又具

3、有而在大量重復試驗中其結(jié)果又具有某種規(guī)律性某種規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性.3. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計具有廣泛的應用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計具有廣泛的應用。 返回返回二、隨機試驗和隨機事件二、隨機試驗和隨機事件 隨機試驗隨機試驗(三個特征三個特征):(1)可以在相同的條件下重復地進行可以在相同的條件下重復地進行; (2)每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確所有可能的結(jié)果所有可能的結(jié)果; (3)進行一次試驗之前不能確定會出現(xiàn)哪個結(jié)果。進行一次試驗之前不能確定會出現(xiàn)哪個結(jié)果。隨機試驗的每個可能發(fā)生的結(jié)果稱為隨機事件隨機試驗的每個可能發(fā)生的結(jié)果稱為隨機事件.簡稱為

4、簡稱為事件事件.事件通常用英文字母事件通常用英文字母A，B，C或或A1,A2表示，記成如下形式：表示，記成如下形式：A=可能發(fā)生的結(jié)果可能發(fā)生的結(jié)果.例子例子隨機事件例子隨機事件例子例例1：已知一批產(chǎn)品共：已知一批產(chǎn)品共30件，內(nèi)含正品件，內(nèi)含正品26件，次品件，次品4件，件，從中一次取出從中一次取出5件的試驗件的試驗.則則Ai=恰有恰有i件次品件次品, (i =0，1，2，3，4)；B=最多有三件次品最多有三件次品；C=正品不超過正品不超過2件件等都是隨機事件，他們在一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生等都是隨機事件，他們在一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生.例例2：擲一粒骰子，觀察它出現(xiàn)的點數(shù)?？桑?/p>

5、擲一粒骰子，觀察它出現(xiàn)的點數(shù)?？赡艿慕Y(jié)果為：能的結(jié)果為： A= 1, 2, 3, 4, 5, 6。 三、樣本空間三、樣本空間 一般地，在隨機試驗中，把不可分割的事件稱為一般地，在隨機試驗中，把不可分割的事件稱為基本事件；由兩個及兩個以上基本事件組合而成的基本事件；由兩個及兩個以上基本事件組合而成的事件稱為復合事件事件稱為復合事件. 對于隨機試驗的每一個基本事件，我們可以用對于隨機試驗的每一個基本事件，我們可以用只含一個元素的單元素只含一個元素的單元素 表示，其中表示，其中 與與 表表示的基本事件一一對應示的基本事件一一對應.和所有基本事件相對應的元素和所有基本事件相對應的元素的全體組成的集合稱

6、為該隨機試驗的樣本空間，通常記的全體組成的集合稱為該隨機試驗的樣本空間，通常記作作 ，樣本空間中的元素稱為樣本點，樣本空間中的元素稱為樣本點.四、四、 事件的關系與運算事件的關系與運算1.包含關系和相等關系包含關系和相等關系: 若事件若事件A發(fā)生必然導致事件發(fā)生必然導致事件B發(fā)生發(fā)生, 則稱事則稱事件件B包含事件包含事件A,記作記作A B。 若若A B且且A B, 即即A=B, 則稱則稱A與與B相等相等BA2事件的并事件的并由屬于由屬于A或者屬于或者屬于B的所有樣本點組成的集合，的所有樣本點組成的集合，稱為稱為A與與B的并（或者和），記作的并（或者和），記作 或者或者A+B.顯然事件表示顯然事

7、件表示“事件事件A與與B事件至少有事件至少有一個發(fā)生一個發(fā)生”這一事件這一事件.BAAB3事件的交事件的交由屬于同時由屬于同時A又屬于又屬于B的所有樣本點組成的的所有樣本點組成的集合，稱為集合，稱為A與與B的交（或者積），記作的交（或者積），記作 或者或者 .顯然事件顯然事件 表示表示“事件事件A與事件與事件B同時發(fā)生同時發(fā)生”這一事件這一事件.BA ABBAABBA4事件的差事件的差由屬于由屬于A但不屬于但不屬于B的所有樣本點組成的所有樣本點組成的集合，稱為的集合，稱為A與與B的差，記作的差，記作 .事事件件 表示表示“事件事件A發(fā)生而事件發(fā)生而事件B不發(fā)不發(fā)生生”這一事件這一事件. BAB

8、AABBA5對立事件對立事件樣本空間樣本空間 與與A的差的差 稱為事件稱為事件A的的對立事件（或者逆事件），記作對立事件（或者逆事件），記作 ，事，事件件 表示表示“事件事件A不發(fā)生不發(fā)生”. 對立事件對立事件A和和 間的關系可以表示為：間的關系可以表示為：.AAAAAAAA,AA6互不相容事件互不相容事件如果在同一試驗中，事件如果在同一試驗中，事件A與事件與事件B不可能不可能同時發(fā)生，則稱事件同時發(fā)生，則稱事件A與事件與事件B互不相容互不相容.記記作作 .基本事件是互不相容的基本事件是互不相容的.BAAB補充點補充點補充點補充點事件的并、交和互不相容事件可推廣到事件的并、交和互不相容事件可推

9、廣到n個事件間的關系個事件間的關系.現(xiàn)就互不相容事件敘述如下：在一次事件現(xiàn)就互不相容事件敘述如下：在一次事件中，如果中，如果n個事件個事件 兩兩互不相兩兩互不相容，則稱容，則稱 是互不相容的事件組是互不相容的事件組.如果互不相容的事件組如果互不相容的事件組 滿足滿足 ，則稱事件組則稱事件組 為一個劃分為一個劃分.nAAA,.,21nAAA,.,21nAAA,.,21121.nniiAAAA 或 記 作nAAA,.,21可以驗證集合的運算率均適用于事件的可以驗證集合的運算率均適用于事件的運算，即事件的運算滿足下列關系式：運算，即事件的運算滿足下列關系式：（1）交換律：）交換律： （2）結(jié)合律：）

10、結(jié)合律： （3）分配律：）分配律： （4）德莫根）德莫根(Demorgan)公式：公式： 其中分配律和德莫根公式可以推廣到有限多個其中分配律和德莫根公式可以推廣到有限多個 事件的情形事件的情形.ABBAABBA,CBACBACBACBA)()(,)()()()()(),()()(CABACBACABACBABABABABA,返回返回例子例子1例例 一個貨箱中裝有一個貨箱中裝有12只同類型的產(chǎn)品，其中只同類型的產(chǎn)品，其中3只是一等品，只是一等品，9只是二等品，從其中隨機地抽取只是二等品，從其中隨機地抽取兩次，每次任取一只，兩次，每次任取一只， 表示第表示第i次抽取的次抽取的是一等品，試用是一等品

11、，試用 表示下列事件：表示下列事件：B=兩只都是一等品兩只都是一等品C=兩只都是二等品兩只都是二等品D=一只一等品，另一只是二等品一只一等品，另一只是二等品E=第二次抽取的是一等品第二次抽取的是一等品)2 , 1( iAi)2 , 1( iAi解題過程解題過程解題過程解題過程解解 ：由題意，：由題意， 第第i次抽取的是一等品次抽取的是一等品，故，故 第第i次抽取的是二等品次抽取的是二等品iAiA21AAB 12CAA 2121AAAAD)()(2121AAAAE例子例子2例例 從從1，2，3，4，5，6六個數(shù)字中任取一個六個數(shù)字中任取一個數(shù)，數(shù)，A=取得的數(shù)為取得的數(shù)為4的約數(shù)的約數(shù)，B=取得

12、的數(shù)為取得的數(shù)為偶數(shù)偶數(shù)，C=取得的數(shù)不小于取得的數(shù)不小于5.試用集合表示下列事件試用集合表示下列事件：(1)(2)事件事件“A發(fā)生，發(fā)生，C不發(fā)生不發(fā)生”；事件；事件“B,C至少至少有一有一個發(fā)生個發(fā)生”的逆事件的逆事件 BCABBA,解題過程解題過程例子例子2解題過程解題過程解解 設設i表示基本事件表示基本事件取得的數(shù)為取得的數(shù)為i所對應的樣本所對應的樣本點，則樣本空間點，則樣本空間 (1)(2)6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 14 , 2 , 1A6 , 4 , 2B6 , 5C6 , 4 , 2 , 16 , 4 , 24 , 2 , 1 BA64 , 2 , 16 , 4 ,

13、 2 AB55 , 3 , 16 , 5BCBCBC1,2,41,2,3,41,2,4AC 3 , 14 , 3 , 2 , 15 , 3 , 1CBCB返回返回練習題練習題1。指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可。指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？能事件？（1）某商店有男店員）某商店有男店員2人，女店員人，女店員8人，任意抽調(diào)人，任意抽調(diào)3人去人去做其他的工作，那么做其他的工作，那么A=3個都是女店員個都是女店員,B=3個都是男個都是男店員店員，C=至少有至少有1個男店員個男店員，D=至少有至少有1個女店員個女店員(2) 一批產(chǎn)品中只有一批產(chǎn)品中只有2件次品，現(xiàn)從中任取件次

14、品，現(xiàn)從中任取3件，則件，則A=三三件都是次品件都是次品，B=至少至少1件正品件正品，C=至多至多1件正品件正品，D=恰有恰有2件次品和件次品和1件正品件正品練習題練習題2練習題練習題22。一個工人加工了。一個工人加工了4個零件，設個零件，設 表示第表示第 i個個零件是合格品，試用零件是合格品，試用 表示下列事件：表示下列事件：（1）沒有一個零件是不合格品；）沒有一個零件是不合格品；（2）至少有一個零件是不合格品；）至少有一個零件是不合格品；（3）只有一個零件是不合格品）只有一個零件是不合格品.iA4321,AAAA3。A,B,C為一次試驗中的三個事件，試用為一次試驗中的三個事件，試用A,B,

15、C表示下列表示下列事件：事件：（1）A發(fā)生，發(fā)生，B,C不發(fā)生；不發(fā)生； (2)A,B中至少有一個發(fā)生；中至少有一個發(fā)生； (3)A,B,C至少有一個不發(fā)生；至少有一個不發(fā)生；(4)A,B,C至多有一個發(fā)至多有一個發(fā)生生.返回返回1.2 概概 率率一、概率的定義一、概率的定義1.概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義2.概率的古典定義概率的古典定義3.概率的定義與簡單計算概率的定義與簡單計算二、概率的運算公式二、概率的運算公式 加法公式加法公式一、概率的定義一、概率的定義1.概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義在相同的條件下進行在相同的條件下進行n次重復試驗，事件次重復試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)m稱為事件

16、稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)；發(fā)生的頻數(shù)；m與與n的比值稱為事件的比值稱為事件A發(fā)生的頻率，記作發(fā)生的頻率，記作 nmAfAfnn)(),(即一般地，當試驗次數(shù)一般地，當試驗次數(shù)n增大時，事件增大時，事件A發(fā)發(fā)生的頻率生的頻率 總是穩(wěn)定在某個常數(shù)總是穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，附近，這時就把這時就把p稱為事件稱為事件A發(fā)生的概率，簡稱發(fā)生的概率，簡稱事件事件A的概率，記作的概率，記作 上述事件的概率是用統(tǒng)計事件發(fā)生的頻率來確上述事件的概率是用統(tǒng)計事件發(fā)生的頻率來確定的，故這個定義稱為概率的統(tǒng)計定義定的，故這個定義稱為概率的統(tǒng)計定義.根據(jù)這根據(jù)這個定義，通過大量的重復試驗，用事件發(fā)生的個定義，通過大量的重復試

17、驗，用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率，這是求一個事件的頻率近似地作為它的概率，這是求一個事件的概率的常用基本方法概率的常用基本方法. )(AfnpAP)(返回返回2.概率的古典定義概率的古典定義考慮下面兩個隨機試驗：考慮下面兩個隨機試驗：E1：投擲一顆均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的：投擲一顆均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)，基本事件有點數(shù)，基本事件有6個，由骰子的個，由骰子的“均均勻性勻性”可知，每一個基本事件發(fā)生的可可知，每一個基本事件發(fā)生的可能性相等能性相等.E2：一批產(chǎn)品有：一批產(chǎn)品有N個，要隨機抽取一個，個，要隨機抽取一個，檢測其等級，則檢測其等級，則N個產(chǎn)品被抽取的機會個產(chǎn)品被抽取的機會是相

18、同的，每一次檢測的結(jié)果就是一個是相同的，每一次檢測的結(jié)果就是一個基本事件，故基本事件，故N個基本事件出現(xiàn)的可能個基本事件出現(xiàn)的可能性相等性相等.這兩個試驗都具有以下特點：這兩個試驗都具有以下特點：(1)只有有限個基本事件只有有限個基本事件(2)每個基本事件在一次試驗中發(fā)生的可能性相同每個基本事件在一次試驗中發(fā)生的可能性相同.這類隨機試驗稱為等可能概型，由于這種概型在概這類隨機試驗稱為等可能概型，由于這種概型在概率論發(fā)展初期是主要研究對象，所以也稱為古典概率論發(fā)展初期是主要研究對象，所以也稱為古典概型型.在古典概型中，若基本事件的總數(shù)為在古典概型中，若基本事件的總數(shù)為n，事件，事件包含的基本事件

19、數(shù)為包含的基本事件數(shù)為m，則事件的概率定義，則事件的概率定義為為 ，這個定義稱為概率的古典定義，這個定義稱為概率的古典定義.nmAP)(返回返回3概率的定義與簡單計算概率的定義與簡單計算與隨機試驗相聯(lián)系的數(shù)量指標與隨機試驗相聯(lián)系的數(shù)量指標 ，都具，都具有下列共同的屬性：有下列共同的屬性：(1)(2)(3) 為互不相容事件，則為互不相容事件，則 )(AP1)(0AP0)(, 1)(PPnAAA,.,21niiiniAPAP11)(在數(shù)學上，刻劃隨機試驗中事件在數(shù)學上，刻劃隨機試驗中事件A的的 發(fā)生發(fā)生 的可能性大小的數(shù)值，如果滿足上述三條性質(zhì)，的可能性大小的數(shù)值，如果滿足上述三條性質(zhì)，就稱為事件

20、的概率就稱為事件的概率.)(AP由上述三條基本性質(zhì)還可以推出：由上述三條基本性質(zhì)還可以推出： )(1)(APAP返回返回二、概率的運算公式二、概率的運算公式加法公式加法公式由概率的性質(zhì)知道，若事件由概率的性質(zhì)知道，若事件A和和B互不相互不相容，即容，即 則則 BA)()()(BPAPBAPAB事件事件 時，上式就不成立了時，上式就不成立了. BAAB而有而有)()()()(BAPBPAPBAP該公式稱為概率的加法公式該公式稱為概率的加法公式加法公式可推廣到有限個事件至少有一個加法公式可推廣到有限個事件至少有一個發(fā)生的情形，如三個事件發(fā)生的情形，如三個事件 的并的加的并的加法公式為：法公式為：C

21、BA,()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC返回返回1.3條件概率條件概率一、條件概率與乘法公式一、條件概率與乘法公式1.條件概率條件概率2.乘法公式乘法公式二、全概率公式與貝葉斯二、全概率公式與貝葉斯(Bayes )公式公式1.全概率公式全概率公式2.貝葉斯公式貝葉斯公式 補充點補充點練習題練習題返回一、條件概率與乘法公式一、條件概率與乘法公式一般地，把一般地，把“在事件在事件B已發(fā)生的條件下，事已發(fā)生的條件下，事件件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率”稱為條件概率，記作稱為條件概率，記作，讀作，讀作“在條件在條件B下，事件下，事件A的概率的

22、概率”.)(BAP()()()0()PA BPA BP BP B同理同理()()( )0( )P ABP B AP AP AAB1.條件概率條件概率返回返回2.乘法公式乘法公式由條件概率的一般公式由條件概率的一般公式,得得 ()( ) ()( ( )0)()( ) ()( ( )0)P ABP B P A BP BP ABP A P B AP A 上述公式稱為概率的乘法公式上述公式稱為概率的乘法公式.概率的乘法公式可推廣到有限個事件交概率的乘法公式可推廣到有限個事件交的情形的情形.設有設有n個事件個事件 滿足滿足 則則 12,.,nA AA0),.,(21nAAAP).().()()().(1

23、2121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP當當n=3時時返回返回二、全概率公式與貝葉斯二、全概率公式與貝葉斯(Bayes )公式公式1.全概率公式全概率公式設設 是聯(lián)系于一隨機試驗的完備是聯(lián)系于一隨機試驗的完備事件組事件組.任一事件任一事件 可表示成可表示成 nHHH,.,21)(AAAHHHAAn).(21121()().()nniiH AH AH AH A由前面已學公式得由前面已學公式得111( )()()() (|)nnniiiiiiiP APH AP H AP H P A H該公式稱為全概率公式該公式稱為全

24、概率公式返回返回2.貝葉斯貝葉斯(Bayes)公式公式設設 是樣本空間的一個完備事是樣本空間的一個完備事件組件組,A是任一事件是任一事件,且且 ,則則nHHH,.,21( )0P A () (|)(|)( )iiiP H P A HP HAP A1() (|)() (|)iiniiiP HP A HP HP A H1,2,in該公式稱為貝葉斯公式該公式稱為貝葉斯公式.在使用該公式時往往先利用全概率公式求出在使用該公式時往往先利用全概率公式求出( )P A返回返回補充點補充點對于全概率公式和貝葉斯公式對于全概率公式和貝葉斯公式.可以直觀可以直觀地進行如下理解地進行如下理解:把事件把事件A看成看成

25、“結(jié)果結(jié)果”,把把 看成導致這一結(jié)果的看成導致這一結(jié)果的“原原因因”, 把全概率公式看成為把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果”,把貝葉斯公式看成把貝葉斯公式看成“由結(jié)果找原因由結(jié)果找原因”。兩正好相反兩正好相反.nHHH,.,21返回返回1.4事件的獨立性事件的獨立性1.事件的獨立性事件的獨立性 2.N重貝努利試驗重貝努利試驗 返回返回1.事件的獨立性事件的獨立性一般地，設事件一般地，設事件A,B是一隨機試驗的兩個是一隨機試驗的兩個事件事件,且且 ，若，若 ，則稱事件則稱事件B對事件對事件A是獨立的，否則稱為不是獨立的，否則稱為不獨立的獨立的.0)(AP)()|(),()|(BPAB

26、PBPABP結(jié)論結(jié)論結(jié)論結(jié)論由定義可推出下列結(jié)論：由定義可推出下列結(jié)論：(1)若事件若事件A獨立于事件獨立于事件B，則事件，則事件B也獨立于事件也獨立于事件A,即兩事件的獨立性是相互的即兩事件的獨立性是相互的.(2)若事件若事件A與事件與事件B相互獨立，則三對事件相互獨立，則三對事件 與與 ，A 與與 ， 與與 B也都是相互獨立的也都是相互獨立的.(3)事件事件A與與B相互獨立的充要條件是，相互獨立的充要條件是，兩事件相互獨立的直觀意義是一事件發(fā)生的概率兩事件相互獨立的直觀意義是一事件發(fā)生的概率與另一事件是否發(fā)生互不影響與另一事件是否發(fā)生互不影響.AABB)()()(BPAPABP推廣推廣推廣

27、推廣事件的獨立性可推廣到有限個事件的情形事件的獨立性可推廣到有限個事件的情形:若事件組若事件組 中的任意中的任意k 個事件交的個事件交的概率等于它們的概率積，則稱事件組概率等于它們的概率積，則稱事件組 是相互獨立的，也就是說任一事件的概率不受其是相互獨立的，也就是說任一事件的概率不受其他事件發(fā)生與否的影響他事件發(fā)生與否的影響.例如例如:三個事件三個事件A,B,C若滿足等式若滿足等式 則稱事件則稱事件A,B,C是相互獨立的是相互獨立的 nAAA,.,21nAAA,.,21)2(nk ),()()(),()()(CPAPACPBPAPABP)()()()(),()()(CPBPAPABCPCPBP

28、BCP注意點注意點注意點注意點事件組相互獨立，其中任意兩事件相互獨事件組相互獨立，其中任意兩事件相互獨立；反之卻不一定正確立；反之卻不一定正確.在實際問題中，兩事件是否獨立，并不總在實際問題中，兩事件是否獨立，并不總是用定義或充要條件來檢驗的，而可以根是用定義或充要條件來檢驗的，而可以根據(jù)具體情況來分析、判斷據(jù)具體情況來分析、判斷.只要事件之間只要事件之間沒有明顯的聯(lián)系，我們就可以認為它們是沒有明顯的聯(lián)系，我們就可以認為它們是相互獨立的相互獨立的.返回返回2.N重貝努利試驗重貝努利試驗如果隨機試驗只出現(xiàn)兩種結(jié)果如果隨機試驗只出現(xiàn)兩種結(jié)果 ,則稱其為則稱其為伯努里試驗伯努里試驗 .在相同的條件下

29、在相同的條件下,對同一試驗重復進行對同一試驗重復進行n次次,如果如果每次試驗的結(jié)果互不影響每次試驗的結(jié)果互不影響,則稱這則稱這n次重復試驗為次重復試驗為n次獨立試驗次獨立試驗.n次獨立的伯努里試驗稱為次獨立的伯努里試驗稱為n重伯努重伯努里試驗里試驗.對于對于n重貝努利試驗重貝努利試驗,我們最關心的是在我們最關心的是在n次獨立次獨立重復試驗中重復試驗中,事件事件A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次的概率次的概率AA和( )nP k定理定理定理定理在在n重貝努利試驗中重貝努利試驗中,設每次試驗中事件設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p( ) ,則事件則事件A恰好發(fā)恰好發(fā)生生k次的概率次的概率若記若記則則

30、 ,由于由于 恰好是恰好是展開式的展開式的k+1項項,所以稱此公式為二項概率所以稱此公式為二項概率公式公式01p( )(1)kkn knnP kC pp0,1,2,kn1qp ( )kkn knnP kC p qkkn knC p q()npq返回返回2.隨機變量及其概率分布隨機變量及其概率分布2.1離散型隨機變量離散型隨機變量2.2隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)2.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度2.4隨機變量函數(shù)的概率分布隨機變量函數(shù)的概率分布 2.1離散型隨機變量離散型隨機變量1.隨機變量的概念隨機變量的概念2.離散型分布變量及其分布律離散型分布變量及其分布律

31、3.0-1分布與二項分布分布與二項分布 0-1分布分布 二項分布二項分布 泊松分布泊松分布 練習題練習題2.1 返回返回1.隨機變量的概念隨機變量的概念為便于用數(shù)學的形式來描述、解釋和論證隨機試為便于用數(shù)學的形式來描述、解釋和論證隨機試驗的某種規(guī)律性，我們需要按照研究的目的將試驗的某種規(guī)律性，我們需要按照研究的目的將試驗中的基本事件與實數(shù)集建立某種聯(lián)系驗中的基本事件與實數(shù)集建立某種聯(lián)系.例如例如:某人向一飛機射擊，觀察其是否擊中飛某人向一飛機射擊，觀察其是否擊中飛機，機， 則基本事件則基本事件A=擊中擊中,B=未擊中未擊中構(gòu)成一個構(gòu)成一個完備事件組完備事件組.為了便于研究為了便于研究,我們引進

32、變量我們引進變量X,規(guī)定規(guī)定X取取1,0分別對應分別對應“擊中擊中”,“未擊中未擊中”事件事件.從而從而對事件對事件A,B的研究就轉(zhuǎn)化為對實數(shù)的研究就轉(zhuǎn)化為對實數(shù)X的研究的研究.定義定義定義定義一般地，按研究隨機試驗的某種規(guī)律性要求，建一般地，按研究隨機試驗的某種規(guī)律性要求，建立樣本空間立樣本空間與實數(shù)集的某個子集的某種對應關與實數(shù)集的某個子集的某種對應關系，使每個基本事件都有一個確定的實數(shù)與之對系，使每個基本事件都有一個確定的實數(shù)與之對應應.與全體基本事件相對應的數(shù)組成的集合記為與全體基本事件相對應的數(shù)組成的集合記為M，用一個變量在，用一個變量在M中（或在中（或在M的某個范圍內(nèi)）的的某個范圍

33、內(nèi)）的取值來表示和變量的取值所對應的基本事件組成取值來表示和變量的取值所對應的基本事件組成的事件，我們把這樣的變量稱為的事件，我們把這樣的變量稱為隨機變量隨機變量，M稱為稱為隨機變量的取值范圍隨機變量的取值范圍. 隨機變量通常用隨機變量通常用X,Y,Z等表等表示示. 返回返回2.離散型分布變量及其分布律離散型分布變量及其分布律若隨機變量的取值可以一一列舉（有限個若隨機變量的取值可以一一列舉（有限個或無窮可列個）出來，則稱這類隨機變量或無窮可列個）出來，則稱這類隨機變量為為離散型隨機變量離散型隨機變量.對于離散型隨機變量對于離散型隨機變量,我們需要知道它的我們需要知道它的所有可能值及取每一個可能

34、值的概率所有可能值及取每一個可能值的概率. 分布律分布律分布律分布律設設X為離散型隨機變量為離散型隨機變量,可能取值為可能取值為且且 則稱則稱 為為X的分布律的分布律(或分布列或分布列)分布律常用表格表示分布律常用表格表示,這樣更為直觀這樣更為直觀.12,kx xx(),1,2,kkP Xxp kkpX P1x2xkx1p2pkp性質(zhì)性質(zhì)分布律性質(zhì)分布律性質(zhì)隨機變量的分布律具有下列性質(zhì)隨機變量的分布律具有下列性質(zhì)：(1)(2),.)2 , 1(0kpkkkp1返回返回反之，若一數(shù)列具有以上性質(zhì)，就可以看作反之，若一數(shù)列具有以上性質(zhì)，就可以看作為某一隨機變量的分布律為某一隨機變量的分布律0-1分

35、布分布若隨機變量若隨機變量X只取兩個可能值只取兩個可能值0,1,且且則稱則稱X服從服從0-1分布分布.X的分布律為的分布律為:(1)P Xp(0)P Xq01,1ppq其中其中01XPqp0-1分布常用于隨機試驗只考慮兩種結(jié)果分布常用于隨機試驗只考慮兩種結(jié)果,比比如拋硬幣如拋硬幣,正面與反面正面與反面;投籃投籃,中與不中等等中與不中等等.返回返回二項分布二項分布一般地，在一般地，在n重貝努里試驗中，事件重貝努里試驗中，事件A在每次試在每次試驗中發(fā)生的概率為驗中發(fā)生的概率為p，X表示在表示在n次試驗中次試驗中A發(fā)生發(fā)生的次數(shù)，則的次數(shù)，則X的分布列為的分布列為 其中其中則稱則稱X服從參數(shù)為服從參

36、數(shù)為n,p的二項分布，簡記為的二項分布，簡記為()(0,1,2,3,. ).kkn knP XkC p qkn01,1ppq二項分布是一種常用的分布。二項分布是一種常用的分布。),(pnBX泊松定理泊松定理泊松定理泊松定理設設 是常數(shù)，是常數(shù)，n是任意正整數(shù)，且是任意正整數(shù)，且則對于任意取定的非負整數(shù)則對于任意取定的非負整數(shù)k，有，有由泊松定理，我們可得，當由泊松定理，我們可得，當n很大，很大，p很小時，很小時，有近似公式有近似公式注：在實際的計算中，當注：在實際的計算中，當 時，計算時，計算用上述公式效果頗佳！用上述公式效果頗佳！0nnplim(1)!kkkn knnnnC ppekekpp

37、Ckknkkn!)1 (其中其中np05. 0,20pn返回返回泊松分布泊松分布如果隨機變量的分布律為如果隨機變量的分布律為 ，則稱則稱X服從參數(shù)服從參數(shù) 的泊松分布，記作的泊松分布，記作 .服從泊松分布的隨機變量服從泊松分布的隨機變量X的概率值可在附錄的的概率值可在附錄的泊松分布表中查出泊松分布表中查出.,.),.,2 , 1 , 0, 0(!)(nkekkXPk)(PX返回返回2.2隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) 1。 分布函數(shù)的概念分布函數(shù)的概念 2。 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)返回返回1。分布函數(shù)的概念。分布函數(shù)的概念設設X為隨機變量，稱函數(shù)為隨機變量，稱函數(shù)為為X的分布函數(shù)。

38、的分布函數(shù)。注意：隨機變量的分布函數(shù)的定義適應于任意的注意：隨機變量的分布函數(shù)的定義適應于任意的隨機變量。隨機變量。 離散型的分布函數(shù)離散型的分布函數(shù)),(),()(xxXPxF離散型的分布函數(shù)離散型的分布函數(shù)由于由于 ，由概率的性質(zhì)知，由概率的性質(zhì)知， 即即:xxkkxXxXxxkxxkkkpxXPxXPxF)()( )kkxxF xp其中求和是對所有滿足其中求和是對所有滿足 時相應的概率時相應的概率 求和求和kxxkp返回返回分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(1) 是不減函數(shù)是不減函數(shù),即對于任意的即對于任意的 有有 即即(4) 右連續(xù)右連續(xù),即即0( )1F x( )F x12xx12()(

39、)F xF x()0,()1FF lim( )0, lim( )1xxF xF x( )F x0(0)lim()( )xF xF xxF x 已知已知X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x),我們可以得出我們可以得出下列事件的概率下列事件的概率. 結(jié)論結(jié)論結(jié)論結(jié)論(1)(2)(3)( )P XbF b( )( )P aXbF bF a1( )P XbF b 返回返回2.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度1。連續(xù)型隨機變量及其概率密度。連續(xù)型隨機變量及其概率密度2。均勻分布與指數(shù)分布。均勻分布與指數(shù)分布3。正態(tài)分布。正態(tài)分布 分位數(shù)分位數(shù)返回返回1。連續(xù)型隨機變量及其概率密度。連續(xù)型隨

40、機變量及其概率密度若對于隨機變量若對于隨機變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)，存在非負函，存在非負函數(shù)數(shù)f(x)，使得對于任意的實數(shù)，使得對于任意的實數(shù)x，有，有則稱則稱X為連續(xù)型隨機變量，并稱為連續(xù)型隨機變量，并稱f(x)為為X的概率的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度（或密度函數(shù)）。密度函數(shù)，簡稱概率密度（或密度函數(shù)）。 xdttfxF)()(連續(xù)型隨機變量在某一點的概率連續(xù)型隨機變量在某一點的概率連續(xù)型隨機變量在某一點的概率連續(xù)型隨機變量在某一點的概率對于任意的實數(shù)對于任意的實數(shù)x， ，有，有當當f(x)可積時，可積時，F(xiàn)(x)為連續(xù)函數(shù)，令為連續(xù)函數(shù)，令則則 即連續(xù)型隨機變量在某一點的概率為零

41、即連續(xù)型隨機變量在某一點的概率為零.0 x)()(0 xxFxFxXxxPxXP0 x0 xXP性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)（1）（2）（3）（4）設）設x為為f(x)的連續(xù)點，則的連續(xù)點，則 存在，且存在，且0)(xf1)(dxxfbadxxfaFbFbXaP)()()(badxxfbXaPbXaPbXaP)(另有另有若若(1)(2)兩個性質(zhì)符合就是連兩個性質(zhì)符合就是連續(xù)型隨機變量的概率密度續(xù)型隨機變量的概率密度注，性質(zhì)注，性質(zhì)(3)離散型沒有離散型沒有)( xF)()( xfxF幾何意義幾何意義幾何意義幾何意義如圖如圖yx0abf(x)bxaP圖中陰影部分面積代表了該區(qū)域的概率。圖中陰影部分面積代表了

42、該區(qū)域的概率。返回返回2。均勻分布與指數(shù)分布。均勻分布與指數(shù)分布定義定義:若隨機變量若隨機變量X的概率密度為的概率密度為則稱則稱X服從區(qū)間服從區(qū)間 上的均勻分布上的均勻分布,簡記為簡記為其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為: , a b其他,0,1)(bxaabxf , Xa b0( )1xaF xbaxaaxbxb直觀圖形直觀圖形幾何圖形幾何圖形如圖f(x)0 xab1baF(x)0abx另有計算公式另有計算公式另有公式另有公式如果如果 是是 的一個子區(qū)間（即的一個子區(qū)間（即 ），），則有則有上式表明上式表明X在在 任一子區(qū)間取值的概率與區(qū)間任一子區(qū)間取值的概率與區(qū)間的長度成正比，而與子區(qū)間的位置無關，

43、也就是的長度成正比，而與子區(qū)間的位置無關，也就是說，說，X在區(qū)間在區(qū)間 上的概率分布是均勻的，因此上的概率分布是均勻的，因此叫做均勻分布叫做均勻分布.使用這一公式計算均勻分布的概率很方便使用這一公式計算均勻分布的概率很方便.,dc,babdca11()( )()ddccP cXdf x dxdxdcbaba,ba,ba返回返回指數(shù)分布指數(shù)分布定義定義:若隨機變量若隨機變量X的概率密度為的概率密度為其中其中 為常數(shù)為常數(shù),則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分的指數(shù)分布布.簡記為簡記為其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為,0( )0,0 xexf xx01( )0 xeF x 00 xx指數(shù)分布有著廣泛的

44、應用，常用來做各種指數(shù)分布有著廣泛的應用，常用來做各種“壽命壽命”分布的近似，分布的近似，例如動物的壽命，電話的通話時間，隨機服務系統(tǒng)中的服務時例如動物的壽命，電話的通話時間，隨機服務系統(tǒng)中的服務時間等，都通常假定服從指數(shù)分布間等，都通常假定服從指數(shù)分布. )(EX返回返回3。正態(tài)分布。正態(tài)分布定義定義:若隨機變量若隨機變量X的概率密度為的概率密度為其中其中 為常數(shù)且為常數(shù)且 ，則稱，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記作的正態(tài)分布，記作 .正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像稱為正態(tài)曲線正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像稱為正態(tài)曲線 )(21)(222)(xexfx,02,),(2NX幾何圖形幾何圖形幾何圖

45、形幾何圖形如圖如圖f(x)x0aa圖形特點及正態(tài)分布曲線的性質(zhì)圖形特點及正態(tài)分布曲線的性質(zhì)(1)曲線關于曲線關于 對稱對稱(2)當當 時，取到最大值時，取到最大值(3)參數(shù)參數(shù) 決定正態(tài)曲線的形狀，決定正態(tài)曲線的形狀， 較大曲線較大曲線扁平，扁平， 較小曲線狹高較小曲線狹高. xx21)(xf分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)設設 ，則，則X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為特別地，當特別地，當 時的正態(tài)分布時的正態(tài)分布 ，稱為標，稱為標準的正態(tài)分布。準的正態(tài)分布。其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 dtexFxt222)(21)(),(2NX1, 0) 1 , 0(N)(21)(22xex

46、xdtedttfxXPxxtx2221)()()(標準正態(tài)分布密度函數(shù)圖形標準正態(tài)分布密度函數(shù)圖形標準正態(tài)分布密度函數(shù)圖形標準正態(tài)分布密度函數(shù)圖形如圖如圖)(xx0aa圖形關于圖形關于 軸對稱，且在軸對稱，且在 取得最大值取得最大值y0 x21標準正態(tài)分布函數(shù)標準正態(tài)分布函數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì)(1)(2)(x)(1)(xx21)0(計算公式計算公式計算公式計算公式標準正態(tài)分布函數(shù)的值可以直接查表得。標準正態(tài)分布函數(shù)的值可以直接查表得。一般的正態(tài)分布函數(shù)一般的正態(tài)分布函數(shù) 與標準的正態(tài)分布函數(shù)與標準的正態(tài)分布函數(shù) 的關系，設的關系，設)(1)(1)(),()()()()(aaXPaXPabaXPbX

47、PbXaP)(xF)(x)()(xxXPxF),(2NX)()(abaXPbXPbXaP)(1aaXP分位數(shù)（臨界值）分位數(shù)（臨界值）定義定義 標準正態(tài)分布的臨界值記為標準正態(tài)分布的臨界值記為 ， 滿足滿足 則稱點則稱點 為標準正態(tài)分布的分位數(shù)（或臨界為標準正態(tài)分布的分位數(shù)（或臨界值）值） 由由 ，查標準正態(tài)分布表求查標準正態(tài)分布表求 .uu)(1)(uXPuXPu1)()(uuXPu返回返回2.4隨機變量函數(shù)的概率分布隨機變量函數(shù)的概率分布1.離散型隨機變量函數(shù)的概率分布離散型隨機變量函數(shù)的概率分布 2.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布返回返回1.離散型隨機變量函數(shù)的

48、概率分布離散型隨機變量函數(shù)的概率分布設設g(x)是一給定的連續(xù)函數(shù)是一給定的連續(xù)函數(shù),稱稱 為隨機變?yōu)殡S機變量量X的一個函數(shù)的一個函數(shù),顯然顯然Y也是一個隨機變量也是一個隨機變量.當當X取取值值x時時,Y取值取值y=g(x).重點在于討論如何由已知的隨機變量重點在于討論如何由已知的隨機變量X的概率分的概率分布布,去求函數(shù)去求函數(shù) 的概率分布的概率分布.()Yg X()Yg X結(jié)論結(jié)論結(jié)論結(jié)論離散型隨機變量離散型隨機變量X的取值可列的取值可列 ,則則Y的的取值也是可列的取值也是可列的 ,因此因此Y也是也是個離散型隨機變量個離散型隨機變量.但是但是 中可中可能有相等的情況能有相等的情況.當當 有相

49、等的情況時有相等的情況時,應把應把 相等的那些相等的那些 所對應的概率相加所對應的概率相加,作為作為Y取值取值的概率的概率.12,kx xx12(), (),(),kg xg xg x12(), (),(),kg xg xg x12(), (),(),kg xg xg x()kg xix()kg x注：在最后所得分布律，按注：在最后所得分布律，按Y的各取值的自然的各取值的自然順序重新排列一下順序重新排列一下返回返回2.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布設設X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為設設 是一嚴格單調(diào)的可導函數(shù)，其值域為是一嚴格單調(diào)的可導

50、函數(shù)，其值域為 且且 。記。記 為為 的反函數(shù)，則的反函數(shù)，則的概率密度的概率密度特別地，當特別地，當 時時)(xfX)(xg,0)( xg)(yhx )(xgy )(XgY 0| )( |)()(yhyhfyfXY其他 y,| )( |)()(yhyhfyfXYy返回返回3.多維隨機變量及其概率分布多維隨機變量及其概率分布3.1多維隨機變量的概念多維隨機變量的概念3.2隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性3.3兩個隨機變量的函數(shù)的分布兩個隨機變量的函數(shù)的分布 返回返回3.1多維隨機變量的概念多維隨機變量的概念1。二維隨機變量及其分布函數(shù)。二維隨機變量及其分布函數(shù)2。二維離散型隨機變量。二維離散型

51、隨機變量 3。二維連續(xù)型隨機變量的概率密度和邊。二維連續(xù)型隨機變量的概率密度和邊緣概率密度緣概率密度返回返回1。二維隨機變量及其分布函數(shù)。二維隨機變量及其分布函數(shù)定義定義 n個隨機變量個隨機變量 ，構(gòu)成的整體，構(gòu)成的整體 稱為一個稱為一個n維隨機變量或維隨機變量或n維隨機維隨機向量，向量， 稱為稱為X的第的第i個分量。個分量。定義定義 設設 為一個二維隨機變量，記為一個二維隨機變量，記稱二元函數(shù)稱二元函數(shù) 為為X與與Y的聯(lián)合分布函數(shù)或稱為的聯(lián)合分布函數(shù)或稱為 的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。nXXX,21),(21nXXXXiXni, 2 , 1),(YX,),(yYxXPyxFxy),(yxF),(

52、YX續(xù)續(xù)（續(xù)）二維隨機變量（續(xù)）二維隨機變量 的兩個分量的兩個分量X與與Y各自的分布函數(shù)分別稱為各自的分布函數(shù)分別稱為二維隨機變量二維隨機變量 關于關于X與關于與關于Y的邊緣分布函的邊緣分布函數(shù)，記為數(shù)，記為 與與 。 邊緣分布函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關系。邊緣分布函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關系。),(YX),(YX)(xFX)(yFY),(,)(xFYxXPxXPxFX),(limyxFy),(,)(yFyYXPyYPyFY),(limyxFx 幾何圖形幾何圖形幾何圖形幾何圖形如圖如圖xyo),(yxDD為分布函數(shù)為分布函數(shù) 在在 處的函數(shù)值處的函數(shù)值),(yxF),(yxD為以為以 為頂點，位為頂點

53、，位于該點左下方的無窮矩形于該點左下方的無窮矩形),(yxxy0),(11yx),(21yx),(22yx),(12yx1y1x2y2x矩形域為落在區(qū)域矩形域為落在區(qū)域內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。,2121yYyxXx計算公式計算公式計算公式計算公式落在矩形域內(nèi)概率為落在矩形域內(nèi)概率為分布函數(shù)分布函數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì)(1) 是變量是變量x或或y的不減函數(shù)的不減函數(shù)(2)(3) 關于關于x和關于和關于y均右連續(xù)均右連續(xù)(4)對任意固定的對任意固定的 ， 有有),(),(),(),(,112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP),(yxF),(yxF1),(0yxF),(yxF21xx

54、21yy 0),(),(),(),(11211222yxFyxFyxFyxF返回返回2。二維離散型隨機變量。二維離散型隨機變量定義定義 若二維隨機變量若二維隨機變量 只取有限多對或可只取有限多對或可列列無窮多對無窮多對 ，則稱，則稱 為二維為二維離散隨機變量。離散隨機變量。設二維隨機變量設二維隨機變量 的所有可能取值為的所有可能取值為 ， 在各個可能取值的概率為：在各個可能取值的概率為：),(YX),(jiyx, 2 , 1,ji),(YX),(YX),(jiyx, 2 , 1,ji),(YXijjipyYxXP, 2 , 1,ji分布律分布律性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 的分布律具有下列性質(zhì)：的分布律具

55、有下列性質(zhì)：(1)(2)由由 的分布律可求得它的分布數(shù)的分布律可求得它的分布數(shù) ，),(YX0ijp, 2 , 1,ji1ijijp),(YX),(yxFxxyyijijpyYxXPyxF,),(邊緣分布律邊緣分布律邊緣分布律邊緣分布律定義定義 對于離散型隨機變量（對于離散型隨機變量（X,Y），分量），分量X或或Y的分布律稱為（的分布律稱為（X,Y）關于）關于X或或Y的邊緣分布的邊緣分布律，記為律，記為 或或可由（可由（X,Y）的分布律求出。）的分布律求出。ip1,2,3i jp1,2,3j iiijjpP Xxp1,2,3i jjijipP Yyp1,2,3j 性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)邊緣分布律具有

56、下列性質(zhì)：邊緣分布律具有下列性質(zhì)：（1）（2）0jp0ip ,1,2,3i j 1ijip 1ijjp 返回返回3。二維連續(xù)型隨機變量的概率密度和。二維連續(xù)型隨機變量的概率密度和邊緣概率密度邊緣概率密度定義：設二維隨機變量定義：設二維隨機變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為若存在非負可積函數(shù)為若存在非負可積函數(shù)為 ，使得對于任意，使得對于任意的實數(shù)的實數(shù)x,y都有都有則稱則稱 為二維連續(xù)型隨機變量，并稱為二維連續(xù)型隨機變量，并稱為為 的概率密度函數(shù)或的概率密度函數(shù)或X與與Y的聯(lián)合密度函的聯(lián)合密度函數(shù)。數(shù)。(, )X Y( , )F x y( , )f x y( , )( , )xyF x yf u

57、v dudv (, )X Y( , )f x y(, )X Y性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)按定義：概率密度函數(shù)按定義：概率密度函數(shù) 有以下性質(zhì)：有以下性質(zhì)：（1）（2）( , )f x y( , )0f x y ( , )1f x y dxdy 分布函數(shù)與密度函數(shù)的關系分布函數(shù)與密度函數(shù)的關系若若 在在 處連續(xù)，則有處連續(xù)，則有( , )f x y( , )x y2( , )( , )F x yf x yx y 概率計算公式概率計算公式概率計算公式概率計算公式如果已知如果已知 的概率密度的概率密度 ，則，則在平面區(qū)域在平面區(qū)域D內(nèi)取值的概率為：內(nèi)取值的概率為：(, )X Y( , )f x y(, )X

58、Y(, )( , )DPX YDf x y dxdy幾何意義：隨機點幾何意義：隨機點 落在平面區(qū)域落在平面區(qū)域D上的上的概率等于以平面區(qū)域概率等于以平面區(qū)域D為底，以曲面為底，以曲面 為頂?shù)那斨w的體積。為頂?shù)那斨w的體積。(, )X Y( , )zf x y兩種重要的分布兩種重要的分布兩種重要的分布兩種重要的分布1。均勻分布。均勻分布 定義定義 2。二維正態(tài)分布。二維正態(tài)分布 定義定義 連續(xù)型隨機變量的邊緣分布連續(xù)型隨機變量的邊緣分布返回返回均勻分布定義均勻分布定義設設D為平面上的有界區(qū)域，其面積為為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且且S0，如果二維隨機變量（如果二維隨機變量（X,Y）的概率

59、密度為）的概率密度為則稱（則稱（X,Y）服從區(qū)域）服從區(qū)域D上的均勻分布（或稱上的均勻分布（或稱（X,Y）在）在D上服從均勻分布），記作上服從均勻分布），記作 01),(SyxfelseDyx),(DUYX),(特殊情形特殊情形特殊情形特殊情形（1）D為矩形區(qū)域，為矩形區(qū)域， 此時此時（2）D為圓形區(qū)域，如（為圓形區(qū)域，如（X,Y）在以原點為圓）在以原點為圓心，心，R為半徑的圓域上服從均勻分布，則（為半徑的圓域上服從均勻分布，則（X,Y） 的概率密度為的概率密度為dycbxa,0)(1),(cdabyxfelsedycbxa, 01),(2RyxfelseRyx222 返回返回二維正態(tài)分布定義

60、二維正態(tài)分布定義若二維隨機變量（若二維隨機變量（X,Y）概率密度為：）概率密度為：其中其中 都是常數(shù)，且都是常數(shù)，且則稱（則稱（X,Y）服從二維正態(tài)分布，記作）服從二維正態(tài)分布，記作)()(2)()1 (212212222212121212121),(yyxxeyxf),(yx,2221211| , 0, 021),(),(222121NYX返回返回連續(xù)型隨機變量（連續(xù)型隨機變量（X,Y）的邊緣分布）的邊緣分布定義：對連續(xù)型隨機變量（定義：對連續(xù)型隨機變量（X,Y），分量），分量X或或Y的概率密度稱為（的概率密度稱為（X,Y）關于）關于X或或Y的邊緣概率的邊緣概率密度，簡稱邊緣密度，記為密度，