近五年高考數(shù)學數(shù)列試題的研究

1、摘要【摘要】數(shù)列在中學數(shù)學中有著非常重要的地位，它銜接了初等數(shù)學和高等數(shù)學，是高考數(shù)學每年必考的重要內(nèi)容。主要內(nèi)容涉及到數(shù)列概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列通項及求和、數(shù)學歸納法和數(shù)列極限等；它滲透了函數(shù)和方程、分類討論、歸納等重要的數(shù)學思想。本文通過收集近五年全國各地的數(shù)學高考題中的數(shù)列考題，同時查閱相關(guān)資料與文獻，分類歸納數(shù)列考題中包含的函數(shù)、方程、歸納、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，并對其進行分析。在此基礎(chǔ)上提出若干相應(yīng)的復習建議?！娟P(guān)鍵詞】高考；數(shù)列；思想方法；建議Research on sequence in mathematics test of college entranc

2、e examination nearly five yearsAbstract【ABSTRACT】Sequence in the middle school mathematics plays a very important position.It links elementary mathematics and advanced mathematics.It is the important content in mathematics test of college entrance examination of each year.Its main content involves s

3、equence concept,arithmetic progression,geometric progression and their general term formula and summation,mathematical induction and sequence limit etc.It infiltrates the mathematical thought about function and equation,classification discussion and induction.In this thesis,the author collects the s

4、equence questions and material in the university entrance exam all over the country nearly five years,then classifies and analyses the thought method about function,equation,conclude and numeral-form combination,classification discussion,reduction and transformation.At last,the author puts forward s

5、ome corresponding proposed review.【KEYWORDS】college entrance examination;sequence;method of thinking; suggestion目錄摘要IIAbstractIII目錄IV1引言11.1研究背景11.2研究目的及意義21.2.1研究目的21.2.2研究意義21.3研究方法和內(nèi)容21.3.1研究方法21.3.2研究內(nèi)容22高考中的基本數(shù)列42.1等差與等比數(shù)列42.1.1等差數(shù)列42.1.2等比數(shù)列52.1.3典型例題72.2遞推數(shù)列92.2.1線性遞推數(shù)列92.2.2非線性遞推數(shù)列113高考中數(shù)列問題

6、所涉及的思想方法143.1函數(shù)思想143.2數(shù)形結(jié)合思想163.3方程思想173.4歸納思想183.5分類討論思想203.6化歸與轉(zhuǎn)化思想234復習建議25參考文獻26致謝28附錄29481 引言1.1 研究背景數(shù)列既是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學生進一步學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)。作為一種特殊的函數(shù)，數(shù)列通過反映自然規(guī)律而成為了一種基本的數(shù)學模型，涉及的數(shù)學思想與方法主要有轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程思想等。數(shù)列能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學邏輯思維能力、建模能力、運算能力、分析問題和解決問題的能力以及推理論證能力，是學生進一步學習數(shù)學的基礎(chǔ)知識和重要工具。教育部2003年公布的普通

7、高中數(shù)學課程標準（實驗）中關(guān)于數(shù)列的安排是：必修5中通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實際問題。 數(shù)列是高考數(shù)學的主要考查內(nèi)容之一，在高考中有著極其重要的地位，試題難度分布幅度大，既有容易的基本題和難度適中的小綜合題，也有綜合性較強對能力要求較高的難題。近幾年的高考卷中，各省的考卷常見的都含有一道選擇或填空題，外加一道解答題。解答題多為考查綜合能力的試題，把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式等的知識綜合起來，其中探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)，著重考查考生的思

8、維能力，解決問題的能力。（1）數(shù)列問題在數(shù)學高考題中所占的比重及題型形式。綜合分析各省近幾年高考數(shù)學試題，數(shù)列都占有非常重要的地位，一般情況下都是以一道選擇或填空題和一道解答題的形式出現(xiàn)。選擇題和填空題主要考查學生對等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等基礎(chǔ)知識的掌握程度，此類題目對基本的計算技能要求比較高，具有“小、巧、活、新”的特點。若出現(xiàn)在解答題中，則該題屬于中高難度的題目，甚至是壓軸題。此類題具有綜合性強、難度大、變化多等特點，以等差數(shù)列和等比數(shù)列內(nèi)容為主要考查內(nèi)容，以對數(shù)列的本質(zhì)的知識和推理能力，運算能力以及分析問題和解決問題的能力考查為主（2）數(shù)列問題的命題特點。第一

9、，問題貼近基礎(chǔ)，注重對理解能力和推理運算能力的考查。雖然以數(shù)列為背景的試題有易也有難，但往往是貼近數(shù)列的基礎(chǔ)知識（包括等差、等比、通項、求和等相關(guān)的概念和性質(zhì)），基本的要求即考察學生的理解能力和推理運算能力。透徹的理解數(shù)列的相關(guān)概念，恰當?shù)倪\用相關(guān)性質(zhì)和公式是解答好數(shù)列問題的首要條件和基礎(chǔ)，也是正確理解題意的前提；第二，問題形式多變，注重對觀察分析能力和數(shù)學思維能力的考查。數(shù)列試題的形式與形態(tài)多式多樣，不拘一格。無論是題設(shè)的給出，還是問題的提法，甚至是對求解的要求，都常常打破常規(guī)，常常有創(chuàng)新的試題出現(xiàn)；最后，是以數(shù)列為引線編制的綜合性強、內(nèi)涵豐富的試題，此類題目能深入的考查學生的綜合素質(zhì)。通常

10、，對數(shù)列的定義即數(shù)列是按一定順序排列好的一列數(shù)。理解為以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，因此能夠引發(fā)數(shù)列問題的背景材料非常豐富，可以是在實際方面的應(yīng)用，也可以是各種數(shù)學研究對象（如函數(shù)、集合、幾何圖形等）。同時，圍繞給定的數(shù)列也能夠提出許多數(shù)學問題，這些問題除了數(shù)列自身各種性質(zhì)外，還會有大量的外延性的問題，如函數(shù)、不等式、方程、三角、幾何性質(zhì)之類的問題。數(shù)列與其它的知識存在的大量的聯(lián)系使得它有著廣泛的應(yīng)用，這就要求學生同時關(guān)注各板塊知識之間的聯(lián)系，注重綜合能力的培養(yǎng)?？v觀近幾年全國各地高考試題，發(fā)現(xiàn)高考數(shù)列試題具有貼近基礎(chǔ)、模式多變、綜合性強等特點，只有在平時的學習中做到夯實基礎(chǔ)、抓

11、住特征、掌握聯(lián)系，才能在高考中取得好成績！1.2 研究目的及意義1.2.1 研究目的許多優(yōu)秀的數(shù)學教師以及教材編寫者編寫有一些針對高考數(shù)學復習輔導的資料，但單獨地談及數(shù)列問題的較少。有的參考資料也有涉及到，但是對解決數(shù)列問題的思想方法研究得還不夠充分，對數(shù)列高考試題的研究缺乏整體性、缺乏相關(guān)研究。此外，一些網(wǎng)站上對這方面的介紹和研究也缺乏全面性。本文就是針對這方面，在前人研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合自身的學習和實踐，對高考以及高考中的數(shù)列問題、歷年高考的數(shù)列問題以及解決此類問題的不同思想方法進行分類總結(jié)，并在此基礎(chǔ)上提出若干相應(yīng)的復習建議。1.2.2 研究意義數(shù)列問題在高考數(shù)學中占有重要地位，對其進行研

12、究，將極大地豐富高考數(shù)學的內(nèi)容，有助于推動高考數(shù)學的發(fā)展。對于數(shù)學教師來說，可以豐富他們的教學內(nèi)容，他們可以將研究成果用來指導學生進行相應(yīng)復習；對于學生來說，可以讓他們?nèi)娴牧私鈹?shù)列問題的特點以及解決各類數(shù)列問題的思想方法，提高他們的解題能力；甚至對于命題者來說，這些成果也可以給他們進行命題提供一定的幫助。1.3 研究方法和內(nèi)容1.3.1 研究方法本文采用文獻分析法和實證分析法， 收集近五年全國各地的數(shù)學高考題中的數(shù)列考題，同時查閱相關(guān)資料與文獻，分類歸納數(shù)列考題中包含的函數(shù)、方程、歸納、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，并對其進行分析。1.3.2 研究內(nèi)容本文將主要圍繞以下幾個方面的

13、內(nèi)容展開研究： 1.研究高考以及高考中基本的數(shù)列：等差與等比數(shù)列以及各種類型的遞推數(shù)列； 2.對歷年高考的數(shù)列問題以及解決此類問題的不同思想方法進行歸納總結(jié)； 3.結(jié)合以上研究，提出若干相應(yīng)的復習建議。本章小結(jié)本章通過對研究背景的分析，闡述了對高考中數(shù)列問題進行研究的必要性，提出了研究目的和意義，明確了研究的內(nèi)容。2 高考中的基本數(shù)列2.1 等差與等比數(shù)列數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也是能反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型。在高中階段，學生通過分析日常生活中大量實際問題，繼而建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，從而探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，同時感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并在此基礎(chǔ)上利用它們解決

14、一些實際問題。等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考的熱點，在數(shù)學高考的數(shù)列問題中占著很大的比重。這兩種特殊的數(shù)列通常是設(shè)計數(shù)列綜合題的“生長點”和“中途點”，是學生解答相關(guān)綜合題的“突破點”，而且各個省的數(shù)列高考題的“關(guān)鍵點”都在于向某個特殊數(shù)列的轉(zhuǎn)化和過渡。等差與等比數(shù)列往往是研究數(shù)列問題的基礎(chǔ)，是解答高考數(shù)列問題的鋪路石，自然也是高考數(shù)學研究的重點。2.1.1 等差數(shù)列數(shù)列滿足（其中d是常數(shù)），則這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，d叫做公差。若等差數(shù)列的首項是，公差為d，則的通項公式為，而對于任意的，有；若等差數(shù)列的前n項和為，則或。等差數(shù)列具有以下重要的性質(zhì): （1）若，且，則。當時則有。 （2）若，是等差數(shù)列

15、，公差分別為，則也是等差數(shù)列，公差分別為。 （3）若數(shù)列是等差數(shù)列，且正整數(shù)l，m，p也成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列。 （4）若等差數(shù)列的前n項和為，則也成等差數(shù)列。 （5）當d>0時，數(shù)列是遞增數(shù)列；當d<0時，數(shù)列是遞減數(shù)列；當d=0時，數(shù)列是常數(shù)列。 （6）是關(guān)于n的一次函數(shù)，是關(guān)于n的二次函數(shù)。 （7）若是等差數(shù)列，則，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，當項數(shù)為奇數(shù)2n-1時，。 例1 已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)），令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式。（2009年湖北卷） 分析解答：在中，令n=1，可得，即得。當時，則，所以，即，又，所以數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列，于是，

16、。 評注：本例主要考查等差數(shù)列的定義以及數(shù)列的通項公式，通過運用等差數(shù)列定義證明得到的通項公式，從而得到的通項公式。 例2 設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則。（2009年全國卷一） 分析解答：得到。 評注：對于性質(zhì)1，可以擴展為兩項以上，如果兩邊的項數(shù)相同，只要下標數(shù)值相加相等，那么等號仍然成立。此例就是對該性質(zhì)的應(yīng)用：。 例3 設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則。（2007年遼寧卷） 分析解答：因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以也成等差數(shù)列，則。 評注：解此例也可通過列方程組來求通項公式，從而得到所要求的式子的值，但是利用性質(zhì)以后明顯可以使運算更簡單。2.1.2 等比數(shù)列 若數(shù)列滿足，其中q為不等于零的常數(shù)

17、，則稱該數(shù)列為等比數(shù)列，q稱為公比。若等比數(shù)列的首項是，公比為q，則的通項公式為，而對于任意的，有；若等比數(shù)列的前n項和為，則或，當時，所有項的和。 等比數(shù)列具有以下重要的性質(zhì)： （1）若，且，則。當時則有。 （2）若，是等比數(shù)列，公比分別為，則也是等比數(shù)列，公比分別為。 （3）若數(shù)列是等比數(shù)列，且正整數(shù)l，m，p成等差數(shù)列，則也成等比數(shù)列。 （4）若等比數(shù)列的前n項和為，則也成等比數(shù)列。 （5）若是等比數(shù)列，則，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，當項數(shù)為奇數(shù)2n-1是，。 例4 設(shè)是公比為q的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項在集合中，則。（2009年江蘇卷）分析解答：由已知數(shù)列有連續(xù)四項在集合中，則數(shù)列必有

18、連續(xù)四項在集合中。若公比q為正則該數(shù)列的四項必均為正或均為負值，顯然不合題意，所以公比q必為負值。又由知，按此要求在集合中取四個數(shù)排成數(shù)列可得數(shù)列-24,36，-54,81或18，-24,36，-54（此數(shù)列不成等比，故舍去），由于-24,36，-54,81的公比，所以。評注：本例考查了等比數(shù)列的通項與基本量的求解問題，利用等比數(shù)列構(gòu)造另一個數(shù)列，利用所構(gòu)造數(shù)列的性質(zhì)去研究等比數(shù)列是高考的熱點問題。例5 設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，則。（2010年浙江卷）分析解答：設(shè)等比數(shù)列公比為q，由已知，得，解得，故。評注：本例考查等比數(shù)列的通項及前n項和公式，利用已知的條件求出公比，通過數(shù)列的性質(zhì)來求和。例

19、6 設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，則。（2009年遼寧卷）分析解答：有兩種方法解答，方法一：由已知可得 ，所以，所以，；方法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)知成等比數(shù)列，則可設(shè)，則因為,所以可得，故。評注：本例考查等比數(shù)列的求和公式，通過等比數(shù)列求和公式和等比數(shù)列求和的性質(zhì)兩種方法進行解答，由此可以看出，求解數(shù)列問題時，方法可以有很多。2.1.3 典型例題 上述總結(jié)了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，這些性質(zhì)都非常重要。在高考中，經(jīng)常會出現(xiàn)隱藏的等差或等比數(shù)列以及等差數(shù)列和等比數(shù)列相結(jié)合的問題，要求學生靈活運用兩種數(shù)列及其性質(zhì)進行解題。 例7 數(shù)列的通項，其前n項和為，則。（2009年江西卷） 分析解答：由條

20、件可知，則有，同理可求得，有，故。 評注：本例考查數(shù)列的求和運算，由于不是常見的等差型與等比型數(shù)列，必須重新組合使之成為等差或等比型數(shù)列再求解。出現(xiàn)此類題目關(guān)鍵是觀察其特點，盡量轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)列進行解題，涉及到化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，下一章將做進一步介紹。 例8 等比數(shù)列的前n項和為，已知成等差數(shù)列，則的公比為_。（2007年全國卷一）分析解答：這里需討論當公比q=1的情況，當q=1時，,不符合題意。時，由，由題意,即，整理得，解得。評注：本例綜合考查等差、等比數(shù)列的定義以及前n項和公式，但應(yīng)注意討論q=1的情況。當然，也可以直接由代入求解。例9 設(shè)等差數(shù)列的公差d不為0，若是與的等比中項

21、，則。（2007年天津卷）分析解答：由已知有，因為，且，得。評注：與上例類似，綜合考查等差、等比數(shù)列的概念及運算。例10 將數(shù)列中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，。為數(shù)列的前n項和，且滿足。(I)證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（II）上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)，當時，求上表中第行所有項的和。（2008年山東卷） 分析解答：(I)證明：由已知，當時，又，所以，即，所以，又，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，由上可知，即，所以當時，因此。（II）設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為

22、q且，因為，所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列的前78項，故在表中第13行第3列，因此，又所以，記表中第行所有項的和為S，則。 評注：本例是考查等差、等比數(shù)列定義及運算的綜合題，（I）題要求從等差數(shù)列定義出發(fā)證明，通過所得的結(jié)論來得到所求數(shù)列的通項公式。在高考題中，類似此題從定義出發(fā)證明，并過渡到求某個相關(guān)數(shù)列的通項及求和的題目非常常見。2.2 遞推數(shù)列若數(shù)列自第k項后的任一項由關(guān)系式確定，則稱數(shù)列是遞推數(shù)列。若f是線性的，則稱為線性遞推數(shù)列，否則稱為非線性遞推數(shù)列。數(shù)學高考中涉及到的數(shù)列問題既有線性遞推數(shù)列，也有非線性遞推數(shù)列，通常以后者為主，并出現(xiàn)在綜合題中，以求通項公式為主，或者以求通項

23、為過渡來考查學生其他的一些知識點。因此本文著重討論求通項公式。2.2.1 線性遞推數(shù)列若數(shù)列從第k項后任一項都是其前k項的線性組合，即有下式，其中，是常數(shù)，則稱數(shù)列為k階線性遞推數(shù)列，上式稱為數(shù)列的遞推方程。對應(yīng)的代數(shù)方程稱為k階線性遞推數(shù)列的特征方程。線性遞推數(shù)列主要有以下兩種類型：二階線性遞推數(shù)列和k階線性遞推數(shù)列。高考考題中，二階線性遞推數(shù)列問題比較常見，而k階線性遞推數(shù)列幾乎不出現(xiàn)（它的通項可利用特征及性質(zhì)即“特征根法”求出），在此只介紹二階線性遞推數(shù)列。 形如的遞推式為二階線性遞推數(shù)列，求其通項，分兩種情況進行討論：（1） 當p+q=1時，則有，此時發(fā)現(xiàn)是公比為-q的等比數(shù)列?？梢郧?/p>

24、出的通項公式，接著使用疊加法來求。（2）當時，先用待定系數(shù)法假設(shè)存在滿足，展開后與原式對比求出的值，再求出，。例11 設(shè)p，q為實數(shù)，是方程的兩個實根，數(shù)列滿足。（I）證明：；（II）求數(shù)列的通項公式；（III)若，求的前n項和。（2008年廣東卷）分析解答：（I）由已知條件為方程的兩個實根，則有：；（II）由（I）有，從而可寫成，所以有。令，則有，即，故當時，而，所以當時都有故，（III)若，則，這時，其前n項和為，且因為，故。 評注：本例中的二階線性遞推數(shù)列求通項公式前有第一小題做了過渡，因此代入后可以直接轉(zhuǎn)化成所要的形式，降低了難度。而第三小題是特殊情況，根據(jù)前兩小題就可以得出結(jié)果。2.

25、2.2 非線性遞推數(shù)列 在高考考題中，非線性遞推數(shù)列常見的是一階遞推數(shù)列、二階遞推數(shù)列以及其他幾種特殊形式的數(shù)列類型。以下就對常見題型分類型進行介紹。 （1）一階遞推數(shù)列形如的遞推式，求通項時可以先將該式轉(zhuǎn)化為，然后使用疊加法來求。例12 設(shè)數(shù)列滿足，（I）求數(shù)列的通項公式。（2010年課程標準卷）分析解答：因為，則：，得到又，所以數(shù)列的通項公式為。例13 數(shù)列中，且成公比不為1的等比數(shù)列。（I）求c的值；（II）求的通項公式。（2007年北京卷）分析解答：（I）由已知有，因為成等比數(shù)列，所以，解得c=0（不符，舍去）或者c=2，故c=2.（II）當時，由于，所以有，又，故，當是上式也成立，所

26、以。形如的遞推式，與上述的二階線性遞推數(shù)列類似，可用待定系數(shù)法，令，把式子展開后與原式對比便可求出x，這樣就構(gòu)造了一個新的等比數(shù)列，先求出，再求。例14 在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項。（2006年重慶卷）分析解答：由，得，所以是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，即，所以。 形如的遞推式，其通項可以先兩邊同除以，變?yōu)?，然后疊加求出。例15 在數(shù)列中，其中實數(shù)，（I）求的通項公式。（2010年重慶卷）分析解答：由原式得，令，則，且，對有，因此，又當n=1時上式成立，因此。例16 在數(shù)列中，其中，（I）求數(shù)列的通項公式。（2007年天津卷）分析解答：（I）由已知條件，等號兩邊同時除以，得到，令，則有，以

27、上各式疊加后得到，即得。或者還可以在除以之后化成的形式，此時為公差為1，首項為0的等差數(shù)列，故，所以數(shù)列的通項公式為。評注：由此例可以看出，同樣求通項公式，可以通過不同的轉(zhuǎn)化方式來得出結(jié)論，此題還可以先求，觀察猜想得到，接著通過數(shù)學歸納法證明結(jié)論。一題多解在解決數(shù)列問題上也相當重要，體現(xiàn)了數(shù)列問題的靈活性。 （2）二階遞推數(shù)列對于二階遞推數(shù)列，可以通過轉(zhuǎn)化將其轉(zhuǎn)化為一階遞推數(shù)列。例17 已知數(shù)列滿足：，且，求數(shù)列的通項公式。分析解答：此二階遞推式可以經(jīng)過轉(zhuǎn)化變?yōu)?，此時可將，則有，即，經(jīng)過疊加得到，于是有，此時轉(zhuǎn)化為一階遞推式，根據(jù)一階遞推數(shù)列求通項的方法可得。評注：以上的二階遞推數(shù)列可以較容易

28、的轉(zhuǎn)化，如果在解題時遇到相對復雜的遞推式，也可考慮用數(shù)學歸納法進行證明。 （3）形如的遞推式，可以通過“累乘法”求通項。令得到n-1個式子，然后相乘，當可以求得時，便可求出。例18 在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列和的通項公式。（2009年全國卷）分析解答：在第1小題的解答中，根據(jù)題意可等式兩邊同時除以（n+1），得到，令，再求和，答案此處不詳細給出。評注：本例根據(jù)題意經(jīng)過轉(zhuǎn)化后易求，若將題中遞推形式改為，則運用上述方法可得，即，經(jīng)過累乘后可求出。 （4）形如，兩邊分別取對數(shù)得，令，對于數(shù)列有，這個形式就可以用前面的方法來解決了，求出了，同時也就可以得到。例19 已知，點在函數(shù)的圖象上，其中，（I）

29、證明數(shù)列是等比數(shù)列。（2006年山東卷）分析解答：由已知有，所以，因為，所以，兩邊取對數(shù)得：，即，所以是公比為2的等比數(shù)列。 （5）形如的遞推式，其中我們稱由此遞推式確定的數(shù)列為分式線性遞推數(shù)列。解決此類問題可以通過解特征方程的根來構(gòu)造所要的遞推形式。通過計算得到方程的兩個不等的根，則可以變形為，其中k由和系數(shù)確定的。當?shù)玫絻蓚€相等的根，則可以變?yōu)椋渲衚是由和確定的。以上方法也被稱為“不動點法”。 例20 已知數(shù)列的首項，（I）求的通項公式。（2008年陜西卷）分析解答：由已知條件，可以運用“不動點法”，求出特征方程的兩個不同實根為0和1，則可變型為，令，則，求得，由得。評注：本例用“不動點

30、法”來求通項公式，實際上，當中系數(shù)b為0時，可以使用“倒數(shù)法”來解，將等號兩邊同時取倒數(shù)得到，此時令便容易求出和。3 高考中數(shù)列問題所涉及的思想方法高考中的數(shù)列問題會涉及到很多思想方法，常見的有函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、歸納思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想等。3.1 函數(shù)思想 函數(shù)是貫穿整個高中數(shù)學的一條主線，而函數(shù)思想也是基本的數(shù)學思想。函數(shù)思想就是用變量和函數(shù)來思考問題。數(shù)列是一類定義在正整數(shù)集或它的有限子集上的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式和前n項和公式都可以看成n的函數(shù)，特殊的，等差數(shù)列的通項公式可以看成是n的一次函數(shù)，而求和公式可看成是常數(shù)項為零的一個二次函數(shù)，因此許多數(shù)列問題

31、可以用函數(shù)的思想進行分析，利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)列問題，即以運動和變化的觀點來分析數(shù)列問題的數(shù)量關(guān)系，從而建立起函數(shù)關(guān)系并運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解，最終使問題得到解決。例1 已知數(shù)列滿足，則的最小值為_。（2010年遼寧卷）分析解答：觀察已知條件，累加法求數(shù)列通項公式：，各式相加的，所以，構(gòu)造函數(shù)，時在時函數(shù)取得最小值，但是由于此題n需取整，所以將5和6代入驗證，當n=5時，當n=6時，顯然當n=6時，取得最小值，最小值為。評注：本例中的數(shù)列是本文上一章提到的一階非線性遞推數(shù)列，通過累加來獲得通項公式。在求最小值時構(gòu)造了一個函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性來求最小值。另外，在解數(shù)列相關(guān)的問題時必須

32、注意n的取值范圍。例2 已知數(shù)列的前n項和為，且，（I）證明：是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式，請指出n為何值時，取得最小值，并說明理由。（2010年上海卷）分析解答：（I）當n=1時，解得，則。當時，所以，得，即，所以是首項為-15，公比為的等比數(shù)列。（II）由（I）有，所以，當時，即有，解得，當時，；當時，故n=15時，取得最小值。評注：本例第二小題中將看成關(guān)于n的函數(shù)，通過求的取值來獲得的單調(diào)性，通過考慮n的取值范圍來確定的最小值。例3 若數(shù)列的前n項和，則此數(shù)列的通項公式為_;數(shù)列中數(shù)值最小的項是第_項。（2007年北京卷）分析解答：當n=1時，；當n>1時，所以有。由可得該

33、式為關(guān)于n的二次函數(shù)，其對稱軸，滿足，又，所以中最小，即數(shù)列數(shù)值最小的項是第3項。評注：本例的已知條件中，觀察發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是等差數(shù)列，從此特點入手求通項公式亦可。對于求中的最小值，注意n的取值范圍，取函數(shù)的對稱軸最近的兩個正整數(shù)值為n值求出，從中取大。例4 已知等比數(shù)列中，則其前3項的和的取值范圍是_。(2008年四川卷) 分析解答：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，由函數(shù)的性質(zhì)，當x>0時，當x<0時，當，因此的取值范圍是，其中當且僅當時，。評注：本例的解題思路是先通過和q來表示出，使表示成為關(guān)于q的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來得出的取值范圍。此處也可以使用均值不等式來得到，兩種方法都是

34、學生平時熟悉的。3.2 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決。在上述函數(shù)思想一節(jié)內(nèi)容中的例題都用到了數(shù)形結(jié)合思想，通過研究構(gòu)造的函數(shù)的圖象來獲得其單調(diào)性，從而求得與數(shù)列相關(guān)問題的最值。特別是等差數(shù)列的通項公式可以看成是n的一次函數(shù)，而其求和公式可以看成是常數(shù)項為零的二次函數(shù)，求某一項或者求和的最大最小值時問題就轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最大最小值，只是定義域為正整數(shù)。所以，函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想往往在解決數(shù)列各類問題中相結(jié)合使用，通過建立函數(shù)模型并

35、結(jié)合函數(shù)圖象來解決數(shù)列問題相當常見。3.3 方程思想 方程思想就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，使用數(shù)學語言將問題中的條件化為相關(guān)的數(shù)學模型（方程、不等式或方程與不等式的結(jié)合等），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。當然，有些情況會實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化。等差、等比數(shù)列一般涉及五個基本量：。于是“知三求二”成為等差、等比數(shù)列中的基本問題，可運用方程思想，通過解方程（組）求解。例5 設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則。（2009年陜西卷）分析解答：由題意得：，所以，。評注：本例考查等差數(shù)列的通項與求和，考查數(shù)列極限的求解，運用待定系數(shù)法構(gòu)建方程組確定通項及求和是求解的關(guān)鍵。根據(jù)等差數(shù)列基本量的

36、關(guān)系，先求的表達式，再求的值。例6 設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項和，滿足，（I）求數(shù)列的通項公式及前n項和。（2009年江蘇卷）分析解答：由題意，設(shè)等差數(shù)列的通項公式，由知，又因為，所以，聯(lián)立，所以數(shù)列的通項公式，。例7 等差數(shù)列各項均為正整數(shù)，前n項和為，等比數(shù)列中，且，是公比為64的等比數(shù)列，（I）求和。（2008年江西卷）分析解答：設(shè)的公差為d，的公比為q，則d為正整數(shù)，依題意有,由知q為正有理數(shù)，又有知，d為6的因子1,2,3,6之一，解方程得，故。例8 設(shè)為實數(shù)，首項為，公差為d的等差數(shù)列的前n項和為，滿足，則d的取值范圍是_。（2010年浙江卷）分析解答：據(jù)已知，可得，整理

37、得，將等式視為關(guān)于的方程，則方程滿足有解，故有，解得。評注：本例考查等差數(shù)列前n項和公式及方程思想應(yīng)用。3.4 歸納思想歸納思想也是解決數(shù)列問題的重要思想之一，是從特殊到一般的思維方法。通過分析有關(guān)數(shù)據(jù)和資料來建立數(shù)學模型，進而探索并發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題中蘊含的規(guī)律。通過從特殊到一般的推理（即歸納）過程在解決數(shù)列問題中表現(xiàn)的尤為突出。例9 在數(shù)列中，其中，（I）求數(shù)列的通項公式。（2007年天津卷）分析解答：由已知計算得：，同理，由此猜想出數(shù)列的通項公式為。以下用數(shù)學歸納法證明：（1）當n=1時，等式成立。（2）假設(shè)當n=k時等式成立，即，那么，也就是說，當n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）和（2）可

38、知，等式對任何都成立。評注：本例在上一章中提到過，是一階遞推數(shù)列，也可以通過等號兩邊同時除以之后得到式子：，再令進行解答。例10 在數(shù)列與中，數(shù)列的前n項和滿足，為與的等比中項，.(I)求的值；（II）求數(shù)列與的通項公式。（2008年天津卷）分析解答：(I)由題設(shè)有，及，進一步可得，猜想.先證，當n=1時，等式成立.當時用數(shù)學歸納法證明如下：（1）當n=2時，等式成立.（2）假設(shè)當n=k時等式成立，即，由題設(shè)，.,.的兩邊分別減去的兩邊，整理得，從而，這就是說，當n=k+1時等式也成立.根據(jù)（1）和（2）可知等式對任何的都成立.綜上所述，等式對任何的都成立.再用數(shù)學歸納法證明。（1）當n=1時

39、，等式成立。（2）假設(shè)當n=k時等式成立，即，那么，這就是說當n=k+1時等式成立。根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何的都成立。評注：遇到不能直接得到數(shù)列通項公式時，可以使用數(shù)學歸納法得到通項，關(guān)鍵是在證明過程中合理巧妙地運用已知條件中的關(guān)系式。例11 已知數(shù)列滿足。（I）猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。（2009年陜西卷）分析解答：由及得，由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列，下面用數(shù)學歸納法證明：（1）當n=1時，已證命題成立。（2）假設(shè)當n=k時命題成立，即，易知，那么有，即，也就是說當n=k+1時命題成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立。評注：本例是通過數(shù)學歸納法來證明數(shù)列的性質(zhì)，經(jīng)歷了計算、觀察

40、、歸納、猜想以及證明等幾個過程，體現(xiàn)了歸納思想在解決數(shù)列問題中的重要性。例12 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表。從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第一行，第2此全行的數(shù)都為1的是第三行，第n次全行的數(shù)都為1的是第_行；第61行中1的個數(shù)是_。(2007年湖南卷)分析解答：第1行，全是1，第1次；第3行，全是1，第2次；第7行，全是1，第3次，猜想第n次出現(xiàn)1是第行，由前面的猜想知n=6時，即第6次出現(xiàn)全是1時是第63行。，第61行中，共有64個數(shù)，則第61行中0的個數(shù)是，則1的個數(shù)為32個。評注：數(shù)列圖形題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)在選擇填空題中，考查學生觀察、猜

41、想和歸納的思想，本例要求學生注重觀察圖形和出現(xiàn)1、0的規(guī)律，在總結(jié)規(guī)律的基礎(chǔ)上進行解答。3.5 分類討論思想 分類討論思想是根據(jù)問題的實際需要按一定標準將所研究的對象分成若干種不同的情況，把復雜的問題分解成若干個小問題并逐一解決的思想方法。分類討論能使問題變得簡單、清晰、明朗。在解決數(shù)列問題時，分類討論的思想尤為重要，包括對特殊數(shù)列的通項公式和前n項和的討論。如由求，要對n=1和n1討論；在等比數(shù)列求和時，若公比q沒有明確給出，需要分和討論；在數(shù)列求和中有時需要進行奇偶分析討論,有些數(shù)列的通項公式是分段表示，解題過程需要討論；在數(shù)列解題中有時根據(jù)過程需要進行討論例13 已知數(shù)列和滿足：，其中為

42、實數(shù)，n為正整數(shù)。（II）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論。（2008年湖北卷）分析解答：因為，即得，又，所以當時，此時不是等比數(shù)列；當時，由上可知，所以。故當時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列。評注：等比數(shù)列中，因此在本例中要討論的取值情況來判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。例14 （I）設(shè)是各項均不為零的項等差數(shù)列，且公差。若將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列（按原來順序）是等比數(shù)列，（i）當n=4時，求的數(shù)值；（ii)求n的所有可能值。（2008年江蘇卷）分析解答：首先證明一個“基本事實”：一個等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項成等比數(shù)列，則這個數(shù)列的公差。事實上，設(shè)這個數(shù)列中的連續(xù)三項成等比數(shù)列，則

43、，由此得。（i）當n=4時，由于數(shù)列的公差，故由“基本事實”推知，刪去的項只可能為或。若刪去，則由成等比數(shù)列，得，因，故由上式得，即，此時數(shù)列為，滿足題設(shè)。若刪去，則由成等比數(shù)列，得，因，故由上式得，即，此時數(shù)列為滿足題設(shè)。綜上所述，的值為-4或1.（ii）若，則從滿足題設(shè)的數(shù)列中刪去一項后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項，從而這三項既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本事實”知，數(shù)列的公差必為0，這與題設(shè)矛盾。所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項數(shù)。又因題設(shè)，故n=4或5.當n=4時，由（i）中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列。當n=5時，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列，則由“基本事實”知刪去的項只能是，從而成等比數(shù)列，

44、故有：，分別化簡上述兩個等式，得及，故，矛盾。因此，不存在滿足題設(shè)的項數(shù)為5的等差數(shù)列。綜上所述n只能為4.評注：本例考查學生的等差、等比數(shù)列的相關(guān)概念和性質(zhì)，以及運用分類討論的思想進行探索、分析論證的能力。在解題過程中通過對n的取值及刪去項的討論來判斷此時的數(shù)列是否滿足題意。例15 在數(shù)列與中，數(shù)列的前n項和滿足，為與的等比中項，.(I)求的值；（II）求數(shù)列與的通項公式；（III）設(shè)。證明。（2008年天津卷）分析解答：在例10中通過數(shù)學歸納法得到了和的通項公式，（III）由得到當時，注意到，故。當時，當時，當時，所以有從而時有總之，當時有，即。評注：本例在卷中壓軸，在求出兩個數(shù)列通項公式

45、后，第三小題中的是這兩個數(shù)列以某種形式結(jié)合成一列特殊數(shù)列后進行求和。由于表達式的特殊性，要求對n分四類進行討論。3.6 化歸與轉(zhuǎn)化思想在處理數(shù)列問題時，常常將待解決的問題通過轉(zhuǎn)化化歸成為一類我們熟悉的問題來解決。特別是解決等差（等比）數(shù)列問題，都可以歸結(jié)為探究首項和公差（比）問題；非等差、等比數(shù)列的問題常通過構(gòu)造輔助數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求解；有些數(shù)列的求和問題、應(yīng)用題通常也會轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來解決。通過學習兩個基本數(shù)列，從而在化歸與轉(zhuǎn)化過程中掌握更多的數(shù)列，這是數(shù)列學習的隱性目標。例16 等差數(shù)列的前n項和為，。（I）求數(shù)列的通項與前n項和；（II）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項都

46、不可能成為等比數(shù)列。（2007年福建卷）分析解答：（I）由已知得，所以d=2，故。（II）由（I）得。假設(shè)數(shù)列中存在三項（p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則，即，所以，因為，所以，即，與矛盾。所以數(shù)列中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列。評注：本例考查化歸的數(shù)學思想方法，化未知為已知，假設(shè)題設(shè)成立的前提下來導出矛盾，進而得出結(jié)論。在無法直接證明結(jié)論時，先假設(shè)數(shù)列中的不同的三項能成為等比數(shù)列，此時將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的等比數(shù)列題，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)導出矛盾，化繁為簡，化難為易。例17 在數(shù)列中，。（I）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（II）求數(shù)列的前n項和。(2009年全國卷)分析解答：（I）由已知得，且，即

47、，從而疊加得，又，故所求通項公式。（II）由（I）知，令，則，于是，又，所以。評注：本例第1小題通過將已知的等式進行轉(zhuǎn)化，得到的一個遞推關(guān)系式，從而為求的通項公式服務(wù)。在第2小題中，通過求進而求，在求時用到了“錯位相減法”，化繁為簡，方便計算。例18 數(shù)列的前n項和為，若，則等于_。（2007年福建卷）分析解答：因為，所以。評注：本例通過“裂項相消法”話難為易。例19 已知曲線，從點向曲線引斜率為的切線，切點為。（I）求數(shù)列與的通項公式。（2009年廣東卷）分析解答：（I）直線的方程為，.代入曲線的方程得：，.因為與相切，則方程有等根，所以解得，。評注：本例要求的是數(shù)列與的通項公式，由已知條件

48、將其轉(zhuǎn)化為求兩條曲線與的切點坐標，進而從相切的特殊關(guān)系出發(fā)，又轉(zhuǎn)化為通過解方程得到切點橫坐標。數(shù)列、曲線的切線與方程相結(jié)合，一步步轉(zhuǎn)化，一步步化難。4 復習建議數(shù)列是高中數(shù)學重點內(nèi)容之一，是初等數(shù)學與高等數(shù)學的重要銜接點，由于它既具有函數(shù)特征，又能構(gòu)成獨特的遞推關(guān)系，使得它既與高中數(shù)學其他部分的知識有著密切的聯(lián)系，又有自己鮮明的特點。而且具有內(nèi)容的豐富性、應(yīng)用的廣泛性和思想方法的多樣性，因此數(shù)列一直是高考考查的重點和熱點。高考對數(shù)列的考試要求包括：（1）理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，能根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項或證明其他一些性質(zhì)。（2）理解等

49、差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題。（3）理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題?？v觀各省近幾年高考數(shù)學試題，數(shù)列都占有相當重要的地位，填空題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等內(nèi)容，對基本的計算技能要求比較高，具有“小、巧、活、新”的特點，解答題屬于中高檔難度的題目，甚至是壓軸題具有綜合性強、變化多、難度較大特點，重點以等差數(shù)列和等比數(shù)列內(nèi)容為主，考查數(shù)列內(nèi)在的本質(zhì)的知識和推理能力，運算能力以及分析問題和解決問題的能力。以下就從復習的重點、熱點、疑點、難點四個方面說明針對數(shù)列的幾點復習建

50、議。一、重點等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識等差數(shù)列與等比數(shù)列是學生最先學習和熟悉的兩個基本數(shù)列，它們是一切數(shù)列問題的出發(fā)點和歸宿，其產(chǎn)生、演變與深化的過程中蘊藏著豐富的數(shù)學思想方法，復習過程中要重視其產(chǎn)生的過程。等差數(shù)列與等比數(shù)列包含5個基本量，在求通項公式及求和的時候“知三求二”是重要的思想方法，凡涉及等差或等比的數(shù)學問題，都可以轉(zhuǎn)化為首項與公差或公比之間的關(guān)系，最終解決問題。此方法也是方程思想的體現(xiàn)，除此之外，函數(shù)思想在解決等差等比數(shù)列中也應(yīng)用的非常廣泛。因此，在復習中可以通過加大等差、等比數(shù)列的概念以及通項公式、求和公式的回顧來加深對數(shù)列基礎(chǔ)知識的掌握，加深對函數(shù)方程思想的理解。2、 熱點

51、數(shù)列求和與求通項 在學習了等差、等比這兩個基本數(shù)列后，通過化歸與轉(zhuǎn)化讓學生認識到了更多類型的數(shù)列。數(shù)列求和與數(shù)列求通項在考試中最能體現(xiàn)學生對知識的應(yīng)用能力，于是求數(shù)列的通項和求和便成了高考數(shù)列的熱點。因此，在復習過程中要注意各種類型的數(shù)列以及它們的求和求通項方法。對于數(shù)列求和，等差、等比數(shù)列已經(jīng)有了相應(yīng)的公式，可以根據(jù)公式和已知條件直接得到。但是假如所給的數(shù)列不是以上兩個數(shù)列，則需要尋找間接求和的方法。一般來說，我們運用化歸與轉(zhuǎn)化思想，將未知化為已知是解題的原則。如果遇到通項公式為分式時，可以考慮使用“裂項相消法”；當數(shù)列為等差、等比數(shù)列相對應(yīng)的項的乘積時，可以使用“錯位相減法”。類似的，對于

52、求通項，最常見的便是運用公式來得到。假如無法直接寫出其通項公式，可以使用數(shù)學歸納法來證明。經(jīng)歷觀察、猜想、證明等幾個過程來確定其通項公式。當然，還有一種方法是觀察其拆分數(shù)列，運用疊加或迭代法來求通項?？傊?，在解數(shù)列求和與通項類型題時，觀察顯得尤為重要，選擇正確的方法可以做到事半功倍的效果。3、 疑點和項與通項之間的遞推關(guān)系在高考題中有一類很常見的題型，即根據(jù)所給的已知條件來求數(shù)列的通項公式，而所給的條件是關(guān)于的關(guān)系式。此類問題是學生學習的疑點，往往未能掌握解決此類問題的一般方法。除此之外，在運用公式的過程中，學生往往不重視n值的取值范圍的變化，使求解不夠嚴謹。針對以上兩個方面存在的問題進行復習

53、時，首先要讓學生掌握解決這類問題的一般思維方法，也就是對公式的合理應(yīng)用；另一方面，在解題時強調(diào)變換過程中n值得取值。4、 難點 高考中的數(shù)列問題，除了考查學生對數(shù)列本身知識的掌握程度之外，另一種形式便是結(jié)合函數(shù)或者不等式等其他內(nèi)容出現(xiàn)在最后一題。其中，尤其和不等式的結(jié)合最多最難，這部分的內(nèi)容出現(xiàn)在高考壓軸題中時，學生往往會感到害怕甚至無從下手。因此，在復習過程中更應(yīng)該對這部分內(nèi)容進行突破。不僅要牢固掌握數(shù)列知識，更要掌握不等式的解法。 總之，在復習數(shù)列過程中要突出兩條主線：基礎(chǔ)知識和思想方法要以等差數(shù)列、等比數(shù)列兩個主干知識為載體，以通項公式和求和公式為主渠道，用好數(shù)列中基本量的關(guān)系，靈活運用

54、等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，將最基本的解題方法訓練好，注重在兩個重要數(shù)列內(nèi)在的知識體系中挖潛，還數(shù)列的本來面目重視數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，以及方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用，通過分析典型例題和習題，加強數(shù)列與其他知識點結(jié)合的綜合性問題、探索性問題、應(yīng)用性問題的訓練，提高運算能力、轉(zhuǎn)化能力、探究能力、思辨能力以及分析問題與解決問題的能力，做到掌握重點，關(guān)注熱點，化解疑點，突破難點。參考文獻1 波利亞.涂泓,馮承天譯.怎樣解題M.上海：上?？萍冀逃霭嫔?2002.62 德A·恩格爾.舒五昌,馮志剛譯.解決問題的策略M.上海：上海教育出版社,2005.13 教育部.普通高中數(shù)學課程標準M.北京：人民教育出版

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