08章07節(jié)空間曲線(xiàn)及其方程(1)

1、第7節(jié)空間曲線(xiàn)及其方程7.1 空間曲線(xiàn)的方程1曲線(xiàn)的一般方程空間曲線(xiàn)可以看作是兩張曲面與的交線(xiàn)（圖7.1）設(shè)與的方程分別是與。曲線(xiàn)的充要條件是的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組(7.1)因此，(7.1)是曲線(xiàn)的方程，稱(chēng)為曲線(xiàn)的一般方程例如表示柱面與平面的交線(xiàn)（圖7.2）圖7.2圖7.1z【例7.1】以下方程分別表示怎樣的曲線(xiàn)？(1) (2) .解 (1)方程組 可化為,其中第一個(gè)方程表示中心在原點(diǎn)，半徑為的上半球面；第二個(gè)方程表示母線(xiàn)平行于軸，準(zhǔn)線(xiàn)是面上以點(diǎn)為中心，半徑為圓周的圓柱面，方程組表示這兩個(gè)曲面的交線(xiàn)(圖7.3) 圖7.3 圖7.4(2) 方程組中第一個(gè)方程表示頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),開(kāi)口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面；第

2、二個(gè)方程表示母線(xiàn)平行于軸，準(zhǔn)線(xiàn)是面上以點(diǎn)(0,2)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)的拋物柱面，方程組表示這兩個(gè)曲面的交線(xiàn)(圖7.4)2曲線(xiàn)的參數(shù)方程空間曲線(xiàn)也可以用參數(shù)方程來(lái)表示。把曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示成參數(shù)的函數(shù), (7.2)方程組(7.2)叫做曲線(xiàn)的參數(shù)方程 曲線(xiàn)的參數(shù)方程(7.2)的意思是：當(dāng)參數(shù)跑遍時(shí)，動(dòng)點(diǎn)正好跑遍曲線(xiàn)。當(dāng)給定時(shí)，由(7.2)式就得到曲線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)?！纠?.2】如果空間一點(diǎn)在圓柱面上以角速率繞軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線(xiàn)速率沿平行于軸的正方向上升，其中，都是常數(shù)，點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)叫螺旋線(xiàn)，試建立其參數(shù)方程解 取時(shí)間為參數(shù),設(shè)當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與軸上的點(diǎn)重合，經(jīng)過(guò)時(shí)間，動(dòng)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)到記在面上的投影

3、為圖7.5由于動(dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過(guò)時(shí)間，從而.又由于動(dòng)點(diǎn)同時(shí)以線(xiàn)速度沿平行于軸正方向上升，所以因此，螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程為.令，則方程形式可化為，（為參數(shù)）螺旋線(xiàn)是一種常見(jiàn)的曲線(xiàn).比如螺絲釘?shù)穆萁z曲線(xiàn)就是螺旋線(xiàn). 與平面曲線(xiàn)情形類(lèi)似，參數(shù)方程消除參數(shù)t就得到一般方程；空間曲線(xiàn)的一般方程也可以化為參數(shù)方程下面用例子說(shuō)明曲線(xiàn)一般方程化為參數(shù)方程的方法?！纠?.3】將空間曲線(xiàn) 表示成參數(shù)方程解 由方程組消去得,變形得.由于在此橢圓柱面上，故的方程可用如下形式來(lái)表示.如果令，由橢圓柱面方程,有，而,則曲線(xiàn)又可表示成為.（如果以作為參數(shù)，即令 ,則,從而得到曲線(xiàn)的參數(shù)方程,且參數(shù)的取值范圍為

4、 ,即）也可以把空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為一般方程, (7.2) (7.2)消除參數(shù)，例如，從(7.2)的第一個(gè)等式解出，再代入其他兩個(gè)等式，就得到與(7.2)等效的一般方程7.2空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影以空間曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn),母線(xiàn)平行于軸的柱面叫做對(duì)面的投影柱面. 投影柱面與面的交線(xiàn)叫做在面的投影曲線(xiàn).(7.1)設(shè)空間曲線(xiàn)的一般方程由(7.1)給出。方程組(7.1)消去變量之后得到方程. (7.3)(7.1)與或是等效的，都是的方程。(7.3)是準(zhǔn)線(xiàn)為，母線(xiàn)平行于軸的柱面，從而是對(duì)面的投影柱面.故，在面的投影曲線(xiàn)是 (7.4)類(lèi)似地，消去方程組(7.1)中的變量,得,再與聯(lián)立就得到包含在面上的投影曲線(xiàn)

5、的曲線(xiàn)方程：.消去方程組(7.1)中的變量,得,再與聯(lián)立就得到包含在面上的投影曲線(xiàn)的曲線(xiàn)方程：.【例7.4】求曲線(xiàn)在面和面上的投影曲線(xiàn)方程圖7.6解 先求包含曲線(xiàn)且母線(xiàn)平行于軸的柱面，從方程組中消去，得，將其代入第一個(gè)方程得到,這是曲線(xiàn)對(duì)面的投影柱面的方程從而得曲線(xiàn)在面上的投影曲線(xiàn),為一橢圓:.再由所給方程組消去.將兩方程相減,得到曲線(xiàn)對(duì)面的投影柱面:,從而得曲線(xiàn)在面上的投影曲線(xiàn):,（從原方程組的第一個(gè)方程看出）它表示面上的一條直線(xiàn)段.如圖7.6所示思考題：1試求例7.4中曲線(xiàn)在面上的投影曲線(xiàn)有時(shí)，我們需要確定一個(gè)空間立體（或空間曲面）在坐標(biāo)面上的投影，一般來(lái)說(shuō)，這種投影往往是一個(gè)平面區(qū)域，我

6、們稱(chēng)它為空間立體（或空間曲面）在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域利用投影柱面與投影曲線(xiàn)可以確定投影區(qū)域.圖7.7【例7.5】求上半球面和錐面 所圍成的空間立體在面上的投影區(qū)域解 的邊界（抓住邊界！）是上半球面與錐面的交線(xiàn):在面上的投影。由方程組消去變量，有.這是母線(xiàn)平行于軸的投影柱面，在面的投影曲線(xiàn)為:,這是一個(gè)圓，它所包圍的區(qū)域?yàn)?就是立體在面上的投影區(qū)域，如圖7.7所示【例7.6】作出由不等式所確定的區(qū)域及其在面及上的投影區(qū)域的簡(jiǎn)圖.解 畫(huà)出的邊界曲面：，就可圍得。方程表示過(guò)點(diǎn)和,且平行于軸的平面（因此就表示以此平面為邊界且包含原點(diǎn)的那個(gè)半空間）；方程表示以軸為軸，半徑為1的圓柱面（故表示這個(gè)圓柱面及其

7、內(nèi)部）圓柱面與平面的交線(xiàn)分別為：圖7.8圓弧,直線(xiàn)段,即,橢圓弧.平面與平面的交線(xiàn)分別為直線(xiàn)段；直線(xiàn)段，畫(huà)出這五條交線(xiàn)，就得到區(qū)域的簡(jiǎn)圖(圖7.8)交線(xiàn),在面上的投影分別為：軸上直線(xiàn)段，軸上直線(xiàn)段，面上直線(xiàn)段由,所圍成的區(qū)域即在面上的投影區(qū)域，類(lèi)似可求得在上的投影區(qū)域習(xí)題87A類(lèi)1畫(huà)出下列曲線(xiàn)在第一卦限內(nèi)的圖形：*(1) *(2) (3) (4) 2把下列曲線(xiàn)方程轉(zhuǎn)換成母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面的交線(xiàn)方程：(1) (2) 解 （2）消去得。消去得。所要求的曲線(xiàn)方程：。3求下列曲線(xiàn)在面上的投影曲線(xiàn)的方程：(1) ; (2) .解 （2）消去得。所要求投影曲線(xiàn)方程：。4求曲線(xiàn)在面上的投影曲線(xiàn)的方程，并指出原曲線(xiàn)是什么曲線(xiàn)？5將下列曲線(xiàn)的一般方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程：(1) *(2) *(3) 解 （2）由，令。在曲線(xiàn)上，。所要求的參數(shù)方程：。6求下列曲面所圍成的立體在面上的投影：(1), (2) .B類(lèi)1求空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程.*2已知空間曲線(xiàn) .(1) 求證它在一個(gè)平面上