08章07節(jié)空間曲線及其方程(1)

1、第7節(jié)空間曲線及其方程7.1 空間曲線的方程1曲線的一般方程空間曲線可以看作是兩張曲面與的交線（圖7.1）設(shè)與的方程分別是與。曲線的充要條件是的坐標(biāo)滿足方程組(7.1)因此，(7.1)是曲線的方程，稱為曲線的一般方程例如表示柱面與平面的交線（圖7.2）圖7.2圖7.1z【例7.1】以下方程分別表示怎樣的曲線？(1) (2) .解 (1)方程組 可化為,其中第一個方程表示中心在原點，半徑為的上半球面；第二個方程表示母線平行于軸，準(zhǔn)線是面上以點為中心，半徑為圓周的圓柱面，方程組表示這兩個曲面的交線(圖7.3) 圖7.3 圖7.4(2) 方程組中第一個方程表示頂點在坐標(biāo)原點,開口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面；第

2、二個方程表示母線平行于軸，準(zhǔn)線是面上以點(0,2)為頂點，開口向下的拋物線的拋物柱面，方程組表示這兩個曲面的交線(圖7.4)2曲線的參數(shù)方程空間曲線也可以用參數(shù)方程來表示。把曲線上的動點的坐標(biāo)分別表示成參數(shù)的函數(shù), (7.2)方程組(7.2)叫做曲線的參數(shù)方程 曲線的參數(shù)方程(7.2)的意思是：當(dāng)參數(shù)跑遍時，動點正好跑遍曲線。當(dāng)給定時，由(7.2)式就得到曲線上的一個點?！纠?.2】如果空間一點在圓柱面上以角速率繞軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速率沿平行于軸的正方向上升，其中，都是常數(shù)，點的軌跡曲線叫螺旋線，試建立其參數(shù)方程解 取時間為參數(shù),設(shè)當(dāng)時，動點與軸上的點重合，經(jīng)過時間，動點由運動到記在面上的投影

3、為圖7.5由于動點在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過時間，從而.又由于動點同時以線速度沿平行于軸正方向上升，所以因此，螺旋線的參數(shù)方程為.令，則方程形式可化為，（為參數(shù)）螺旋線是一種常見的曲線.比如螺絲釘?shù)穆萁z曲線就是螺旋線. 與平面曲線情形類似，參數(shù)方程消除參數(shù)t就得到一般方程；空間曲線的一般方程也可以化為參數(shù)方程下面用例子說明曲線一般方程化為參數(shù)方程的方法?！纠?.3】將空間曲線 表示成參數(shù)方程解 由方程組消去得,變形得.由于在此橢圓柱面上，故的方程可用如下形式來表示.如果令，由橢圓柱面方程,有，而,則曲線又可表示成為.（如果以作為參數(shù)，即令 ,則,從而得到曲線的參數(shù)方程,且參數(shù)的取值范圍為

4、 ,即）也可以把空間曲線的參數(shù)方程化為一般方程, (7.2) (7.2)消除參數(shù)，例如，從(7.2)的第一個等式解出，再代入其他兩個等式，就得到與(7.2)等效的一般方程7.2空間曲線在坐標(biāo)面上的投影以空間曲線為準(zhǔn)線,母線平行于軸的柱面叫做對面的投影柱面. 投影柱面與面的交線叫做在面的投影曲線.(7.1)設(shè)空間曲線的一般方程由(7.1)給出。方程組(7.1)消去變量之后得到方程. (7.3)(7.1)與或是等效的，都是的方程。(7.3)是準(zhǔn)線為，母線平行于軸的柱面，從而是對面的投影柱面.故，在面的投影曲線是 (7.4)類似地，消去方程組(7.1)中的變量,得,再與聯(lián)立就得到包含在面上的投影曲線

5、的曲線方程：.消去方程組(7.1)中的變量,得,再與聯(lián)立就得到包含在面上的投影曲線的曲線方程：.【例7.4】求曲線在面和面上的投影曲線方程圖7.6解 先求包含曲線且母線平行于軸的柱面，從方程組中消去，得，將其代入第一個方程得到,這是曲線對面的投影柱面的方程從而得曲線在面上的投影曲線,為一橢圓:.再由所給方程組消去.將兩方程相減,得到曲線對面的投影柱面:,從而得曲線在面上的投影曲線:,（從原方程組的第一個方程看出）它表示面上的一條直線段.如圖7.6所示思考題：1試求例7.4中曲線在面上的投影曲線有時，我們需要確定一個空間立體（或空間曲面）在坐標(biāo)面上的投影，一般來說，這種投影往往是一個平面區(qū)域，我

6、們稱它為空間立體（或空間曲面）在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域利用投影柱面與投影曲線可以確定投影區(qū)域.圖7.7【例7.5】求上半球面和錐面 所圍成的空間立體在面上的投影區(qū)域解 的邊界（抓住邊界?。┦巧习肭蛎媾c錐面的交線:在面上的投影。由方程組消去變量，有.這是母線平行于軸的投影柱面，在面的投影曲線為:,這是一個圓，它所包圍的區(qū)域為,就是立體在面上的投影區(qū)域，如圖7.7所示【例7.6】作出由不等式所確定的區(qū)域及其在面及上的投影區(qū)域的簡圖.解 畫出的邊界曲面：，就可圍得。方程表示過點和,且平行于軸的平面（因此就表示以此平面為邊界且包含原點的那個半空間）；方程表示以軸為軸，半徑為1的圓柱面（故表示這個圓柱面及其

7、內(nèi)部）圓柱面與平面的交線分別為：圖7.8圓弧,直線段,即,橢圓弧.平面與平面的交線分別為直線段；直線段，畫出這五條交線，就得到區(qū)域的簡圖(圖7.8)交線,在面上的投影分別為：軸上直線段，軸上直線段，面上直線段由,所圍成的區(qū)域即在面上的投影區(qū)域，類似可求得在上的投影區(qū)域習(xí)題87A類1畫出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形：*(1) *(2) (3) (4) 2把下列曲線方程轉(zhuǎn)換成母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的交線方程：(1) (2) 解 （2）消去得。消去得。所要求的曲線方程：。3求下列曲線在面上的投影曲線的方程：(1) ; (2) .解 （2）消去得。所要求投影曲線方程：。4求曲線在面上的投影曲線的方程，并指出原曲線是什么曲線？5將下列曲線的一般方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程：(1) *(2) *(3) 解 （2）由，令。在曲線上，。所要求的參數(shù)方程：。6求下列曲面所圍成的立體在面上的投影：(1), (2) .B類1求空間曲線的參數(shù)方程.*2已知空間曲線 .(1) 求證它在一個平面上