洛必達法則與恒成立問題

1、洛必達法則與恒成立問題洛必達(L' Hopital)法則洛必達法則在一定情況下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法，對于處理一類含參數(shù)不 等式恒成立的導數(shù)問題有一定的作用。洛必達法則1:設lim fx xo0, lim g x 0，x xof x , g x 存在，且 g x o ,f xlim xx xo g x存在,第8頁共4頁 f x則 lim a x lim x xo g x x xo洛必達法則2:設lim fx xo，lim g xx xf x ,g x 存在，且 g x o ,lxmf4 存在，則limx xolimx xo。,故f x洛必達法則的應用：右k x

2、 x0，令pg xf xf x f xp lim 77 xlim TV 呵 TT xxxogx x xo g x x xo g x f x，八，f x右k x X0恒成立,令 p lim g xx"xo g xf xf x f xp lim tv lim tv lim TV xx xo g x x xo g x x xo g xlim x X0 ,此時 f xoo, g xox xo g xf xxo ,故當k p時k x xo恒成立。g xx xo ,此時 f xoo,g xoo,故f xxo ,故當k p時k x xo恒成立。g xf xf xf x2 p lim 77 xlim

3、Jm ”x八 一fxfx.j,、.入不能再求導；-LJLfLJL出現(xiàn)繁分式一定要化簡。g x g x例1： (2oio新課標理改)設函數(shù)f x ex 1 x ax2xo求導直到分母為非零數(shù)；分母不為零后,o對x o,恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。分析：f x ex 1 x ax2 o a的取值范圍。解：由題意得：f x ex 1 x ax2e 1 xo .e1 x o ,屬于。類型，故可以利用洛必達法則求出ax2o_x x , x .2e1x 八e1x1口o e 1 x ax a 2-,令 p m2,根據(jù)洛必達法則,x x xe 1 x e 1 e 1 w c 1p 1mximr !沖了 3 a

4、 2由于在高考中洛必達法則通常比較難表達清楚，故可以采用以下解法，如下:求導得：f x ex 1 2ax, f x ex 2a,f o eo 1 o a o2 o, f oo, f o 1 2a ,當 1 2a 。時，xoo,，使 f Xoo。故當x o, xo時，f x o, f X為單調(diào)減區(qū)間，由于f oo,故當Xo, Xo 時，f Xoo,即f x在區(qū)間x o,Xo單調(diào)遞減，由于 f o o,故在區(qū)間(I)討論函數(shù)f (x)極值點的個數(shù)，并說明理由； (n)若？x>0, f (x) >0成立，求a的取值范圍.解：(I)函數(shù)f1x 1(x) =ln2ax a(1)(2)a=0

5、時，g (x)(x+1) +a (x2 - x),其中 aC R, x C (- 1, +川.2ax2 ax a 1 人2令 g (x) =2ax +ax- a+1 .x 1=1 ,此時f'(x) >0,函數(shù)f (x)在(-1, +8)上單調(diào)遞增，無極值點.a>0 時，A=a2- 8a (1-a) =a (9a-8).當8一時，A&Q g (x) >Q f (x) >Q函數(shù)f (x)在(-1, +8)上單倜遞增，無極值點. 9當時，。，設方程2ax2+ax- a+1=0的兩個實數(shù)根分別為 x1, x2, x1vx2.1, x1)時，g (x) >0

6、, f'(x) >0,函數(shù) f (x)單調(diào)遞增；x2)時，g (x) < 0, f '(x) V 0,函數(shù) f (x)單調(diào)遞減；+°°)時，g (x) >0, f'(x) >0,函數(shù)f (x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)f (x)有兩個極值點.(3)當 av 0 時，>。.由 g ( 1) =1 >0,可得 x1< 1<x2.當 xC ( - 1, x2)時，g (x) >0, f'(x) >0,函數(shù) f (x)單調(diào)遞增;當 xC ( x2, +oo)時，g (x)< 0, f '

7、; (x) < 0,函數(shù)f (x)單調(diào)遞減.因此函數(shù)f (x)有一個極值點.綜上所述：當a<0時，函數(shù)f (x)有一個極值點；當 0 a 8時，函數(shù)f9(x)無極值點；當 a-時,9函數(shù)f (x)有兩個極值點.(n)分析：當x0,1,x20,故aln x 1屬于-類型,0a limx 0ln x 11lim 1x 0 2x 1In x 10,x1時,Inlimx 0 2xx 1x 1,2,x0,故aln x 1綜上,0,1解答:2ax0時，令h xIn xx, h由于ax210時，即01,此時f成立，故當1間， 綜上,f x在區(qū)間0時，即a0,1,limxln單調(diào)遞增,Xo 0,f

8、 00 ,與題設矛盾。0,1 ?？偨Y：有的時候需要放縮，常見的有ex1,2,x0,故aIn x時,為一類型,利用洛必達法則,ln x2 x xlimx2xlimx2x 1 x 10,a021 2a 00 1,由二次函數(shù)性質(zhì)可知與，使fx01,2ax0。0矛盾，故舍去;2ax2 a axx 10恒成立；故當x 0,x0時，fa 1. 0恒x 0 , f x為單調(diào)減區(qū)ln x 1 ,參考冥級數(shù)展開式應用。冥級數(shù)展開式與放縮法x ,e的麥克方林(Maclaurin )展開式：當 0 x 1時，有 1 x ex 1 x將式中x用匚替換，可得上1 x1 x綜上可推出三個加強型不等式：1 x中等號當僅當

9、x 0時成立。x2xn -，即 In 11 x1 x .In In 1 x11 x 1 xx x In1 xIn 1 x1 x例3: (2010?全國卷n)設函數(shù)f (x) =1 e x(I)證明：當x> 1 時，f (x)；(n)設當 xno時，f (x)J,求a的取值范圍.分析:(i)由于 ex 1 x1,，即11 x(等號當僅當x 0時成立)；(n)x f對xax 10,恒成立,顯然0,故x 0,即axax 1離變量可得x xxe e0時,屬于0型,利用洛必達法則,a Iimx 0xxeIim -x x 0 xexxexxex xxe 2exm0解：(I )當x>- 1時，要

10、證f (x)當且僅當ex> 1+x 令 g (x) =ex - x - 1,則 g' (x) =ex - 1當x>0時g' (x)g (x)在0, +8)是增函數(shù)，當xW(g'(x) WQ g (x)在(-8, 0是減函數(shù)于是g (x)在x=0處達到最小值，因而當xC R 時，g (x)>g (0)時,即 ex>1+x所以當x>- 1時,xf (x)故e x1 x,即 1 e x 1 1 xx 1x .(n)要使1 e 對xax 1x令 F x e x 1, F 0ax 10,恒成立，顯然1 ee0 1 0, Fax 10,即 ax 1 0

11、 ,故 ae x, F 000,ax2aF x2 e 0, x0時，f x 0 ,與題設矛盾。當 1 2a 0 時，F(xiàn) x 0對 x 0, 成立，同理可得，F(xiàn) x在區(qū)間x 0, F 01 2a；ax 1當 1 2a 0 時，x00,，使 F x00。故當 x 0, x0 時，F(xiàn) x00, f x為單調(diào)減區(qū)間，由于F 00,故當x0, x0 時，F(xiàn) x00,即f x在區(qū)間x 0,x0單調(diào)遞減，由于F 00,故在區(qū)間恒成立，故F x在區(qū)間x 0, 單調(diào)遞增，故F x 0恒成立。單調(diào)遞增，故F x 0恒例4:、一» ji y - 1 j(2015/昌建)已知函數(shù) f (x) =lnx_(I

12、)(m)求函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間; 確定實數(shù)k的所有可能取值,2(n)證明；當 x>1 時，f (x) vx1；使得存在 x0>1,當 xC 11, x0)時，恒有 f (x) > k (x-1).分析：(I )求導數(shù)，利用導數(shù)大于0,可求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(0, 1遍，、x 1 2(n ) f x ln x 2(出)利用洛必達法則，存在x01,e 使 x1,Xox 1 2ln x 2-恒成立，當x 1x 1時，為9型，故k limIn xxm1例5: (2007近寧)已知函數(shù)(I)證明：當t<2跖寸, (II)對于給定的閉區(qū)間a,(III )證明：f 分析

13、:為2exf (x) =2t2- 2 (ex+x) t+e2x+x2+1,g (x)在R上是增函數(shù)；b,試說明存在實數(shù) k,當t>k時,(I)由題設易得g (x)=e2x- t (ex- 1) +x, g' (x) =2e2x(x)(x)-tex+12J2,當僅當丸(x).在閉區(qū)間a, b上是減函數(shù);x 1.0恒成立.即2e t,又因 eex y2時等號成立。由此可知， t 2，2時，g (x)在R上是增函數(shù).2(II)因為g'(x) < 0是g (x)為減函數(shù)的充分條件， 所以只要找到實數(shù) k,使得t>k時g'(x) =2e <0,即t>2ex+e x在閉區(qū)間a, b上成立即可.因為 y=2ex+e x在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，故在閉區(qū)間 上有最大值，設其為 k,于是在t>k時，g' (x) < 0在閉區(qū)間a, b上恒成立，即g (x)在閉區(qū)間 為減函數(shù).2x-tex+1a, ba, b上(III )由于 f xe2x2extt2x2 2xtt2不等式)b22t 1,故可以利用柯西不等式2,利用不等式(基本即可得2x e2extt22xt例6: (2011?新課標理)已知函數(shù)f (x)-3=0. ( I )求 a、b 的值；(n )如果當"詈曲線y=fx>0,且x力時，f