知識講解直接證明與間接證明(基礎(chǔ))

1、直接證明與間接證明編稿：趙雷 審稿：李霞 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握用綜合法證題的思路和特點(diǎn)。2 .掌握用分析法證題的思路和敘述方式.3 .掌握間接證明中的常用方法 一一反證法的思維過程和特點(diǎn). 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、綜合法證題1 .定義：一般地，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法2 .綜合法的的基本思路：執(zhí)因索果綜合法又叫 順推證法”或的因?qū)Чā彼怯梢阎呦蚯笞C，即從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步 的邏輯推理，最后導(dǎo)出待證結(jié)論或需求的問題.綜合法這種由因?qū)Ч淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法

2、.3 .綜合法的思維框圖：用P表示已知條件，Qi(i=1,2,3,，n)為定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：Pn Q11T Q1 = Q21T |q2n Q31T .T 回=Q(已知)(逐步推導(dǎo)結(jié)論成立的必要條件)(結(jié)論)要點(diǎn)詮釋(1)從 已知"看 可知”，逐步推出 朱知”，由因?qū)Ч?，其逐步推理?shí)際上是尋找它的必要條件；(2)用綜合法證明不等式，證明步驟嚴(yán)謹(jǐn)，逐層遞進(jìn)，步步為營，條理清晰，形式簡潔，宜于表達(dá) 推理的思維軌跡；(3)因用綜合法證明命題 若A則D”的思考過程可表示為：一凡 G故要從A推理到D,由A推演出的中間結(jié)論未必唯一，如 B、B1、B2

3、等，可由B、B1、B2進(jìn)步推演出的中間結(jié)論則可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等.所以如何找到切入點(diǎn)”和有效的推理途徑是有效利用綜合法證明問題的瓶頸” .4.綜合法證明不等式時(shí)常用的不等式(1) a2+b2>2ab(當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取 "=#);一 a b (2) >Vab (a, bCR*,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取 =#);2(3) a2>Q |a| 才0(ab)2>&b a _ba>2 (a, b 同方)；+ < -2 (a, b異3)；a ba b(5)2212a, be R, a +b > (a +b), 2(6)不等

4、式的性質(zhì)定理對稱性:a> b= bv a。定理傳遞性:a b | -=- a c ° b c定理a b加法性質(zhì)：*=a+cb+c。c R推論a b| -a +c >b + d。c d定理a b乘法性質(zhì)：一ac . bc。c 0推論ac> bc °推論a b 0|- n N*定理a開萬性質(zhì)：n N*要點(diǎn)二、分析法證題1 .定義：一般地，從需要證明的命題出發(fā)， 分析使這個(gè)命題成立的充分條件,逐步尋找使命題成立的充分條件,直至所尋求的充分條件顯然成立（已知條件、定理、定義、公理等）,或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種證明方法，叫做分析法2 .分析法的

5、基本思路：執(zhí)果索因分析法又叫 逆推證法”或 執(zhí)果索因法”它是從要證明的結(jié)論出發(fā),分析使之成立的條件，即尋求使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定 義、公理等）為止.分析法這種執(zhí)果索因的證明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法。3 .分析法的思維框圖:用R（i =1,2,3J|）表示已知條件和已有的定義、公理、公式、定理等,Q所要證明的結(jié)論，則用分析法證明可用框圖表示為:QuRT RuP2T P2UP3T T得到一個(gè)明顯成立的條件(結(jié)論)(逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件)(已知)4 .分析法的格式：要證，只需證 ，只需證 ，因?yàn)槌闪ⅲ?/p>

6、以原不等式得證。要點(diǎn)詮釋：(1)分析法是綜合法的逆過程，即從 朱知”看需知"，執(zhí)果索因，逐步靠攏 已知”，其逐步推理，實(shí) 際上是尋找它的充分條件.(2)由于分析法是逆推證明，故在利用分析法證明時(shí)應(yīng)注意邏輯性與規(guī)范性，即分析法有獨(dú)特的表 述.5 .綜合法與分析法的橫向聯(lián)系(1)綜合法是把整個(gè)不等式看做一個(gè)整體，通過對欲證不等式的分析、觀察，選擇恰當(dāng)不等式作為證題 的出發(fā)點(diǎn)，其難點(diǎn)在于到底從哪個(gè)不等式出發(fā)合適，這就要求我們不僅要熟悉、正確運(yùn)用作為定理性質(zhì)的 不等式，還要注意這些不等式進(jìn)行恰當(dāng)變形后的利用.分析法的優(yōu)點(diǎn)是利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，思路自然，易于掌握，而綜合法的優(yōu)點(diǎn)是宜于表述

7、， 條理清晰，形式簡潔.我們在證明不等式時(shí)，常用分析法尋找解題思路，即從結(jié)論出發(fā)，逐步縮小范圍，進(jìn)而確定我們所 需要的 因”，再用綜合法有條理地表述證題過程.分析法一般用于綜合法難以實(shí)施的時(shí)候.(2)有些不等式的證明，需要把綜合法和分析法聯(lián)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P.若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立，這種邊分析邊綜合的證明方法，稱之為分析綜合法，或稱兩頭擠法分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系，分析的終點(diǎn) 是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn).命題 若P則Q”的

8、推演過程可表示為:要點(diǎn)三、反證法證題間接證明不是從正面確定命題的真實(shí)性，而是證明它的反面為假，或改證它的等價(jià)命題為真，間接地達(dá)到目的，反證法是間接證明的一種基本方法.1 .反證法定義：一般地，首先假設(shè)要證明的命題結(jié)論不正確，即結(jié)論的反面成立， 然后利用公理，已知的定義、定理,命題的條件逐步分析，得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實(shí)等矛盾的結(jié)論，以此說明 假設(shè)的結(jié)論不成立，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法2 .反證法的基本思路： 假設(shè)一一矛盾一一肯定分清命題的條件和結(jié)論.做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè).由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果.斷定產(chǎn)生矛

9、盾結(jié)果的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明原命題 為真.3 .反證法的格式：用反證法證明命題若p則q”時(shí)，它的全部過程和邏輯根據(jù)可以表示如下：肯定條件p, 否定結(jié)論q“若p則q”為五命題要點(diǎn)詮釋：(1)反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設(shè)要證的命題不成立，即結(jié)論的反面成立，在已知條件和限設(shè)”這個(gè)新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時(shí)假設(shè)等相矛盾的結(jié)論，從而判定結(jié)論的反面不能成立，即 證明了命題的結(jié)論-一定是正確的.(2)反證法的優(yōu)點(diǎn)：對原結(jié)論否定的假定的提出，相當(dāng)于增加了一個(gè)已知條件4 .反證法的一般步驟：(1)反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不

10、成立，假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)歸謬：由 反設(shè)”出發(fā)，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾一一與已知條件、已知的公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；(3)結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，產(chǎn)生矛盾的原因在于反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立.要點(diǎn)詮釋：(1)結(jié)論的反面即結(jié)論的否定，要特別注意：都是”的反面為 不都是”，即 至少有一個(gè)不是"，不是 都不是”；都有”的反面為 不都有"，即 至少有一個(gè)沒有”，不是 都沒有”；都不是”的反面是 部分是或全部是”，即 至少有一個(gè)是”，不是 都是”；都沒有”的反面為 部分有或全部有”，即 至少有一個(gè)有”，不是 都有”(2)歸謬的

11、主要類型：與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾(自相矛盾)；與定義、定理、公理、事實(shí)矛盾.5 .宜用反證法證明的題型： 要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；比如存在性問題、唯一性問題”等；如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形.比如帶有至少有一個(gè)”或至多有一個(gè)”等字樣的數(shù)學(xué)問題.要點(diǎn)詮釋：反證法體現(xiàn)出正難則反的思維策略(補(bǔ)集的思想)和以退為進(jìn)的思維策略，故在解決某些正面思考難度較大和探索型命題時(shí)，有獨(dú)特的效果.【典型例題】類型一、利用綜合法證明有關(guān)命題 123例 1.求證： 1十金一+一_一<2log519 lo

12、g319 log 219【思路點(diǎn)撥】綜合法常常變形不等式左邊，然后利用公式和性質(zhì)往右推。1斛 析】-log a b = ,，左 邊logb a二 log 5+21ogg 3+31ogg 2 = log1?5+logls 32+logie 23 =log19(5x32x23) =logy 360 .* 360 f * 361= 2,123 c二 2 .log519 log 319 log219【總結(jié)升華】利用綜合法時(shí)，從已知出發(fā)，進(jìn)行運(yùn)算和推理得到要證明的結(jié)論,本題待證不等式的左端是 3個(gè)數(shù)和的形式，右端是一常數(shù)的形式， 而左端3個(gè)分母的真數(shù)相同,1由此可聯(lián)想到公式，loga b = 轉(zhuǎn)化成能直

13、接利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡的形式logb a【變式1】設(shè)a、b是互不相等的正數(shù)，且 a+b=1 ,試用綜合法證明： -+- >4 . a b【答案】因?yàn)閍+b=1,【變式2已知a>0, b>0,試用綜合法證明：【答案】因?yàn)閎2+c2 2 bc, a >0 ,c2 a2) _ 4abc.所以 a(b2 c2) 2abc；又因?yàn)?c2 +b2 之2bc , b A0;所以 b(c2 +a2)之2abc.2222因止匕 a(b c ) b(c a ) - 4abc.例 2.已知數(shù)列an滿足a1=5, a2=5, an = an+6an4(n 之2).求證：Gn+2an)是等

14、比數(shù)列；【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等比數(shù)列的定義變形?！窘馕觥坑?4+1 =4+ 6an-1 , an+1 + 2an = 3(an + 2an-1) (n > 2)a1 = 5,a2= 5. . a2+ 2a1= 15故數(shù)列an+i+2an是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列【總結(jié)升華】本題從已知條件入手，分析數(shù)列間的相互關(guān)系，合理實(shí)現(xiàn)了數(shù)列間的轉(zhuǎn)化，從而使問題獲解，綜合法 是直接證明中最常用的證明方法。舉一反三：【變式】已知數(shù)列an中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+i=4an+2 (n=1, 2,)，ai=1。(1)設(shè)bn=an+i 2an (n=1, 2,)，求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列。(2)設(shè)

15、Cn =* (n=1, 2,)，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列。2【答案】(1) Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2,兩式相減，得 Sn+2 Sn+1=4an+1 4al ( n=1 , 2, 3,)，即 an+2=4an+1 4an ,變形住F an+2 2an+1 =2(a n+1 2an) obn=an+1-2an (n=1, 2,)，bn+1=2bn (n=1, 2,)。由此可知，數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列。由 S2=a1+a2=4a+2, a1=1,得 a2=5 , b1=a2-2研=3。故 bn=3 2n 1 °(2)Cn =* (n=1 ,2,)2n_an1an

16、_ an 1 12an _bn, , Cn 1Cn -2n12“一 2“ 1 一2n 1n-13將 bn=3 2n 1 代入，得 cn書-cn = (n=1, 2,)。43a131由此可知，數(shù)列Cn是公差d=N的等差數(shù)列，它的首項(xiàng) C1=g1=1，故cn=±n。42244例3.如圖，設(shè)在四面體 PABC中，NABC =90 , PA = PB = PC, D是AC的中點(diǎn).求證：PD垂直于AABC所在的平面【思路點(diǎn)撥】要證PD垂直于AABC所在的平面,只需在AABC所在的平面內(nèi)找到兩條相交直線與PD垂直.【解析】連 PD、 BD因?yàn)锽D是RSABC斜邊上的中線,所以 DA = DC =

17、 DB又因?yàn)镻A= PB= PC ,而PD是APAD、APBD、APCD的公共邊,所以 PAD三PBD三：PCD于是.PDA-/PDB =/PDC ,而 PDA =/PDC =90 ,因此 PDB =90：PD _L AC , PD _LBD由此可知PD垂直于 MBC所在的平面.【總結(jié)升華】利用綜合法證明立體幾何中線線、線面和面面關(guān)系的關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理。這是一例典型的綜合法證明.現(xiàn)將用綜合法證題的過程展現(xiàn)給大家，供參考：(1)由已知BD是RtAABC斜邊上的中線，推出 DA = DC=DB,記為P0 (已知)=P；(2)由DA = DC =DB和已知條件，推出三個(gè)三角形全等

18、，記為P1np2；(3)由三個(gè)三角形全等，推出 NPDA = /PDB=/PDC =90"記為P2 n P3 ；(4)由 ZPDA=ZPDB =/PDC =90 推出 PD _L 面ABC，記為旦=P4 (結(jié)論).這個(gè)證明步驟用符號表示就是 Po (已知)=P = P2= P3= P4 (結(jié)論) 舉一反三：【變式】如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PDL底 面 ABCD , PD=DC , E 是 PC 的中點(diǎn)，作 EFXPB X PB F° 求證：(1) PA/平面EDB ;(2) PBL平面 EFD?！敬鸢浮?1)連結(jié)AC交BD于O,連結(jié)EO

19、。底面ABCD是正方形，點(diǎn) 。是AC的中點(diǎn)，在APAC中，EO是中位線，PA/ EO。而EOU平面EDB且PA0平面EDB,. PA/平面 EDB。(2) PDL底面 ABCD 且 DC U 底面 ABCD ,，PD，DC。由PD=DC,可知 PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC上的中線，DEXPCo同樣由PDL底面 ABCD ,得PDXBCo底面 ABCD是正方形，DCXBC,. BCL平面 PDC。而DE匚平面PDC , BC ± DE o由和推得 DEL平面PBC。而PB匚平面PBC, DE± PBo又 EFPB 且 DEH EF=E , . PBL平面 EFD。

20、類型利用分析法證明有關(guān)命題例 4. (2016 春 福州期中)證明：當(dāng) x>4 時(shí)，Jx_3+Jx_2 >x_4 + Jx_1?！窘馕觥慨?dāng)x> 4時(shí)要證.x -3 ： qx -2 .、x 一4 2 qx -1只需證 3 x -3. x - 2)2(、x - 4.1 x -1)2只需證 x -3 2. (x-3)(x-2) x-2 x-4 2. (x-4)(x-1) x-1即證,(x-3)(x-2) . Jx-4)(x-1)只需證 x25x+6>x25x+4即證6>4顯然上式成立，所以原不等式成立，即,x - 3 -x-1, x - 4 - ?<x - 2【總

21、結(jié)升華】1 .在證明過程中，若使用綜合法出現(xiàn)困難時(shí)，應(yīng)及時(shí)調(diào)整思路， 分析一下要證明結(jié)論成立需要怎樣的充分條件是明智之舉.從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋找使當(dāng)前命題成立的充分條件的方法2 .用分析法證明問題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”“只需證” “即證” “也即證”等詞語.舉一反三：【變式1】 已知a、b是正數(shù)，用分析法證明要證 只需證a ja+b而之jab(7a+jb)成立,即證(a b -ab )(、a 、. b) _、, ab(a . b).即證 a b - . ab - x ab ,也就是要證a+b之2而，即(后而)2之0.該式顯然成立，所以【高清課堂：直接證明與間接證明 40

22、1471例題2】a -'b 2 a【變式2】已知a >b >0 ,求證：<-8aab :二其上8b咯案】要證 三.:-"魯只需證巴士 、a，b2 a-b2, 8a28ba -b 、a b a -b a 、b d a b，二只需證一= < 一 < 一=,即11 <212a 、22%2b 2, a2, b欲證7a b <1 ,只需證 ja + vb < 2<a ,即Jb < ja顯然成立。2.a欲證"a +''b >1,只需證 & + Jb > 2vb ,即Jb < &

23、lt;a顯然成立。 2.b.a . b ,. a . b ,，一 ,-,二-一工 <1 <-一； 成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。2 a2 . b例 5.求證：5/a- Ja -1 < Ja 2 Ja 3(a 3.3).這時(shí)，可從結(jié)【思路點(diǎn)撥】由于本題所給的條件較少，且不等式中項(xiàng)都是根式的形式，因而用綜合法證明比較困難 論出發(fā)，逐步反推，尋找使命題成立的充分條件；此外，若注意到Ja 2 7a 3 = ,1 f ,也可用綜合法證明.a -2、a-3【解析】法一：分析法要證 4a - Ja -1 < Ja -2 - Ja -3(a > 3)成立，只需證明 Ta

24、+Wa3 < Ja2 +Ja1(a 之 3),兩邊平方得 2a 3+2ja(a3) < 2a 3+2 J(a 2)(a 1) (a 2 3),所以只需證明 qa(a3) <(a 2)(a 1) (a >3),兩邊平方得a2 3a <a2 3a+2 ,即 0 <2,0 <2恒成立，原不等式得證.法二：綜合法- 1 a _ 2 -/a - 3>ja a 1 = -? Ja - 2 Ja 3 =a - a -1y/a a Ja -2, Ja 1 a Ja -3 ,JaJ：a 一 1 > . a -2.-a -3 . 0 .11. . ,.a 、a

25、 -1_ a - 2 * a -3JO" -，a -1 < Ja -2 -7a -3 .即原不等式成立.【總結(jié)升華】1 .在證明過程中，若使用綜合法出現(xiàn)困難時(shí)，應(yīng)及時(shí)調(diào)整思路，分析一下要證明結(jié)論成立需要怎樣的 充分條件是明智之舉.從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋找使當(dāng)前命題成立的充分條件的方法2 .綜合法寫出的證明過程條理清晰，易于理解；但綜合法的證題思路并不容易想到，因此，在一般的證題過程中，往往是先用分析法尋找解題思路，再用綜合法書寫證明過程舉一反三：【變式】設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且 aD求證：a3 + b3 > a2b +ab2證明一：（分析法）要證 a3+

26、b3 > a2b +ab2成立，只需證（a+b）（ a2 -ab+ b2） > ab（a+b）成立，即需證 a2-ab+b2 > ab成立。（a+b>0）只需證a2-2ab+b2 >0成立，即需證（a -b f >0成立。而由已知條件可知，awb,有a-bwo,所以（a-b f >0顯然成立，由此命題得證。證明二：（綜合法）. awba-bwQ ，（ab 2 >0,即 a2-2ab+b2 >02, 2亦即 a -ab+ b >ab由題設(shè)條件知，a+b>0,(a+b)( a2 -ab+ b2)>(a+b)ab即a3+b3 &

27、gt; a2b+ab2,由此命題得證。類型三、反證法證明相關(guān)問題例6.求證:若一個(gè)整數(shù)的平方是偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)也是偶數(shù)【解析】假設(shè)這個(gè)數(shù)是奇數(shù) ，可以設(shè)為2k十1 , k w Z ,則有（2k +1）2 =4k2 +4k +1 ,而4k2 +4k +1 （kw Z）不是偶數(shù)，這與原命題的條件矛盾【總結(jié)升華】結(jié)論中含有 不是“不可能“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適宜應(yīng)用反證法.舉一反三：【變式1】設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和.（1）求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.（2）數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？【答案】假設(shè)Sn是等比數(shù)列，則S2=SS3,即 a2（1 +q）2

28、=a1身（1 +q +q2）. a1WQ . . （1+q）2=1+q+q2.即q=0 ,與等比數(shù)列中公比 qWO矛盾.故S n不是等比數(shù)列.【變式2】 證明 次后不可能成等差數(shù)列.【答案】（一）：假設(shè)串,屏"成等差數(shù)列，即 由+77=275,下面（用分析法）證明 T3+J7=2V5.要證 3 ,7-2.5,只需證（吏+77）2 ¥（2佝2,即證2扃#10,即證721 ¥5,即證21 ¥25 ,而該式顯然成立，故6+ 77 #2 d5,這與假設(shè)相矛盾，所以假設(shè)不成立，從而 .3, .5, 7不成等差數(shù)列.（二）：假設(shè) &方"成等差數(shù)列，

29、即 底+后=2爬,下面（用綜合法）證明 + 77#2y5.,21 =25,，匹手5 ,，2匹 #10,即3 +2歷+7 #20 ,即（6 +J7）2 #（2而,：小十于手2乖,這與假設(shè)相矛盾,故假設(shè)不成立，從而3, 5, 7不成等差數(shù)列.【高清課堂：直接證明與間接證明 401471例題5】【變式2】證明：J2是無理數(shù).【答案】假設(shè) 22不是無理數(shù).即 應(yīng)是有理數(shù)，那么必存在整數(shù) m,n ,使得J2 = m，其中m為既約分?jǐn)?shù)，則 m = J2n ,所以m2 = 2n ,于是 n n2能整除m2 ,從而m為偶數(shù)，設(shè)m=2k,kw Z ,所以4k2 =2n ,2m .即n = 2k，所以2能整除n ,于是m,n均為偶數(shù)，這與為既約分?jǐn)?shù) n矛盾，所以假設(shè)不成立。從而原命題成立，即V2是無理數(shù).例7.如圖所示，已知 a, b, c是同一平面內(nèi)的三條直線，a±c, b與c不垂直，求證：a與b必相交.【解析】證法一：假設(shè)a與b不相交，則a/ b,所以/ 1=/2.由于b與c不垂直，則/ 290；即/ 190；所以a與c不垂直，這與已知條件矛盾，所以a與b必相交.證法二：假設(shè)a與b不相交，則a/ b,所以/1=/2.因?yàn)?si± c,所以/ 1=90°,即/ 2=90°,所以b± c,這與已知b與c不垂直矛盾，所以 a與b必