選修2132立體幾何中的向量方法教案范文

1、課題：3.2立體幾何中的向量方法 （第76-79課時(shí)）（周三、周四、周五、周一；2010年元月6日、7日、8日、11日）【教學(xué)目標(biāo)】1在學(xué)習(xí)了方向向量的基礎(chǔ)上理解平面的法向量的概念，為進(jìn)一步運(yùn)用打好基礎(chǔ)；2學(xué)會(huì)由直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系及向量的運(yùn)算來判斷或證明直線、平面的位置關(guān)系；3學(xué)會(huì)運(yùn)用直線的方向向量、平面的法向量及向量的運(yùn)算來解決關(guān)于直線、平面的夾角及距離的問題（主要是關(guān)于角的問題）；4能初步利用向量知識(shí)解決相關(guān)的實(shí)際問題及綜合問題?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】向量運(yùn)算在立體幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】在運(yùn)用向量知識(shí)解決立體幾何問題時(shí)的向量問題的轉(zhuǎn)化與恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方式【教學(xué)過程】一、雙基回

2、眸前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量的基本知識(shí)，并利用空間向量初步解決了一些立體幾何問題，已初步感受到空間向量在解決立體幾何問題中的重要作用，并從中體會(huì)到了向量運(yùn)算的強(qiáng)大作用。這一節(jié)，我們將全面地探究向量在立體幾何中的運(yùn)用，較系統(tǒng)地總結(jié)出立體幾何的向量方法。為此，首先簡單回顧一下相關(guān)的基本知識(shí)和方法：1直線l的方向向量的含義： .2向量的特殊關(guān)系及夾角（最后的填空是用坐標(biāo)表示）（1）a/b ；（2）ab ；（3）a·a = ；（4）cosa,b = 。二、創(chuàng)設(shè)情景 前面，我們主要是利用向量的運(yùn)算解決了立體幾何中關(guān)于直線的問題，如：兩直線垂直問題；兩直線的夾角問題；特殊線段的長的問題等等若再加

3、入平面，會(huì)出現(xiàn)更多的的問題，如：線面、面面的位置關(guān)系問題；線面的夾角問題；二面角的問題等等而且都是立體幾何中的重要問題，這些問題用向量的知識(shí)怎樣來解決呢？直線可由其方向向量確定并由其來解決相關(guān)的問題，平面又由怎樣的向量來確定呢？ 這些問題就是我們將要探究或解決的主要問題三、合作探究同學(xué)們都知道：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面 。由此我們應(yīng)該會(huì)想象出怎樣的向量可確定平面的方向了下面請(qǐng)同學(xué)們合作探究一下這方面的知識(shí)和方法：（一）平面的法向量： 。（二）直線、平面的幾種重要的位置關(guān)系的充要條件：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的幾何意義直觀地得出直線、平面的幾種特殊的位置關(guān)系的充要條件（用直線的

4、方向向量或平面的法向量來表達(dá)）設(shè)直線 , 的方向向量分別為 ，平面 ， 的法向量分別為，則： ； ； ； ； ； ?！拘≡嚺５丁?設(shè)直線 , 的方向向量分別為 ，根據(jù)下列條件判斷直線 , 的位置關(guān)系：（1）= （2 ，-1 ，-2），=（6 ，-3，-6）；（2）= （1 ， 2 ，-2），=（-2， 3， 2）；（3）= （0 ， 0， 1），=（0 ， 0，-3）。2平面 ， 的法向量分別為，根據(jù)下列條件判斷平面 ，的位置關(guān)系：（1）= （-2 ，2 ， 5），=（6 ，-4， 4）；（2）= （ 1 ，2 ，-2），=（-2，-4， 4）；（3）= （ 2 ，-3 ，5），=（-3 ，1

5、，-4）。3如圖，在正方體中，E、F分別是、CD的中點(diǎn)，求證： 平面ADE （你能用幾種方法呢？ ）（三）利用向量方法證明平面與平面平行的判定定理【定理】一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行已知：直線 , 和平面 ，其中, ， 與相交，求證：【分析】根據(jù)，所以只要證明即可，那需要證明，都是平面的法向量【證明】設(shè)直線 , 的方向向量分別為 ，平面 ， 的法向量分別為，【點(diǎn)評(píng)】向量法解題“三步曲”：（1）化為向量問題 （2）進(jìn)行向量運(yùn)算 （3）翻譯向量運(yùn)算結(jié)果，回到圖形問題. 關(guān)于兩特殊點(diǎn)間距離的問題四、互動(dòng)達(dá)標(biāo)此類問題前面已經(jīng)接觸過，下面再來總結(jié)及拓展一下：問題.1如圖,一

6、個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體,其中頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是60°,那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長與棱長有什么關(guān)系。A1B1C1D1ABCD【分析】根據(jù)前面所學(xué)的方法，可將用與棱相關(guān)的向量表示出來，通過運(yùn)算求解【解析】 【點(diǎn)評(píng)】遇到空間兩點(diǎn)間的距離問題，往往把兩點(diǎn)間的距離表示為以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模。然后把向量進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸猓\(yùn)用向量的模滿足的關(guān)系式：來進(jìn)行針對(duì)性地運(yùn)算和求解【探究】1.本題中平行六面體的另一條對(duì)角線的長與棱長有什么關(guān)系?2.如果一個(gè)平行六面體的各棱長都相等,并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都是等于,那么由這個(gè)平行六面體的對(duì)角線

7、長可以確定棱長嗎?3.本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)面之間的距離是多少?【分析】顯然，第1個(gè)問題與問題.1類似；第個(gè)問題是問題.1的逆向問題，所列的式子應(yīng)該是一樣的，只不過未知數(shù)的位置不同；第個(gè)問題略有挑戰(zhàn)性，可把兩個(gè)面之間的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離或點(diǎn)到面的距離對(duì)于這個(gè)問題，同學(xué)們可在課后先探究一下，以后在進(jìn)行總結(jié)下面我們?cè)賮砜匆粋€(gè)問題.1的逆向問題：問題.如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為a和 b ,CD的長為 c, AB的長為d 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。 【分析】正如上面的分析，此題是問題.1的逆向問題，解決方

8、法與問題.1一致 【解析】ABCD【點(diǎn)評(píng)】由此可體會(huì)解決一類數(shù)學(xué)問題的方法，從而以靜制動(dòng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法應(yīng)用的本質(zhì)?！咎骄俊?本題中如果AC和BD夾角可以測(cè)出，而AB未知，其他條件不變，可以計(jì)算出AB的長嗎？（通過課本第頁的第題體會(huì)一下即可）2如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長和一條對(duì)角線的長，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？3如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長都等于a ，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值嗎？【分析】顯然，第1個(gè)問題又回到了問題.1的形式；第、個(gè)問題是問題.1的逆向問題，但第個(gè)問題又是略有挑戰(zhàn)

9、性，需要通過做輔助線構(gòu)出問題.的圖形模式對(duì)于這個(gè)問題，同樣是同學(xué)們先課后探究一下，以后在進(jìn)行總結(jié) 關(guān)于直線、平面的位置關(guān)系的論證及夾角問題問題.3如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF PB交PB于點(diǎn)F。 （1）求證：PA平面EDB； （2）求證：PB 平面EFD； （3）求二面角CPBD的大小?！痉治觥看祟}包括：判定直線與平面平行和垂直及計(jì)算二面角的大小均可用向量方法來解決。題目中的垂直條件非常適合建立空間直角坐標(biāo)系來表示向量。 【解析】【點(diǎn)評(píng)】(1)此題涉及到的問題都是立體幾何中的重點(diǎn)問題。通過解決過程來看，若條件適合建立

10、空間坐標(biāo)系，建系表示向量來解決問題還是較簡潔的轉(zhuǎn)化為目標(biāo)明確的坐標(biāo)運(yùn)算 (2) 同學(xué)們可用傳統(tǒng)法（不用向量）解決一下，比較各自的特點(diǎn)，便于解決問題時(shí)能恰當(dāng)選擇方法可大體上分為三種方法：傳統(tǒng)法；向量法；坐標(biāo)向量法。當(dāng)然也可把這三種方法結(jié)合起來使用直線與平面所成的角怎樣用向量來解決呢？同學(xué)們可借助此題的背景來求直線PA與平面PBC所成角：關(guān)于點(diǎn)到平面的距離問題利用問題.3的條件（PD=DC改為PD=DC= a ）求出點(diǎn)A到平面PBC的距離總結(jié)出點(diǎn)到平面的距離的求法：關(guān)于實(shí)際問題問題4.一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為，在它的頂點(diǎn)處分別受力，每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是，且，這塊鋼板

11、在這些力的作用下將怎樣運(yùn)動(dòng)？這三個(gè)力是多少時(shí)，才能提起這塊鋼板？【分析】鋼板所受重力為，垂直向下作用在三角形的中心O.若能將各頂點(diǎn)處所受的力，用向量形式表示，求出合力，就能判斷鋼板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。【解析】【點(diǎn)評(píng)】此題是力的合成問題，用向量將其表示，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量來表示五、思悟小結(jié) 知識(shí)線： 思想方法線： 題目線：六、鞏固提高1（1）設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若， 則k= ；若，則 k= 。（2）若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1, ,2),若，則m= ； 若，則m = .2如圖，已知線段AB在平

12、面內(nèi)，線段，線段BDAB，線 段，如果ABa，ACBDb，求C、D間的距離 或：一個(gè)矩形ABCD，AB=3,CD=4,以BD為棱折成直二面角，求A、C之間的距離3（1）如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和AC,BD的長都等于a，點(diǎn)M , N分別是AB, CD 的中點(diǎn)，求證：MNAB , MNCD . （2）如圖，已知正方體ABCDABCD , B C 和C B 相交于點(diǎn)O,連結(jié)DO，求證：DOB C4. 如圖，M、N分別是棱長為1的正方體的棱、 的中點(diǎn)求異面直線MN與所成的角5如圖，正方體ABCDABCD中， 點(diǎn)E , F分別是B B， CD的中點(diǎn)。求證：面AED面A F D 6如圖，正方體ABCDABCD中， 點(diǎn)E , F , G , H , K , L 分別是AB ，B B