軌跡方程的五種求法

1、軌跡方程的五種求法一、直接法：直接根據(jù)等量關(guān)系式建立方程.例1：已知點，動點滿足，則點的軌跡是（）A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解析：由題知，由，得，即，點軌跡為拋物線故選D二、定義法：運用有關(guān)曲線的定義求軌跡方程例2：在中，上的兩條中線長度之和為39，求的重心的軌跡方程解：以線段所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標系，如圖1，為重心，則有點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中所求的重心的軌跡方程為三、轉(zhuǎn)代法：此方法適用于動點隨已知曲線上點的變化而變化的軌跡問題. 例3：已知ABC的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程解：設(shè)，由重心公式，得又在拋物線上，將，代入，得，即所求曲線方程是四

2、、參數(shù)法：如果不易直接找出動點坐標之間的關(guān)系，可考慮借助中間變量（參數(shù)），把，聯(lián)系起來例4：已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點，使其滿足，求直線與的交點的軌跡方程解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標系設(shè)點，則由題意，得由點斜式得直線的方程分別為兩式相乘，消去，得這就是所求點M的軌跡方程評析：參數(shù)法求軌跡方程，關(guān)鍵有兩點：一是選參，容易表示出動點；二是消參，消參的途徑靈活多變.五、待定系數(shù)法：當曲線的形狀已知時，一般可用待定系數(shù)法解決.例5：已知A，B，D三點不在一條直線上，且，（1）求點軌跡方程；（2）過作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與

3、點的軌跡相切，求橢圓方程解：（1）設(shè)，由知為中點，易知又，則即點軌跡方程為；（2）設(shè)，中點由題意設(shè)橢圓方程為，直線方程為直線與點的軌跡相切，解得將代入橢圓方程并整理，得，又由題意知，即，解得故所求的橢圓方程為配套訓練一、選擇題1. 已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是( )A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線2. 設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為( )A.B. C. D.二、填空題3. ABC中，A為動點，B、C為定點，B(

4、,0),C(,0)，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動點A的軌跡方程為_.4. 高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_.三、解答題5. 已知A、B、C是直線l上的三點，且|AB|=|BC|=6，O切直線l于點A，又過B、C作O異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程.6. 雙曲線=1的實軸為A1A2，點P是雙曲線上的一個動點，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q與A2Q的交點為Q，求Q點的軌跡方程.7. 已知雙曲線=1(m0,n0)的頂點為A1、A

5、2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點P、Q.(1)求直線A1P與A2Q交點M的軌跡方程；(2)當mn時，求所得圓錐曲線的焦點坐標、準線方程和離心率.8.已知橢圓=1(ab0),點P為其上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點，F(xiàn)1PF2的外角平分線為l，點F2關(guān)于l的對稱點為Q，F(xiàn)2Q交l于點R.(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當AOB的面積取得最大值時，求k的值.參考答案配套訓練一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2

6、a,動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓.答案：A2.解析：設(shè)交點P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共線，A2、P2、P共線，解得x0=答案：C二、3.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,應為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為.答案：4.解析：設(shè)P(x,y），依題意有,化簡得P點軌跡方程為4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點，兩切線交于點P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE

7、|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標系，可求得動點P的軌跡方程為=1(y0)6.解：設(shè)P(x0,y0）(x±a),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由條件而點P(x0,y0)在雙曲線上，b2x02a2y02=a2b2，即b2(x2)a2()2=a2b2化簡得Q點的軌跡方程為：a2x2b2y2=a4(x±a).7.解：(1)設(shè)P點的坐標為(x1,y

8、1)，則Q點坐標為(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),則A1P的方程為：y=A2Q的方程為：y=×得：y2=又因點P在雙曲線上，故代入并整理得=1.此即為M的軌跡方程.(2)當mn時，M的軌跡方程是橢圓.()當mn時，焦點坐標為(±,0)，準線方程為x=±,離心率e=；()當mn時，焦點坐標為(0,±),準線方程為y=±,離心率e=.8.解：(1)點F2關(guān)于l的對稱點為Q，連接PQ，F(xiàn)2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因為l為F1PF2外角的平分線，故點F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02