高中數(shù)學(xué)解析幾何問題的題型與方法

1、第14講 解析幾何問題的題型與方法一、知識整合高考中解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題)，共計(jì)30分左右，考查的知識點(diǎn)約為20個左右。 其命題一般緊扣課本，突出重點(diǎn)，全面考查。選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線、參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識。解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識點(diǎn)，通過知識的重組與鏈接，使知識形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時還要用到平幾的基本知識和向量的基本方法，這一點(diǎn)值得強(qiáng)化。1. 能正確導(dǎo)出由一點(diǎn)和斜率確定的直線的點(diǎn)斜式方程；從直線的點(diǎn)斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方程的其他形式，斜截式、兩點(diǎn)式、截距式；能根據(jù)已知條件，熟練地選擇

2、恰當(dāng)?shù)姆匠绦问綄懗鲋本€的方程，熟練地進(jìn)行直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來研究與直線有關(guān)的問題了.2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問題，并用之解決簡單的實(shí)際問題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會用線性規(guī)劃方法解決一些實(shí)際問題.3 理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.4掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（r0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求

3、出圓心坐標(biāo)和半徑，掌握圓的一般方程：，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進(jìn)行一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參數(shù)方程（為參數(shù)），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.5正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點(diǎn)、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握a、b、c、p、e之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意

4、義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關(guān)系的判定方法.二、近幾年高考試題知識點(diǎn)分析2004年高考，各地試題中解析幾何內(nèi)容在全卷的平均分值為27.1分，占181；2001年以來，解析幾何內(nèi)容在全卷的平均分值為29.3分，占19.5因此，占全卷近1/5的分值的解析幾何內(nèi)容，值得我們在二輪復(fù)習(xí)中引起足夠的重視高考試題中對解析幾何內(nèi)容的考查幾乎囊括了該部分的所有內(nèi)容，對直線、線性規(guī)劃、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等內(nèi)容都有涉及1選擇、填空題11 大多數(shù)選擇、填空題以對

5、基礎(chǔ)知識、基本技能的考查為主，難度以容易題和中檔題為主（1）對直線、圓的基本概念及性質(zhì)的考查例1 （04江蘇）以點(diǎn)(1，2)為圓心，與直線4x+3y-35=0相切的圓的方程是_（2）對圓錐曲線的定義、性質(zhì)的考查例2（04遼寧）已知點(diǎn)、，動點(diǎn)P滿足. 當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是時，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是（A）（B）（C）（D）212 部分小題體現(xiàn)一定的能力要求能力，注意到對學(xué)生解題方法的考查例3（04天津文）若過定點(diǎn)且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則的取值范圍是（A） （B）（C） （D）2解答題解析幾何的解答題主要考查求軌跡方程以及圓錐曲線的性質(zhì)以中等難度題為主，通常設(shè)置兩問，在問題的設(shè)置上

6、有一定的梯度，第一問相對比較簡單例4(04江蘇）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為，一個焦點(diǎn)是F（-m,0）(m是大于0的常數(shù)). （）求橢圓的方程； （）設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線與y軸交于點(diǎn)M. 若，求直線l的斜率本題第一問求橢圓的方程，是比較容易的，對大多數(shù)同學(xué)而言，是應(yīng)該得分的；而第二問，需要進(jìn)行分類討論，則有一定的難度，得分率不高解：（I）設(shè)所求橢圓方程是由已知，得 所以.故所求的橢圓方程是（II）設(shè)Q（），直線當(dāng)由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得.于是 故直線l的斜率是0，.例5（04全國文科）設(shè)雙曲線C：相交于兩個不同的點(diǎn)A、B.（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：（II）設(shè)直線l

7、與y軸的交點(diǎn)為P，且求a的值.解：（I）由C與t相交于兩個不同的點(diǎn)，故知方程組 有兩個不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 雙曲線的離心率（II）設(shè)由于x1，x2都是方程的根，且1a20，例6（04全國文科）給定拋物線C：F是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn).（）設(shè)的斜率為1，求夾角的大??；（）設(shè)，求在軸上截距的變化范圍.解：（）C的焦點(diǎn)為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為將代入方程，并整理得 設(shè)則有 所以夾角的大小為（）由題設(shè) 得 即由得， 聯(lián)立、解得，依題意有又F（1，0），得直線l方程為 當(dāng)時，l在方程y軸上的截距為由 可知在4，9上是

8、遞減的， 直線l在y軸上截距的變化范圍為從以上3道題我們不難發(fā)現(xiàn)，對解答題而言，橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線都有考查的可能，而且在歷年的高考試題中往往是交替出現(xiàn)的，以江蘇為例，01年考的是拋物線，02年考的是雙曲線，03年考的是求軌跡方程（橢圓），04年考的是橢圓三、熱點(diǎn)分析與2005年高考預(yù)測1重視與向量的綜合在04年高考文科12個省市新課程卷中，有6個省市的解析幾何大題與向量綜合，主要涉及到向量的點(diǎn)乘積（以及用向量的點(diǎn)乘積求夾角）和定比分點(diǎn)等，因此，與向量綜合，仍是解析幾何的熱點(diǎn)問題，預(yù)計(jì)在05年的高考試題中，這一現(xiàn)狀依然會持續(xù)下去例7（02年新課程卷）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)

9、，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（1，3），若點(diǎn)C滿足，其中a、bR，且ab=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（A）（x1）2（y2）2=5（B）3x2y11=0（C）2xy=0（D）x2y5=0例8（04遼寧）已知點(diǎn)、，動點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線 2考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系幾率較高在04年的15個省市文科試題（含新、舊課程卷）中，全都“不約而同”地考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，因此，可以斷言，在05年高考試題中，解析幾何的解答題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的概率依然會很大3與數(shù)列相綜合在04年的高考試題中，上海、湖北、浙江解析幾何大題與數(shù)列相綜合，此外，03年的江蘇

10、卷也曾出現(xiàn)過此類試題，所以，在05年的試題中依然會出現(xiàn)類似的問題例9（04年浙江卷）如圖，OBC的在個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0,0）、（1,0）、（0,2）,設(shè)P為線段BC的中點(diǎn),P2為線段CO的中點(diǎn),P3為線段OP1的中點(diǎn),對于每一個正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點(diǎn),令Pn的坐標(biāo)為(xn,yn), （）求及;（）證明（）若記證明是等比數(shù)列.解：()因?yàn)椋?，又由題意可知，= 為常數(shù)列.()將等式兩邊除以2，得又，（） 又是公比為的等比數(shù)列.4與導(dǎo)數(shù)相綜合近幾年的新課程卷也十分注意與導(dǎo)數(shù)的綜合，如03年的天津文科試題、04年的湖南文理科試題，都分別與向量綜合例10（04年湖南文理科試題）

11、如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)。（I）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明: （II）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A,B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.解：（）依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、x2是方程的兩根.所以 由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為，得又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，m），從而. 所以 （）由 得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（4，4）.由 得 所以拋物線 在點(diǎn)A處切線的斜率為設(shè)圓C的方程

12、是則解之得 所以圓C的方程是 即 5重視應(yīng)用在歷年的高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)解析幾何的應(yīng)用題，如01年的天津理科試題、03年的上海文理科試題、03年全國文科舊課程卷試題、03年的廣東試題及江蘇的線性規(guī)劃題等，都是有關(guān)解析幾何的應(yīng)用題 例11（04年廣東試題）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個觀測點(diǎn)同時聽到了一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到的時間比其他兩觀測點(diǎn)晚4s. 已知各觀測點(diǎn)到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)解：如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系

13、.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點(diǎn)，則A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲，故|PB| |PA|=340×4=1360由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，依題意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|>|PA|,答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心處.（二）05年高考預(yù)測1難度：解析幾何內(nèi)容是歷年來高考數(shù)學(xué)試題中能夠拉開成績差距的內(nèi)容之一，該部分試題往往有一定的難度和區(qū)

14、分度，預(yù)計(jì)這一形式仍將在05年的試題中得到體現(xiàn)此外，從04年分省（市）命題的情況來看，在文科類15份試卷（含文理合用的試卷）中，有9分試卷（占3/5）用解析幾何大題作為最后一道壓軸題，預(yù)計(jì)這一現(xiàn)狀很有可能在05年試卷中繼續(xù)重現(xiàn)2命題內(nèi)容：從今年各地的試題以及前幾年的試題來看，解答題所考查的內(nèi)容基本上是橢圓、雙曲線、拋物線交替出現(xiàn)的，所以，今年極有可能考雙曲線的解答題此外，從命題所追求的目標(biāo)來看，小題所涉及的內(nèi)容一定會注意到知識的覆蓋，兼顧到對能力的要求3命題的熱點(diǎn)：（1）與其他知識進(jìn)行綜合，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題（如與向量綜合，與數(shù)列綜合、與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及不等式綜合等）；（2）直線與圓錐曲線

15、的位置關(guān)系，由于該部分內(nèi)容體現(xiàn)解析幾何的基本思想方法用代數(shù)的手段研究幾何問題，因此該部分內(nèi)容一直是考試的熱點(diǎn)，相信，在05年的考試中將繼續(xù)體現(xiàn)；（3）求軌跡方程（4）應(yīng)用題四、二輪復(fù)習(xí)建議1根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，有針對性地進(jìn)行復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)的有效性由于解析幾何通常有23小題和1大題，約占28分左右，而小題以考查基礎(chǔ)為主、解答題的第一問也較容易，因此，對于全市的所有不同類型的學(xué)校，都要做好該專題的復(fù)習(xí)，千萬不能認(rèn)為該部分內(nèi)容較難而放棄對該部分內(nèi)容的專題復(fù)習(xí)，并且根據(jù)生源狀況有針對性地進(jìn)行復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)的有效性2重視通性通法，加強(qiáng)解題指導(dǎo)，提高解題能力在二輪復(fù)習(xí)中，不能僅僅復(fù)習(xí)概念和性質(zhì)，還應(yīng)該以典型的

16、例題和習(xí)題（可以選用04年的各地高考試題和近兩年的各地高考模擬試題）為載體，在二輪復(fù)習(xí)中強(qiáng)化各類問題的常規(guī)解法，使學(xué)生形成解決各種類型問題的操作范式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程，解題能力只有通過學(xué)生的自主探究才能掌握所以，在二輪復(fù)習(xí)中，教師的作用是對學(xué)生的解題方法進(jìn)行引導(dǎo)、點(diǎn)撥和點(diǎn)評，只有這樣，才能夠?qū)嵤┯行?fù)習(xí)3注意強(qiáng)化思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，力求規(guī)范解題，盡可能少丟分在解解析幾何的大題時，有不少學(xué)生常出現(xiàn)因解題不夠規(guī)范而丟分的現(xiàn)象，因此，要通過平時的講評對易出現(xiàn)錯誤的相關(guān)步驟作必要的強(qiáng)調(diào)，減少或避免無畏的丟分例14（04全國文科）設(shè)雙曲線C：相交于兩個不同的點(diǎn)A、B.（I）求雙曲線C的離心率e的取值

17、范圍：（II）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且求a的值.解：（I）由C與t相交于兩個不同的點(diǎn)，故知方程組 有兩個不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 雙曲線的離心率還有，在設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式時，就應(yīng)該注意到直線斜率不存在的情形；又如，在求軌跡方程時，還要注意到純粹性和完備性等五、參考例題例1、若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：直線mx+y+2=0過一定點(diǎn)C(0, -2)，直線mx+y+2=0實(shí)際上表示的是過定點(diǎn)(0, -2)的直線系，因?yàn)橹本€與線段AB有交點(diǎn)，則直線只能落在ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩

18、條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足kk1或kk2， A(-2, 3) B(3, 2) -m或-m 即m或m說明：此例是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應(yīng)為傾角的正切，而當(dāng)傾角在(0°,90°)或(90°,180°)內(nèi)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)直線在ACB內(nèi)部變化時，k應(yīng)大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當(dāng)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化時，也要能求出m的范圍。例2、已知x、y滿足約束條件 x1， x-3y-4， 3x+5y30，求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最

19、大值和最小值.解：根據(jù)x、y滿足的約束條件作出可行域，即如圖所示的陰影部分（包括邊界）.作直線：2x-y=0，再作一組平行于的直線：2x-y=t，tR.可知，當(dāng)在的右下方時，直線上的點(diǎn)（x，y）滿足2x-y0，即t0，而且直線往右平移時，t隨之增大.當(dāng)直線平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B，此時所對應(yīng)的t最大；當(dāng)在的左上方時，直線上的點(diǎn)（x，y）滿足2x-y0，即t0，而且直線往左平移時，t隨之減小.當(dāng)直線平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)C，此時所對應(yīng)的t最小. x-3y+4=0， 由 解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，3）； 3x+5y-30=0， x=1， 由 解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）. 3x+5y-30=0，所以，=2×5-3