四種命題四種命題間的相互關(guān)系

1、四種命題四種命題間的相互關(guān)系1、四種命題的概念，寫出某個(gè)命題的逆命題、否命題和逆否命題。2、四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系。3、會(huì)用命題的等價(jià)性解決問題?！竞诵膾呙琛浚?、 結(jié)合命題真假的判定，考查四種命題的結(jié)構(gòu)。(重點(diǎn))2、 掌握四種命題之間的相互關(guān)系。(重點(diǎn))3、 等價(jià)命題的應(yīng)用。(難點(diǎn))1、四種命題的概念(1) 互逆命題：對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這樣的兩個(gè)命題叫做 互逆命題。其中一個(gè)命題叫原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆命題。若原命題為“若p,則q”則逆命題為“若q，則P”(2) 互否命題：對于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另

2、一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題。如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的否命題。也就是說，若原命題為 若p，則q”則否命題為 若非p，則非q。(3) 互為逆否命題：對于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題。如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的逆否命題也就是說，若原命題為若p,則q”，則逆否命題為若非q,則非p。任何一個(gè)命題的結(jié)構(gòu)都包含條件和結(jié)論，通過條件和結(jié)論的不同變換都可以得到這個(gè) 命題的逆命題、否命題和逆否命題，因而任何一個(gè)命題都有逆命題、否命題和逆否命題。2

3、、四種命題的相互關(guān)系3、四種命題的真假性(1)四種命題的真假性，有且僅有下面四種情況:原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四種命題的真假性之間的關(guān)系： 兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性. 兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.在四種命題中，真命題的個(gè)數(shù)可能會(huì)有幾種情況？因?yàn)樵}與逆否命題，逆命題和否命題互為逆否命題，它們同真同假，所以真命題的個(gè) 數(shù)可能為0, 2, 4.一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用非p和非q分別表示p與q的否定,則四種命題的形式可表示為：原命題：若P,則q；逆命題：若q,則p；否命題：若非P,則非q；逆否命題

4、：若非q,則非p.(1)關(guān)于四種命題也可敘述為： 交換命題的條件和結(jié)論，所得的新命題就是原命題的逆命題； 同時(shí)否定命題的條件和結(jié)論，所得的新命題就是原命題的否命題； 交換命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的新命題就是原命題的逆否命題.(2)已知原命題，寫出它的其他三種命題：首先，將原命題寫成 若p,則q”的形式，然后找出條件和結(jié)論， 再根據(jù)定義寫出其他命題。 然后，對于含有大前提的命題，在改寫時(shí)大前提不動(dòng)。如 已知a, b為正數(shù)，若a>b，則| a|>| b| ”中，已知a, b為正數(shù)"在四種命題中是相同的 大前提，寫其他命題時(shí)都把它作為大前提。四種命題的真假關(guān)系原命題

5、為真，它的逆命題不一定為真； 原命題為真，它的否命題不一定為真； 原命題為真，它的逆否命題一定為真； 原命題的逆命題為真，它的否命題一定為真 ？四種命題的等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用： 判斷某個(gè)命題的真假，如果直接判斷不易，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假。例如 帶有否定詞的命題真假的判斷。因此，證明某一問題時(shí)，若直接證明不容易入手，可以通過證明它的逆否命題為真命 題來間接地證明原命題為真命題四種命題之間的轉(zhuǎn)換【例 1】寫出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題 (1)如果直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于平面；如果x>10，那么x>0;(3)當(dāng) x= 2 時(shí)，x2+ x- 6= 0.

6、思路探索：可先分清命題的條件和結(jié)論，寫成若p,則q”的形式，再寫出逆命題、否命題和逆否命題。解：(1)逆命題：如果直線垂直于平面,那么直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線; 否命題：如果直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,那么直線不垂直于平面; 逆否命題：如果直線不垂直于平面,那么直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(2)逆命題：如果x>0，那么x>10;否命題：如果XW10那么XW0 逆否命題：如果 XWQ那么x< 10.(3)逆命題：如果 x2 x- 6= 0,那么 x= 2; 否命題：如果 x2那么x2+ x- 6工0 逆否命題：如果 x2 + x- 6工0那么xm2.規(guī)律方法：1

7、、寫命題的四種形式時(shí),首先要找出命題的條件和結(jié)論,然后寫出命題的條件的否定和結(jié) 論的否定,再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所求命題。2、在寫命題時(shí),為了使句子更通順,可以適當(dāng)?shù)奶砑右恍┰~語,但不能改變條件和結(jié)論。 寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題。(1)垂直于同一平面的兩直線平行；若mn<0，則方程 mx2 x+ n= 0有實(shí)根.解(1)逆命題：如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一個(gè)平面 否命題：如果兩條直線不垂直于同一平面，那么這兩條直線不平行 逆否命題：如果兩條直線不平行，那么這兩條直線不垂直于同一平面(2)逆命題：若方程 mx2 x+ n= 0有實(shí)數(shù)根，則 m-n<0.否

8、命題：若 m-n>0貝U方程mx2 x+ n= 0沒有實(shí)數(shù)根.逆否命題：若方程 mx2 x+ n= 0沒有實(shí)數(shù)根，則 m-n> 0.題型二 四種命題真假的判斷【例 2】有下列四個(gè)命題： “若x+ y= 0，則x, y互為相反數(shù)”的否命題； “若a>b，則a2>b2”的逆否命題； “若x< 3，貝U x2 x 6>0”的否命題； “同位角相等 ”的逆命題.其中真命題的個(gè)數(shù)是 .思路探索 可先逐一分清兩個(gè)命題的條件和結(jié)論，再利用有關(guān)知識(shí)判斷真假. 解析 “若x+ yQ則x, y不是相反數(shù)”是真命題. “若a2<b2，則aW,取a= 0, b= 1, a2&

9、lt;b2，但a>b,故是假命題. “若x> 3，貝U x2 x 6< 0；解不等式 x2 x 6<0可得一2<x<3而x= 4> 3不是不等 式的解，故是假命題. “相等的角是同位角 ,是假命題.答案 1 規(guī)律方法：要判斷四種命題的真假：首先,要熟練四種命題的相互關(guān)系,注意它們之間的 相互性；其次,利用其他知識(shí)判斷真假時(shí),一定要對有關(guān)知識(shí)熟練掌握.列命題中是真命題的是： ().A、命題 若0vlogab<1,貝U 0<a<1<b；的逆命題B、命題若b= 3，則b2= 9”的逆命題C、命題當(dāng)x= 2時(shí)，x2 3x+ 2 = 0；

10、的否命題D、命題 相似三角形的對應(yīng)角相等 ”的逆否命題解析 對于A,逆命題為 若0vav1vb，則0<logab<1 ；,由對數(shù)函數(shù)圖象得，當(dāng)0vav1vb時(shí)，logabv0,. A為假；B項(xiàng)，逆命題是 若b2= 9,則b= 3；,它未必成立，因?yàn)?b可能等于3,所以B 為假；C項(xiàng)，否命題是 當(dāng)XM2時(shí)，x2 3x+ 2工0,因?yàn)閤= 1時(shí)也可以使 x2 3x+ 2 = 0 成立,所以為假；D項(xiàng)，逆否命題是 兩個(gè)三角形對應(yīng)角不相等，則這兩個(gè)三角形不相似 ”，因?yàn)樵}與逆命題同真假，且原命題為真，所以逆否命題為真，故選D.答案 D等價(jià)命題的應(yīng)用判斷命題 已知a, x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于

11、x的不等式x2+ (2a+ 1)x+ a2+ 2W0勺解集不是空集， 則a> 1的逆否命題的真假.審題指導(dǎo):本題的命題意圖是考查逆否命題的應(yīng)用，由于原命題與它的逆否命題同真同假，所以可寫出原命題的逆否命題，再判斷其真假，或者由判斷原命題的真假得出逆否命題的 真假。規(guī)范解答法一：原命題的逆否命題：已知a, x為實(shí)數(shù)，若a<1,則關(guān)于x的不等式x2+ (2a + 1)x+ a2 + 2< 0的解集為空集.真假 判斷如下：3分拋物線 y= x2 + (2a + 1)x+ a2 + 2 開口 向上，判別式= (2a + 1)2-4(a2 + 2)= 4a 7,6 分右 a<1，

12、則 4a 7<0.即拋物線y= x2+ (2a + 1)x+ a2 + 2與x軸無交點(diǎn).9分所以關(guān)于x的不等式x2+ (2a + 1)x+ a2 + 2 < 0的解集為空集. 故原命題的逆否命題為真12分法二：先判斷原命題的真假.因?yàn)閍, x為實(shí)數(shù)，且關(guān)于 x的不等式x2+ (2a+ 1)x+ a2 + 2< 0的解集不是空集，所以= (2a+ 1)2 4(a2 + 2) >Q4 分即 4a 7AQ又因?yàn)樵}與其逆否命題等價(jià)，所以逆否命題為真。12分由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，即互為逆否命題的命題具有等價(jià)性，所以我 們在直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，

13、可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間 接地證明原命題為真命題。判斷命題 若m>0,則方程x2 + 2x 3m= 0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題的真假.解/ m>0,. 12m>0,. 12m + 4>0.方程 x2+ 2x 3m = 0 的判別式 = 12m+ 4>0.原命題 若m>0,則方程x2 + 2x 3m= 0有實(shí)數(shù)根”為真.又因原命題與它的逆否命題等價(jià)，所以若m>0，則方程x2+ 2x 3m = 0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題也為真.反證法的應(yīng)用1、反證法的理論基礎(chǔ)：反證法就是證明結(jié)論的反面不成立，從而證明原結(jié)論成立。由于互 為逆否命題的兩個(gè)命題具有等價(jià)性

14、，從邏輯角度看，原命題為真，則它的逆否命題也為真。在直接證明原命題有困難時(shí)，就可轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題成立。2、反證法的思想方法：命題若p,則q”的逆否命題是 若非q,則非p”，假設(shè)q不成立，即非q成立，由此進(jìn)行推理，則非 p一定成立，這與 p成立矛盾，那么就說明 假設(shè)q不成 立”為假，從而可以導(dǎo)出 若p，則q”為真，達(dá)到論證的目的，這就是反證法的思想方法.3、反證法證明命題的步驟：(1) 反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的否定成立；(2) 歸謬：從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3) 說明：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.否定結(jié)論是反證法的第一步，它的正確與否，對于反證法有直接影響.若a2 + b2= c2,求證：a, b, c不可能都是奇數(shù)。思路分析：可以證明原命題的逆否命題為真命題，也可以運(yùn)用反證法。法一：依題意，就是證明命題 若a2 + b2 = c2,則a, b, c不可能都是奇數(shù)”為真命題。為此， 只需證明其逆否命題若a, b, c都是奇數(shù)，則a2+ b2充2.為真命題即可。 a, b, c都是奇數(shù)，則a2, b2, c2都是奇數(shù)。于是 a2 + b2為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，即a2 + b丸