級(jí)高等數(shù)學(xué)(2-2)課程期中試卷參考答案

1、名姓號(hào)學(xué)級(jí)年班、業(yè)專弊作絕拒、紀(jì)考肅嚴(yán)、信守實(shí)誠(chéng)、爭(zhēng)競(jìng)平公院學(xué)重慶大學(xué)2022級(jí)?高等數(shù)學(xué)(11-2)»期中試卷參考答案二單項(xiàng)選擇題(每題3分，共15分)(1)設(shè)有平面1 :x y2z 60與平面2 :2x yz 50，那么1與2的夾角為(C )(A)-(B)(C)-(D)2643(2)設(shè)有直線L:x 3y 4z “-及平面:4x 2y2z 30，那么直線273L ( A )(A)平行于 (B)在上 (C)垂直于 (D )與 斜交(3) 二元函數(shù)f(x,y)在(x°,y°)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fxy(x,y) , fyx(x,y)連續(xù)是fxy(x°,y°

2、;) fyx x),yo(A )充分條件(C)充分必要條件(4)二元函數(shù) f (x, y)的(B)(D)x2填空題(每空4分，共24 分)y2 sin必要條件既非充分也非必要12 2x y(x, y)(x,y)(0,0)在點(diǎn)(0,0)(0,0)(1)(2)(3)(4)(5)函數(shù)y y(x)在任意點(diǎn)x處的增量yx的高階無(wú)窮小，y(0)曲面ez2sin-那么 uyxy設(shè) f (x, y,z)三角形y x1 x2，且當(dāng)x0時(shí),，那么y(1)等于e12 2在點(diǎn)(2,)處的值為2 e (1)x yx 2 y 1 z3在(2,1,0)的法線方程為12 0。r2(xir r yj zk)(x232 22 y

3、 z )2o2沖,x2 y2 z2，那么 gradfABC 的頂點(diǎn)分別為 A(1,2,3)，B(3,4,5)，C(2,4,7)那么三角形 ABC的面積、143x22y212(6)由曲線3X 2y12繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)z 0(0八 3,、2)處處(D )(A)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)(5)心形線COS,(a(B)(D)偏導(dǎo)數(shù)存在，不可微偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，可微0)所圍成的面積為(B(A) -a2(B)3(C)亍(D)的指向外側(cè)的單位法向量為三計(jì)算題(每題8分，共40 分)1 求阿基米德螺線a，(a 0)相應(yīng)于 從0到2 一段弧的長(zhǎng)度解：弧長(zhǎng)元素 ds i ()2()2da22a2

4、da 12d，S a0，命題人： 組題人： 審題人：命題時(shí)間：教務(wù)處制1 2d2d212 -d1 2 .1 2d1 2hn一 2 C，dzdx2o2222dydz'2x 4y 6z 0dxdxc dy c dz2y 3z x dx dx 變形為 dy dz2y2xdx dx2.求極限(x,y')im(0,0)sin xdz xdx 3z 1解:2x2y2 2 ysin2 2x y2xy2 2x2y2有:包叢dx 2y(3z 1)lim(x,y)(0,0)2x2y3求由方程組解：視y(x),2x y2x2 2 :x y 2sin x13!x2 y234設(shè)z f (2x y, y

5、si n x)，其中f(u,v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求2zy 0(x, y) (0, 0)，解：一z 2 f1 ycosx f2，x22( f11 sin xf12) cosx f2 ycosx( f21 sinxf22) x y2y2y2 3z220所確定的y(x)，Z(x)的導(dǎo)數(shù)。z(x)為x的可導(dǎo)函數(shù),x b5.求直線 b (be 0)繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面的方程，它代表什么曲 y - ze面？解：設(shè)P(x, y,z)為旋轉(zhuǎn)面上任一點(diǎn)，P1(b, y1,z1)為直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。那么b2y12y1zbz1c2x面。四.證明題(第11.設(shè)函數(shù)f(x,y)，故所求旋轉(zhuǎn)面方程為 x2b2與z2

6、 b2，它是單葉雙曲c9992設(shè) x, y | xyR , u f (x, y)在 內(nèi)可微，且滿足x丄 y丄 0。求證：uf (x, y)在內(nèi)恒為常數(shù)。x y小題8分，第2小題6分,2xy24x y0x2y2014分)，證明f(x,y)在(0,0)處沿任0一方向 e (cos ,sin)的方向?qū)?shù)都存在，但在(0,0)處不可微。xyf / ff、(cos ,sin )，貝u(,)lxyr對(duì)任一方向(徑向)l0 (cos,sint 0,(x, y),那么 u f (x, y)x 證:令1(x, y) 0,|0),x tcos , y tsin證：當(dāng)cos0時(shí),f (tcos ,tsin )0。f

7、 (tcos ,tsin )為t的一元可微函數(shù)，且(0,0)訕 f(tcos ,tsin ) f(0,°)0t 0dfcos dtsin fxy x tcosy tsiny)0，yt 0(0當(dāng)cos0時(shí),f(tcos ,tsin )f(0,0)dfdtt)，(f(tcos ,tsin) f(0,0)故 f (t cos ,tsin )f(0,0)，即f (x, y)在每一條從圓心出發(fā)的射線上2Insi2Insi2s o c又 xliym0f(X，y)4y呵 4y 02y1-f (0,0),滿足 f (x, y) f(0,0)。故(x, y) ，f(x,y) f(0,0) C，即f(x

8、, y)在內(nèi)恒為常數(shù)。f (x,y)在(0,0)不連續(xù),故f (x,y)在(0,0)不可微五、應(yīng)用題(7分)一架飛機(jī)以常速v在16千公尺高空飛行，在飛經(jīng)地面導(dǎo)彈基地上空時(shí)基地發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈始終瞄準(zhǔn)飛機(jī)，設(shè)導(dǎo)彈飛行速度為2v(1) 建立微分方程(2) 寫出初始條件(3) 求導(dǎo)彈的飛行軌跡。解：(1)建立如下圖的坐標(biāo)系，設(shè)P(x, y,z)為導(dǎo)彈飛行軌跡上任一點(diǎn),那么該曲線在點(diǎn)P(x, y,z)的切線方程為 Y y y'(X x)16.1 y'2dt 2(yxy')對(duì)x求導(dǎo)，得微分方程為2xy'' J y'2! (2)初始條件為y x1610y' x 160(3)令y'p,那么 y''坐，代入得dp2xdxd