汽車保險問題研究

1、汽車保險問題研究曹天祥，滕靖財，韋麒摘要面對新的交通法的頒布以及車輛強制保險這樣的大背景，各個保險公司為了迎合市場的需要，保險公司有必要建立一個適當?shù)臄?shù)學模型分析在交通法頒布前后保險費的變化，以適應時代的潮流。本文從投保人人均所擔負的事故賠償費的角度來討論保險費用的變化情況。如果人均所擔負的賠償費減少，則人均所擔負的風險相應的變小，相應的投保人所交的保險費也應減少。本文就是根據(jù)人均所擔負的賠償費的變化的討論來回答題目的保險費變化的問題。關鍵字汽車保險初等模型比例模型1 問題重述：已知某汽車保險公司的保險規(guī)則，即：（ 1） 該公司只提供一年期的綜合保險單，若客戶在這一年內沒有提出賠償要求，則給予

2、額外補助；（2）客戶被分成0，1，2，3類，新客戶屬于0類；級別越高，從保險費中得到的回扣越多；（ 3）當客戶續(xù)保時，若上一年中沒有要求賠償，則提高一個類別；若上一年中要求過賠償，則降低兩個類別或0類；（ 4）客戶不論是由于自動終止保險還是則某種原因（例如事故死亡），保險公司將退還保險金的適當部分?，F(xiàn)在政府為了減少交通事故，參考其他城市的做法，制定了一系列安全法規(guī)。根據(jù)其他城市的經驗，實行安全法規(guī)以后，死亡的司機減少40，一般來講醫(yī)療費也會減少20至40。問題是想知道這樣以后保險公司所制定的保險費是應該增加還是應該減少，提出一般的解答方法并運用已知的該公司在某一年的保險數(shù)據(jù)來驗證所提出的方法的

3、正確性。2 問題分析：題目所要求的是在執(zhí)行安全法規(guī)前后該汽車保險公司所制定的保險費的變化情況。社會保險的作用就在于分擔風險，汽車保險費由凈保費和附加保費兩部份構成，附加保費用于支付保險公司的營業(yè)費用，這部份費用可假定是不變。因而問題的關鍵就在于凈保費的變化。凈保費在數(shù)量上應該滿足保險公司的收支平衡。因而通過對對本年各個數(shù)據(jù)的分析、求解來確定下一年的凈保費的金額。雖然投保人數(shù)的變化與保險費的多少有關，但通過合理的假設（每輛車都必須投保）以及在頒布法規(guī)的情況下各個保險公司的保險費都會發(fā)生相似的變化（就可以忽略各保險公司的競爭）可以得到投保人數(shù)的變化不依賴于保險費的變化。所以本題所要解決的主要問題就

4、是下一年的事故賠償費總額的估算和總投保人數(shù)的估算。最后通過得到的各類的凈保費以及已知的該類的保險費折扣率來計算得到基本保險費。模型建立部分分為兩個過程，首先解決沒有頒布法規(guī)的情況，再在此基礎上解決法規(guī)頒布了的情況。3 合理假設：a）每一類別中總投保人數(shù)等于續(xù)保人數(shù)與新投保人數(shù)之和，注銷人數(shù)等于自動終止保險人數(shù)與死亡人數(shù)之和。b）每一類別的沒有索賠的比例（所交保險費的折扣率）不變，自動終止保險人數(shù)與總投保人數(shù)比例不變，死亡司機人數(shù)與索賠人數(shù)比例不變，每年的新投保人數(shù)按等比例增長。c）下一年的平均死亡賠償費，平均修理費，平均醫(yī)療費不變，下一年的平均償還退回的保險金額不變，注銷人平均所得到的償還退回

5、金金額不變。d）頒布了法規(guī)的情況下，每個類別的死亡司機比沒有頒布法規(guī)時都減少40%。4符號說明n總人數(shù)；沒有頒布法規(guī)情況下，下一年第i類投保人數(shù)頒布法規(guī)情況下，下一年第i類投保人數(shù)w費用沒有頒布法規(guī)情況下，下一年第i類費用頒布法規(guī)情況下，下一年第i類費用比例系數(shù)i類的沒有索賠補比例（即所交基本保險費的折扣率）。新投保人數(shù)的增長比例。各類投保人所承擔的平均事故賠償費。Y沒有頒布法規(guī)的情況下，下一年的基本保險費。其中，中文下標“總”表示總投保人數(shù)或總索賠費用，“續(xù)”表示續(xù)保人數(shù)，“新”表示新投保人數(shù)，“注”表示注銷人數(shù)，“索”表示索賠人數(shù)，“死”表示死亡人數(shù)或死亡賠償費，“修”表示修理費，“醫(yī)”表

6、示醫(yī)療費，“退索”表示自動退保人中索賠過的人數(shù)。5模型建立5.1未頒布法規(guī)的情況下下一年的基本保險費估算先將各種數(shù)據(jù)計算如下：（i）下一年3類總投保人數(shù)=3類續(xù)保人數(shù)一3類注銷人數(shù)一3類降為1類的人數(shù)（索賠人數(shù)）+3類注銷人中索賠過的人數(shù)（包括3類死亡人數(shù)和3類自動退保人中索賠過的人數(shù)）（因為索賠人數(shù)和注銷人數(shù)中都包括這部份人）+2類升為3類的人數(shù)，即：m,3續(xù)3-n注3n索3+n死3+1索3+n續(xù)2n注2n索2+n死2（1）（ii）下一年2類總投保人數(shù)=1類升為2類的人數(shù)=1類續(xù)保人數(shù)一1類注銷人數(shù)-1類降為0類的人數(shù)(即索賠人數(shù))+1類死亡人數(shù)+1類自動退保人中索賠過的人數(shù)，即：m總2=小

7、賣1n注in索+n死+n退索1(2)(iii)下一年1類總投保人數(shù)=0類升為1類的人數(shù)=0類總投保人數(shù)一0類注銷人數(shù)一0類索賠人數(shù)+0類死亡人數(shù)+0類自動退保人中索賠過的人數(shù)+3類降為1類的人數(shù)(3類索賠人數(shù)一3類死亡人數(shù)一3類自動退保人中索賠過的人數(shù))，即：m總1口總、0%主0n索0+n死0*n退索0+n索3-n死3n退索3(3)(iv)下一年0類總投保人數(shù)=0類索賠人數(shù)一0類死亡人數(shù)一0類自動退保人中索賠過的人數(shù)+1類降為0類的人數(shù)(1類索賠人數(shù)一1類死亡人數(shù)一1類自動退保人中索賠過的人數(shù))+2類降為1類的人數(shù)(2類索賠人數(shù)一2類死亡人數(shù)一2類自動退保人中索賠過的人數(shù))+下一年的新投保人數(shù)

8、，即：m總0=口索0n死0n退索0+n索一n死一n退索1+n索2n死2n退索2+m新(4)(v)下一年的自動退保人數(shù)與總投保人數(shù)成比例，同時注銷人數(shù)等于自動退保人數(shù)與死亡人數(shù)之和，即：m注i=mi父館i+m死i(5)(vi)下一年的死亡人數(shù)與索賠人數(shù)成比例，即：mfei=meik死i(6)再根據(jù)我們的假設，所收的基本保險費總和與所支出的達到收支平衡，即：333、工m索i+Y£(m總i一m索iX1-wi尸工3醫(yī)im索i+Mm索i+覬im死i)5.F頒布法則情況下下一年的基本保險費估算頒布法規(guī)之后，新的收支平衡方程：333Y1*£罹i+Y2E(m總iiX1-wi尸工(sMimt

9、i+%mii+鼠mi)(8)5.39下面討論饋布法令后，醫(yī)藥費降低層的情況：333Y*£m，i+Y*£(m總i-m1i)(1wi)=£(s醫(yī)i(1一")m；i+s修mJ+s死imi1i)(9)分力機20%補我0%im6模型求解及結果分析利用上述等式，計算得到以下數(shù)據(jù)：(1) =732;=454。從上面這個計算結果發(fā)現(xiàn)，頒布法令后，所收取的保險費減少了，這說明法令對交通事故起了一定的抑制作用。(2)年數(shù)12345=20%,350.2325324.8081330.4525380.9776480.8917=40%,323.8117301.7184307.744

10、2355.0825448.3025從上面這個計算結果發(fā)現(xiàn)，當=20%和40%時，五年內的費用都是先下降后上升。根據(jù)經濟學有關知識，開始的一段時間，法規(guī)的頒布對交通事故有抑制作用，因為保險費中各種支出的減少，所以導致保險費的有一定的減少，隨著時間的推移，雖然每個人索賠者得到的醫(yī)療費維持不變(都是維持在現(xiàn)階段相應比例的情況下)，但是由于索賠比例人數(shù)的下降導致了續(xù)保這種2、3級人數(shù)不斷上升，返還給他們的折扣在保險費中占了相當?shù)谋壤瑢е卤ｋU費出現(xiàn)反彈。7誤差分析：本題與現(xiàn)實會有一定誤差，主要在于我們的幾個假設。為了方便計算，我們假設了b)自動終止保險人數(shù)與總投保人數(shù)比例不變和死亡司機人數(shù)與索賠人數(shù)比

11、例不變，而這些會產生一定誤差，只是誤差不會很大。假設b)每年的新投保人數(shù)按等比例增長，而實際上每年來保險公司投保的人數(shù)受報單價格和保險公司聲譽影響，不一定是按我們假設的成固定增長率增長。另外我們假設下一年的平均死亡賠償費，平均修理費，平均醫(yī)療費不變,這假設一般來說是合理的，但是如果遇到物價或市場不穩(wěn)定的時候，還要另外考慮它們的變化情況。8模型評價：本文所做的模型是在對許多現(xiàn)實做了近似假設的前提下建立起來所，有較大的誤差在所難免。模型中沒有討論現(xiàn)金的現(xiàn)值變化，所求得的一些重要的比例參數(shù)只由一年的數(shù)據(jù)算得，無法十分精確的與現(xiàn)實生活擬合。根據(jù)一些文獻資料，我們發(fā)現(xiàn)，個人索賠次數(shù)服從泊松分布的假設源于

12、前人的大量統(tǒng)計得出，能夠較好地模擬現(xiàn)實。但是考慮到模型較復雜，會有相當?shù)挠嬎銖碗s度，以及時間緊迫，我們還是采取了簡單的直接用頻率方法確定索賠次數(shù)，進而建立初等模型，列出方程，也應當有較好的模擬性。9附錄下面是用matlab計算數(shù)據(jù)的程序1未頒布法令的情況：n=384620000;n1=1280708176489711544618760058;n2=182642824013857324114;n3=582756582463115857700872;n4=116522331522927013;w=00.250.40.5;s1=10201223947805;s2=15261231823814;N=n

13、1+n;a=(n3-n4)./(N-n4);n5=(n2-n4).*a;m1(1)=n3(1)+n3(2)+n3(2)-n4(1)-n4(2)-n4(3)-n5(1)-n5(2)-n5(3);m1(2)=N(1)+n3(4)+n5(1)+n4(1)-n5(4)-n4(4)-n2(1);m1(3)=n1(2)+n4(2)+n5(2)-n2(2)-n3(2);m1(4)=n1(4)+n4(4)+n5(4)+n1(3)+n4(3)-n2(4)-n3(4)-n2(3)-n3(3);m=k*sum(m1);M=m1;M(1)=M(1)+m;k1=n2./N;k2=n4./n3;k=n(1)/sum(n1

14、);k3=n3./N;m3=k3.*m1;m4=m3.*k2;m2=M.*k1+m4;s=1894*10A6/sum(n4);sz=70000000/sum(n2);s3=m3.*s1+(m3-m4).*s2+m4.*s+m2*sz;S=sum(s3);H=(M-m3).*(1.-w);X=S/(sum(H)+sum(m3)2 .頒布法令之后：n=384620000;n1=1280708176489711544618760058;n2=182642824013857324114;n3=582756582463115857700872;n4=116522331522927013;w=00.250

15、.40.5;s1=10201223947805;s2=15261231823814;N=n1+n;a=(n3-n4)./(N-n4);n5=(n2-n4).*a;m1(1)=n3(1)+n3(2)+n3(2)-n4(1)-n4(2)-n4(3)-n5(1)-n5(2)-n5(3);m1(2)=N(1)+n3(4)+n5(1)+n4(1)-n5(4)-n4(4)-n2(1);m1(3)=n1(2)+n4(2)+n5(2)-n2(2)-n3(2);m1(4)=n1(4)+n4(4)+n5(4)+n1(3)+n4(3)-n2(4)-n3(4)-n2(3)-n3(3);m=k*sum(m1);M=m1

16、;M(1)=M(1)+m;k1=n2./N;k2=n4./n3;k=n(1)/sum(n1);k3=n3./N;m3=k3.*m1;m4=m3.*k2;m2=M.*k1+m4;m4=m4.*0.6;m3=m4./k2;s=1894*10A6/sum(n4);sz=70000000/sum(n2);s3=m3.*s1+(m3-m4).*s2+m4.*s+m2*sz;S=sum(s3);H=(M-m3).*(1.-w);X=S/(sum(H)+sum(m3)S3 頒布法令，醫(yī)藥費下降20%以及40%的情況(下面程序中的X即就是)n=384620000;n1=12807081764897115446

17、18760058;n2=182642824013857324114;n3=582756582463115857700872;n4=116522331522927013;w=00.250.40.5;s1=10201223947805;s2=15261231823814;k=n(1)/sum(n1);k1=n2./N;k2=n4./n3;k3=n3./N;s=1894*10A6/sum(n4);sz=70000000/sum(n2);N=n1+n;a=(n3-n4)./(N-n4);n5=(n2-n4).*a;m1(1)=n3(1)+n3(2)+n3(2)-n4(1)-n4(2)-n4(3)-n5

18、(1)-n5(2)-n5(3);m1(2)=N(1)+n3(4)+n5(1)+n4(1)-n5(4)-n4(4)-n2(1);m1(3)=n1(2)+n4(2)+n5(2)-n2(2)-n3(2);m1(4)=n1(4)+n4(4)+n5(4)+n1(3)+n4(3)-n2(4)-n3(4)-n2(3)-n3(3);m=k*sum(m1);M=m1;M(1)=M(1)+m;m3=k3.*m1;m4=m3.*k2;m2=M.*k1+m4;m4=m4.*0.6;m3=m4./k2;sg=s2*(1-l(2);s3=m3.*s1+(m3-m4).*sg+m4.*s+m2*sz;S=sum(s3);H=(M-m3).*