第12講期權(quán)和期權(quán)定價2

1、.1第一部分 期權(quán)風(fēng)險度量指標(biāo)第二部分 二叉樹模型第三部分 期權(quán)套利策略第12講 期權(quán)和期權(quán)定價2.2期權(quán)價格受多種因素的影響，期權(quán)風(fēng)險評價參數(shù)通常用Delta，Gamma，Vega，Rho等。通過這些參數(shù)可有助于把握期權(quán)價格變動，衡量和管理風(fēng)險。一、 Delta第第1 1部分部分 期權(quán)風(fēng)險度量模型期權(quán)風(fēng)險度量模型.3 Delta也表示為或，稱為對沖比，衡量期權(quán)價格變化與期權(quán)標(biāo)的物價格變化之間的關(guān)系，即期權(quán)價格與期權(quán)標(biāo)的物價格關(guān)系曲線的斜率。 其衡量的是期權(quán)對期權(quán)標(biāo)的物價格變動所面臨的風(fēng)險程度的指標(biāo)。 期權(quán)距離到期日越長，實(shí)值、虛值、平值三種期權(quán)的Delta越接近，反之，期權(quán)距離到期日的時間越

2、接近，這三種期權(quán)的Delta差距越大。 套保者可借助Delta計算對沖特定標(biāo)的物需要的期權(quán)合約的數(shù)量。.4l二、Gammal即即，衡量的是期權(quán)標(biāo)的物價格變化所引起的，衡量的是期權(quán)標(biāo)的物價格變化所引起的Delta 值的變化。準(zhǔn)確來說，是期權(quán)值的變化。準(zhǔn)確來說，是期權(quán)Delta 變變化相對于標(biāo)的物價格變化的比率?；鄬τ跇?biāo)的物價格變化的比率。l因此，Gamma是衡量Delta相對標(biāo)的物價格變動的敏感性指標(biāo)，是期權(quán)價格對標(biāo)的物價格的二階導(dǎo)數(shù)，反映Delta變化的頻率或速度。l該數(shù)值絕對值越大，風(fēng)險程度越高；絕對值越小，風(fēng)險程度越低.5.6l看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的Gamma值都是正值；l深度實(shí)值和深度虛

3、值的Gamma值接近于0l對于其他合約內(nèi)容相同的期權(quán)，平值期權(quán)的Gamma值大于實(shí)值期權(quán)或虛值期權(quán)的Gamma值l（三）Theta指標(biāo)l即,用于衡量期權(quán)理論價值因為時間縮短而下降的速度，是時間縮短的風(fēng)險度量指標(biāo)。l無論看漲還是看跌期權(quán)，隨著時間縮短都會造成期權(quán)理論價值下降。.7l當(dāng)其他條件不變時，期權(quán)價值隨到期日的臨近而當(dāng)其他條件不變時，期權(quán)價值隨到期日的臨近而不斷加速衰減，不斷加速衰減，因此，因此，期權(quán)多頭期權(quán)多頭ThetaTheta值為負(fù)值；值為負(fù)值；期權(quán)空頭的期權(quán)空頭的ThetaTheta值為正值，對于賣方，隨著到值為正值，對于賣方，隨著到期時間來臨行權(quán)的可能下降。期時間來臨行權(quán)的可能下

4、降。l對于其他合約條款相同的期權(quán)，平值期權(quán)對于其他合約條款相同的期權(quán)，平值期權(quán)ThetaTheta值大于實(shí)值或虛值期權(quán)。值大于實(shí)值或虛值期權(quán)。.8l四、Vega期權(quán)l(xiāng)即，定義為期權(quán)價格的變化與標(biāo)的物價格波動率變化的比率。隨著時間流逝，標(biāo)的物價格波動率變化會引起期權(quán)價格的變動。lVega衡量期權(quán)標(biāo)的物價格波動對期權(quán)價格的影響。lVega=期權(quán)價格的變化/標(biāo)的物價格波動率變化l期權(quán)多頭Vega值為正值，期權(quán)空頭Vega值為負(fù)值。l五、Rho指標(biāo)l即即，定義為期權(quán)價格的變化與利率變化之間，定義為期權(quán)價格的變化與利率變化之間的比率，用來衡量期權(quán)理論價值對于利率變動的比率，用來衡量期權(quán)理論價值對于利率變

5、動的敏感性，計量利率變動帶來的風(fēng)險。的敏感性，計量利率變動帶來的風(fēng)險。.9lRho=期權(quán)價格的變化/利率變化l一般來說，實(shí)值期權(quán)Rho值平值期權(quán)虛值期權(quán)的Rho值，對于深度虛值期權(quán)來說，Rho值接近于0.10l第二部分 二叉樹期權(quán)定價模型.11l一、假設(shè)前提l二叉樹模型常被用于描述金融市場中變量的隨機(jī)行為，比如股票價格、股票指數(shù)、外匯匯率和利率等。l二叉樹期權(quán)定價模型是常用的期權(quán)定價模型之一。l約翰.考克斯，羅斯，馬克.魯賓斯坦因在1979年發(fā)表的論文中最初提到該理論的要點(diǎn)。l所謂的二叉樹是指標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化只存在兩種可能性，即上漲或下跌，其對實(shí)際情況有所簡化，但是模型可以最終延伸之包括所有

6、的可能性。.12二叉樹模型可以用來對典型的不支付股息的歐式期權(quán)公平定價，也可以將該模型修改后對美式期權(quán)及支付股息的期權(quán)定價。二叉樹模型滿足系列假設(shè)條件：第一，交易成本和稅收為0第二，投資者可以以無風(fēng)險利率借入或貸出資金第三，市場無風(fēng)險利率為常數(shù)第四，股票的波動率為常數(shù)第五，不支付股票紅利.13鑒于一旦出現(xiàn)套利機(jī)會，市場參與者可以隨時準(zhǔn)備利用這些套利機(jī)會，這意味著任何可以利用的套利機(jī)會將很快消失。為此，我們假定不存在套利機(jī)會。符號表示：S:期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的即期價格X:期權(quán)執(zhí)行價格T：期權(quán)到期時間ST：T時刻標(biāo)的資產(chǎn)的價格：期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的標(biāo)準(zhǔn)差r：T時刻到期的投資的無風(fēng)險利率，r0c：看漲期

7、權(quán)價格；p：看跌期權(quán)價格.14二、一階段二叉樹的引入二、一階段二叉樹的引入簡單的離散型的二叉樹模型分析：一階段是指：標(biāo)的資產(chǎn)價格變化從一個給定的價格開始，在期權(quán)到期時價格變化為一個新的價格。在這里我們定義一個階段后，標(biāo)的資產(chǎn)價格上升至Su或下降到Sd，并且期權(quán)為歐式期權(quán)。（一）構(gòu)造一階段二叉樹模型（一）構(gòu)造一階段二叉樹模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格升到S+，看漲期權(quán)價格為C+，同樣標(biāo)的資產(chǎn)價格下降到S-，期權(quán)價格為C-。.15一階段二叉樹模型S(C=?)S+c+=max（0，s+-x）S-（c-= max（0，s-x） ）.16當(dāng)期權(quán)到期時，其價格等于其內(nèi)涵價值。即：C+=max（0，S+-X）C-=m

8、ax（0，S-X）此時，看漲期權(quán)價格c未知，求c。增加兩個參數(shù)，u表示標(biāo)的資產(chǎn)價格上漲，d表示標(biāo)的資產(chǎn)價格下跌u=S+/S d=S-/S 假設(shè)我們知道除c外所有的變量信息，現(xiàn)構(gòu)造一個無風(fēng)險對沖組合，該投資組合由標(biāo)的資產(chǎn)和一份賣出看漲期權(quán)組成，此時，買入n數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)，n為套保比例。該投資組合的價值為H。H=nS-c 即意味著我們擁有n數(shù)量的價格為s的標(biāo)的資產(chǎn)，同時賣出一份看漲期權(quán).17l一階段后，該投資組合的價值為H+或H-lH+=ns+-c+lH-=nsc-l由于該組合為無風(fēng)險的對沖組合，應(yīng)當(dāng)達(dá)到下述效果：即無論標(biāo)的資產(chǎn)價格如何變動，組合的價值都是不變的，因此，H+=H-，這意味著H+=n

9、s+-c+=nsc-ln=（c+-c-）/(s+-s-)l一個無風(fēng)險對沖組合的價值是按照無風(fēng)險利率增長的，假定：lH+=HerTlH-=HerTl把H+,H-，H分別代入后，得到看漲期權(quán)的公式：lc=pc+（1- p）c- e-rTlp=（erT-d）/(u-d)l期權(quán)的即期價格為兩種可能期權(quán)價格的加權(quán)平均值，權(quán)重分別為p和1-p。這個加權(quán)平均值再貼現(xiàn)為現(xiàn)值，就成為即期期權(quán)價格.18lp和1-p實(shí)際為風(fēng)險中性概率，該定價過程也稱為風(fēng)險中性定價。l同理可得看跌期權(quán)的定價公式：lp=p+（1- ）p- e-rTl舉例說明：l假定標(biāo)的物為不支付股息的股票，其現(xiàn)在價值為50美元，股票價格可能上漲的幅度

10、為25%，可能下跌的幅度為20%，看漲期權(quán)的執(zhí)行價格為50美元，無風(fēng)險利率為7%，求該期權(quán)現(xiàn)在價格。lS+=62.5lS-=40lU=1.25 d=0.8 一階段后期權(quán)價值為：.19lC+=max（0，s*-x）=12.5lC-= max（0，s*-x） =max（0,40-50）=0l=（erT-d）/(u-d)=（e0.07-0.8）/0.45=0.61lC= pc+（1- p）c- e-rT= 0.61*12.5+0.39*0e-0.07=7.11.20（二）兩階段的二叉樹模型兩階段二叉樹模型表達(dá)式，在一階段的基礎(chǔ)上，延伸模型更加貼近現(xiàn)實(shí)，資產(chǎn)價格變化多于兩種結(jié)果。S(C=?)S+（c+

11、）S-（c-）S+C+=max（0，s+-x）S+-=s-+（c+-=c-+=max（0，s+-x）S-C-=max（0，s-x）.21l先觀察第一階段末：lC+= c+（1- ）c+- e-rTlC-= c-+（1- ）c- e-rTl = erT-d /(u-d)lC= c+（1- ）c- e-rTl= （ c+（1- ）c+-）+（1- ）（）（ c-+（1- ）c-） e-2rTl= e-2rT 2c+ 2 （1- ）c+-）+（1- ）2c- .22l練習(xí)：l假定標(biāo)的物為不支付股息的股票，其現(xiàn)在價值為50美元，假定兩階段模型中股票價格可能上漲的幅度為11.8%，可能下跌的幅度為10.

12、56%，看漲期權(quán)的執(zhí)行價格為50美元，無風(fēng)險利率為3.44%，則：l（1）一階段后期權(quán)的價格分別為多少？l（2）現(xiàn)在期權(quán)的價格為多少？.23l解析：lS+=50*1.118*1.118=62.5lS+-=50*1.118*0.8944=50lS-=50*0.8944*0.8944=40lC+=max(0,s+-50)=12.5lC+-=max(0,0)=0lC-=max(0,40-50)=0lU=1.118*1.118=1.25ld=0.8944*0.8944=0.8l=erT-d /(u-d)=(e0.0344-0.8944)/（1.118-0.8944）=0.6288.24lC+= c+（

13、1- ）c+- e-rT=（0.6288*12.5+0.3712*0）e-0.0344=7.5616lC-= c-+（1- ）c- e-rT=0lC= c+（1- ）c- e-rTl=（erT-d）/(u-d)=（e0.0344-0.8944）/(1.118-0.8944) =0.6288lC= c+（1- ）c- e-rTl=(0.61*7.5616+0.39*0)*e-0.0344l=4.46.25l三、布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價模型l布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價模型簡稱B-S模型，首先由布萊克和斯科爾斯于1972年提出，1973年5月他們在Journal of Political Econom

14、y雜志發(fā)表了期權(quán)與公司負(fù)債的定價一文，推導(dǎo)出無紅利支付股票的任何衍生品的價格必須滿足的微分方程，并成功得出歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價的精確公式，使得期權(quán)和其它衍生品產(chǎn)品的定價理論獲得突破性進(jìn)展，從而成為期權(quán)定價的經(jīng)典模型。l其創(chuàng)新是將套利用于解決期權(quán)的定價問題，引進(jìn)了風(fēng)險中性定價并推導(dǎo)出布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價模型，該模型對金融市場影響深遠(yuǎn)。.26l布萊克-斯科爾斯模型給出了期權(quán)價格理論上的價格參考，實(shí)際過程中由于價格波動性的估算差別，投資者對期權(quán)出價也會有較大出入。在國外期權(quán)交易中，投資者只要將權(quán)利金的基本因素輸入軟件程序就可立即知道權(quán)利金的理論價格。l（一）布萊克-斯科爾斯期權(quán)模型基本形式

15、l定價方法的基本思想：期權(quán)價格及其所以來的標(biāo)的資產(chǎn)價格都收到同一種不確定性因素的影響，兩者遵循相同的維納過程。l如果通過建立一個包含恰當(dāng)?shù)难苌Y產(chǎn)頭寸和標(biāo)的資產(chǎn)頭寸的資產(chǎn)組合，可以消除維納過程，標(biāo)的資產(chǎn)頭寸與衍生資產(chǎn)頭寸的盈虧可以相互抵消。這樣構(gòu)造的資產(chǎn)組合為無風(fēng)險的資產(chǎn)組合，在不存在無風(fēng)險套利的情況下，該資產(chǎn)組合收益率應(yīng)等于無風(fēng)險利率。.27l1.BS模型的假設(shè)條件l股票價格服從對數(shù)正態(tài)概率分布，股票預(yù)期收益率與價格波動率為常數(shù)l無風(fēng)險利率已知且保持不變l期權(quán)有效期內(nèi)沒有紅利支付l不存在無風(fēng)險套利機(jī)會l證券交易為連續(xù)進(jìn)行l(wèi)投資者能夠以同樣的無風(fēng)險利率借入和借出資金l沒有交易成本和稅收，所有證

16、券均可無限可分.28l2.BS基本定價公式l在上述假設(shè)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造資產(chǎn)組合，其中K為期權(quán)的執(zhí)行價格,那么，歐式看漲期權(quán)在風(fēng)險中性世界里，當(dāng)期權(quán)到期時的期望值為lEmax（ST-K,0) l歐式看漲期權(quán)的價格等于這個期望值以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即e-rTEmax（ST-K,0) 。l無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價公式進(jìn)一步表達(dá)為：lc=e-rTSN(d1）erT-KN（d2） l=SN(d1）-e-rTKN（d2） l其中，N（d2） 代表風(fēng)險中性世界里期權(quán)被行使的概率，KN（d2） 代表執(zhí)行價格乘以執(zhí)行價格被支付的概率.29lSN(d1）erT表示在STK時等于S，在其它情形等于0的變量在風(fēng)

17、險中性世界的期望值。lB-S模型一般只能用于歐式期權(quán)定價，但是，由但是，由于在沒有紅利支付的情況下，美式看漲期權(quán)不于在沒有紅利支付的情況下，美式看漲期權(quán)不會提前執(zhí)行，因此，其價值與對應(yīng)的歐式看漲會提前執(zhí)行，因此，其價值與對應(yīng)的歐式看漲期權(quán)一致。期權(quán)一致。l根據(jù)風(fēng)險中性假定，在標(biāo)的資產(chǎn)無收益的情況下，無收益美式看漲期權(quán)與無收益歐式看漲期權(quán)的價值相等，因此，上述公式也是無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)定價公式.30l無收益歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足一定的平價公式，因此，歐式看跌期權(quán)定價公式為：lP= Ke-rTN（-d2）-SN(-d1）l其中，N(d1）和N（d2）表示d1和d2的值分別計算正態(tài)概率分布值

18、。ld1=ln（s/K）+（r+2/2）（T-t）/ （T-t）1/2d2=d1- （T-t）1/2 =ln（s/K）+（r-2/2）（T-t）/ （T-t）1/2l在公式中，期權(quán)價值取決于5個變量：l標(biāo)的資產(chǎn)即期價格S，期權(quán)執(zhí)行價格Kl無風(fēng)險利率r，期權(quán)到期時間T，t為當(dāng)前時點(diǎn)l標(biāo)的資產(chǎn)的價格標(biāo)準(zhǔn)差（波幅） .31l在這五個變量中，只有波幅是未知的，需要對期權(quán)的到期日波幅進(jìn)行預(yù)測。lN（.）-標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累計概率分布函數(shù)l從理論上來說，BS模型只有在r為常數(shù)時才正確，實(shí)踐中，利率r等于期限為T的無風(fēng)險投資者利率。l該模型的優(yōu)越性：l變量均可觀察或估計；l期權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)的期望收益無關(guān)，即風(fēng)

19、險中性定價，期權(quán)價格不依賴于投資者的風(fēng)險偏好，簡化了期權(quán)的定價；.32l（二）有收益資產(chǎn)期權(quán)定價模型l莫頓推出的l假設(shè)紅利率為qlQ使得股票價格增長率比不支付紅利率時減少ql如果連續(xù)支付紅利的股票價格從現(xiàn)在的S增加的T時的ST ，則沒有紅利支付時股票價格從現(xiàn)在的S增加到T時刻的ST e-rt，這也可以看做是有紅利支付時股票價格從ST e-rt增加到ST 。l將代替BS中的S，可以得到有收益資產(chǎn)期權(quán)定價模型。lc= ST e-rt N(d1）-e-rTKN（d2） lP= Ke-rTN（-d2）- ST e-rt N(-d1）.33ld1=ln（s/K）+（r-q+2/2）（T-t）/ （T-t）1/2d2=d1- （T-t）1/2l=ln（s/K）+（r-q-2/2）（T-t）/ （T-t）1/2.34l（三）期貨期權(quán)的定價l1976年，布萊克研究了期貨期權(quán)定價模型，研究發(fā)現(xiàn)，期貨價格行為類似于紅利率等于r的股票價格行為。因此，期貨期權(quán)定價和連