第五章定積分

1、第5章 定 積 分積分（integral）思想的起源遠遠地先于微分，早在古希臘時期就已經(jīng)萌芽. 我國魏晉時期劉徽的割圓術(shù)，也已孕育著近代積分學(xué)（integral calculus）的思想. 但是直到 17 世紀后半葉，牛頓和萊布尼茲在總結(jié)諸多前輩成果的基礎(chǔ)上才建立起比較完整的積分學(xué)理論思想體系. 如今它已成為諸多科學(xué)領(lǐng)域的理論基礎(chǔ). 本章主要討論定積分的基本概念、性質(zhì)、變限函數(shù)、微積分基本定理、定積分的計算、廣義積分等.5.1 定積分的基本概念和性質(zhì) 面積這個詞對于我們最熟悉不過了，買房時需計算房屋的建筑面積，加工材料時需計算物體的表面積，測量河流的流量時需計算河床斷面的面積，設(shè)計船體時需計算

2、水線面的面積，對于規(guī)則平面圖形（如三角形，梯形，矩形等） ，我們用初等數(shù)學(xué)的方法就可以求其面積，而對于不規(guī)則的平面圖形，例如將直角梯形 ABCD（見圖 ）的斜邊 AB 換為曲邊（見圖 ） ，雖然只作了少許改動，但卻給我們的計算帶來很大的困難，用初等數(shù)學(xué)求面積的方法已不再奏效.。實際上， 因為任何平面圖形的面積均可表示成若干個如圖 所示的四邊形的面積的代數(shù)和，因此求這種含一條曲邊的四邊形的面積是計算一般平面圖形面積的關(guān)鍵所在，為了便于今后的討論，我們稱這種含一條曲邊的四邊形為曲邊梯形.。 曲邊梯形的面積 如圖 所示，由連續(xù)曲線所圍成一曲邊梯形 AabB，如何計算它的面積呢？ 眾所周知，矩形的面積

3、等于底乘以高，而與曲邊梯形最相近且最易計算面積的平面圖形就是矩形，但由于曲邊梯形在底邊各點處的高在區(qū)間, ab 上是變動的，所以不能直接按矩形的面積公式計算曲邊梯形的面積. 進一步分析可以發(fā)現(xiàn)，雖然曲邊梯形的高f(x) 在區(qū)間a,b上是連續(xù)變化的，但在很小的區(qū)間內(nèi)它的變化很小，近似于不變，因此如果將區(qū)間a,b分成若干個小區(qū)間（見圖 ） ，在每個小區(qū)間上用其中一點處的高近似代替相應(yīng)小曲邊梯形的高，即用“以直代曲”的方法，這樣小曲邊梯形的面積就可以用同底的小矩形的面積近似代替，然后將這些小矩形的面積求和（圖 中陰影部分的面積） ，那么就得到曲邊梯形面積的一個近似值. 怎樣才能將誤仔細分析可以發(fā)現(xiàn)，

4、 造成誤差的主要原因在于 “以直代曲” ，即將小曲邊梯形的面積用同底的小矩形的面積近似代替. 要減小誤差， 就要盡量使小曲邊梯形的曲邊變化進一步更小， 更接近于直邊. 為此， 將區(qū)間, ab分割成更多的小區(qū)間，將原曲邊梯形分割成更多的小曲邊梯形（見圖 ） ，此時小曲邊梯形的曲邊的變化顯然比前者減少了許多. 用同樣的方法又可得到曲邊梯形面積的近似值（見圖 中陰影部分的面積） ，誤差明顯地減少了許多.因此，只要將a,b無限地細分下去，使得所有小區(qū)間的長度都無限減小，趨于 0，這時所有小矩形面積的和越來越接近曲邊梯形面積的精確值，其極限如果存在即為所求曲邊梯形AabB的面積. 將上面求曲邊梯形面積的

5、思想、方法、歸納如下：（1） 化整為零. 如圖 所示，在區(qū)間a,b 內(nèi)任意插入若干分點 a=x0x1x2xn-1xn=b,把a,b分成n個小區(qū)間x0,x1,x1,x2,x2,x3,xn-1,xn,它們的長度依次為Dx1= x1-x0, Dx2= x2-x1,Dxn= xn-xn-1.經(jīng)過每一個分點作平行于y 軸的直線段, 把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形.（2） 積零為整. 在每個小區(qū)間xi-1,xi上任取一點x i, 以xi-1,xi為底、f (x i)為高的窄矩形近似替代第i個窄曲邊梯形(i=1,2,n), 把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值, 即Af (x 1)D

6、x1+f (x 2)Dx2+ f (x n)Dxn.（3）取極限.求曲邊梯形的面積的精確值: 顯然, 分點越多、每個小曲邊梯形越窄, 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值, 因此, 要求曲邊梯形面積A的精確值, 只需無限地增加分點, 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零. 記l=maxDx1,Dx2,Dxn, 于是, 上述增加分點, 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零, 相當于令l0. 所以曲邊梯形的面積為. 定積分的定義 拋開上述問題的具體意義, 抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括, 就抽象出下述定積分的定義. 定義設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界, 用分點a=x0x1x2x

7、n-1xn=b把a,b分成n個小區(qū)間:x0,x1,x1,x2,xn-1,xn, 記Dxi=xi-xi-1(i=1,2,n).任xixi-1,xi (i=1,2,n), 作和. 記l=maxDx1,Dx2,Dxn, 如果當l0時, 上述和式的極限存在, 且極限值與區(qū)間a,b的分法和xi的取法無關(guān), 則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分, 記作,即 .其中f (x)叫做被積函數(shù),f (x)dx叫做被積表達式,x叫做積分變量,a叫做積分下限,b 叫做積分上限,a,b叫做積分區(qū)間.根據(jù)定積分的定義, 曲邊梯形的面積為.在理解定積分的定義時，應(yīng)注意以下幾個方面：(1)定積分的值只與被積函數(shù)及

8、積分區(qū)間有關(guān), 而與積分變量的記法無關(guān), 即. (2)和通常稱為f (x)的積分和.(3)可積函數(shù)類；有限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的；有限區(qū)間上有有限個間斷點的有界函數(shù)是可積的 定積分的幾何意義 根據(jù)定積分的定義，定積分表示如下幾何意義。（1） 如果連續(xù)的被積函數(shù)f (x)0， 則 表示由曲線 y = f (x)， x軸及直線x=a x=b 所圍成的曲邊梯形的面積（見圖 ） ；2） 如果連續(xù)的被積函數(shù)f (x)0 ，則 表示由曲線 y = f (x)， x軸及直線x=a x=b 所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)（見圖 ） （3）如果連續(xù)的被積函數(shù)f (x)正負不定，則 表示由曲線y = f (x)

9、，x軸及直線x =a =，x=b 所圍成的一些小曲邊梯形的面積的代數(shù)和. 如圖 所示，有 =S2+S4-S1-S3例 】. 用定積分的幾何意義求. 解:函數(shù)y=1-x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0,1為底的曲邊梯形的面積. 因為以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0,1為底的曲邊梯形是一直角三角形, 其底邊長及高均為1, 所以.5.1.4 定積分的性質(zhì)性質(zhì) 1 如果f(x)在a,b 上可積，則 即定積分的上限與下限互換時，積分值變號. 特別地，當a=b 時，有 =0性質(zhì)2函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差) 即.性質(zhì)3 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面即. 性

10、質(zhì)4 如果將積分區(qū)間分成兩部分 則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和 即 .這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性.性質(zhì)5 如果在區(qū)間a, b上 f (x)g(x) 則(ab).性質(zhì)6 （估值定理）設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最大值及最小值,則(ab).性質(zhì)7 (定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù),則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個點x ,使下式成立:.【例 】 計算解 原式= =0【例 】 不計算定積分，比較下列積分值的大小解 因在區(qū)間0,1上，有 ，故由性質(zhì) 5 知 5.2 微積分基本定理利用定積分的定義通過積分和的極限求定積分是相當復(fù)雜

11、的，有時甚至根本無法求得積分的精確值，而利用定積分的幾何意義和性質(zhì)也僅能求一些簡單或特殊函數(shù)的積分值，那么能否找到一種行之有效的方法，使我們很方便地求出積分值呢？本節(jié)就來討論這個問題.5.2.1 積分上限函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù), 并且設(shè)x為a,b上的一點. 則f(x)在區(qū)間a,x也連續(xù)，從而也可積，根據(jù)定積分與積分變量的選擇無關(guān)的性質(zhì)將，我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間a,x上的定積分記為， 這樣對任 意x a,b ，都有唯一確定的與之對應(yīng)，因此，是定義于區(qū)間a,b上的函數(shù)， 稱為積分上限函數(shù)，記作F(x) , 即F(x)=，定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù), 則函數(shù)F(x

12、)就是f (x)在a,b上的一個原函數(shù).即F(x)(axa. 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a,+)上的反常積分, 記作, 即.這時也稱反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a,+)上的反常積分就沒有意義, 此時稱反常積分發(fā)散. 類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,b 上連續(xù), 如果極限(a0).解.提示:.例3討論反常積分(a0)的斂散性.解當p=1時,.當p1時,.因此, 當p1時, 此反常積分收斂, 其值為; 當p1時, 此反常積分發(fā)散. 二、無界函數(shù)的反常積分定義2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b上連續(xù), 而在點a的右鄰域內(nèi)無界. 取e0, 如果

13、極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b上的反常積分, 仍然記作, 即.這時也稱反常積分收斂.如果上述極限不存在, 就稱反常積分發(fā)散. 類似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b)上連續(xù), 而在點b 的左鄰域內(nèi)無界. 取e0, 如果極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在a,b)上的反常積分, 仍然記作, 即.這時也稱反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱反常積分發(fā)散.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上除點c(acb)外連續(xù), 而在點c的鄰域內(nèi)無界. 如果兩個反常積分與都收斂, 則定義.否則, 就稱反常積分發(fā)散. 瑕點: 如果函數(shù)f(x)在點a的任一鄰域內(nèi)都無界, 那么點a稱為函數(shù)f(x)的瑕點,

14、 也稱為無界定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b上連續(xù), 點a為f(x)的瑕點. 函數(shù)f(x)在(a,b上的反常積分定義為. 在反常積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱此反常積分收斂; 否則稱此反常積分發(fā)散. 類似地,函數(shù)f(x)在a,b)(b為瑕點)上的反常積分定義為.函數(shù)f(x)在a,c)(c,b (c為瑕點)上的反常積分定義為.反常積分的計算: 如果F(x)為f(x)的原函數(shù), 則有.可采用如下簡記形式:.類似地, 有,當a為瑕點時,;當b為瑕點時,.當c (acb )為瑕點時,.例4計算反常積分.解因為, 所以點a為被積函數(shù)的瑕點. 例5討論反常積分的收斂性. 解函數(shù)在區(qū)間-1,1上

15、除x=0外連續(xù), 且.由于,即反常積分發(fā)散, 所以反常積分發(fā)散.6.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 本節(jié)我們主要介紹定積分在幾何方面的兩個最基本的應(yīng)用，即求平面圖形的面積以及旋轉(zhuǎn)體的體積. 求平面圖形的面積 正如計算多邊形面積的關(guān)鍵是計算三角形的面積（任何一個多邊形都可以分解成若干個三角形）一樣，計算含有曲邊的一般平面圖形的面積的關(guān)鍵是計算曲邊梯形的面積，因為它可以分解為一些曲邊梯形面積的代數(shù)和. 如圖中平面圖形的面積A等于兩個曲邊梯形面積的差，即 A =【例 】求由曲線，和直線所圍成的平面圖形的面積. 解 如圖 所示，所圍平面圖形的面積可看作由直線 x =1 x =2 分別與直線y=x 曲線 所圍

16、兩個曲邊梯形面積的差，于是有A=1故所圍成的平面圖形的面積為1.【例 】 求由曲線及直線和軸所圍成的平面圖形的面積. 解 首先求兩曲線的交點，為此解方程得y = 2或 y =4，因此交點為(2, 2) 及(8, 4) ，畫出草圖（見圖），所求平面圖形的面積等于由直線 y =2，y= 4分別與 x= y+4，x = 所圍成曲邊梯形的面積之差于是有A=(+4y)=18【例 】 求由曲線 y=sin x ， y=cos x ，直線 x =及 y 軸所圍成的平面圖形（見圖）的面積. 解 由公式（）知，所求平面圖形的面積為=+=+=2（2） 求旋轉(zhuǎn)體的體積 在計算旋轉(zhuǎn)體的體積之前，我們先來討論平行截面面

17、積為已知的這樣一種空間幾何體的體積如圖所示，立體 位于垂直于x軸的兩平面x=a與x = b之間，已知過a,b上任一點x且垂直于x軸的平面與 相交的截面面積為A(x)，下面求 的體積. 首先將區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間，記為的長度，過每個分點，i=(1,2,n-1)作垂直于x軸的平面，這些平面將 截成n個小薄片. 然后將第i個小區(qū)間對應(yīng)的小薄片的體積用以為底，為高的小直柱體的體積近似代替，再把n個小直柱體的體積相加就得到 的一個近似值當小區(qū)間的最大長度x=max,i=1,2,趨于 0 時，上式右端的極限（即 A (x)在a,b上的定積分就是 的體積 V. 因此所謂旋轉(zhuǎn)體，就是平面上的一條封閉曲線繞此平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體. 而旋轉(zhuǎn)體的截面是圓面，可求其面積，因此我們可以利用公式（）求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)體的體積. 已知 y =f (x) 是區(qū)間a,b上的連續(xù)曲線，曲邊梯形 AabB（見圖 ）繞x軸旋轉(zhuǎn)