等腰三角形難題

1、等腰三角形補(bǔ)充練習(xí)一選擇題（共3小題）1在ABC中，B=30°，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，AD=BD，DE=CE，若ADE為等腰三角形，則C的度數(shù)為（）A20°B20°或30°C30°或40°D20°或40°2如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B是格點(diǎn)，以A、B、C為等腰三角形頂點(diǎn)的所有格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A7個(gè)B8個(gè)C9個(gè)D10個(gè)3如圖所示，在ABC中，AB=AC，BAD=，且AE=AD，則EDC=（）ABCD2 填空題（共14小題）5 在同一平面內(nèi)，已知點(diǎn)P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個(gè)頂點(diǎn)中

2、的任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成的三角形都是等腰三角形，則APC的度數(shù)為 6 等腰三角形的一腰上的高與另一腰的夾角為45°，則這個(gè)三角形的底角為 7 有兩個(gè)等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的頂角，甲的底長(zhǎng)等于乙的腰長(zhǎng)，甲的腰長(zhǎng)等于乙的底長(zhǎng)，則甲的底角是 度8如圖，BAC=（0°90°），現(xiàn)只用4根等長(zhǎng)的小棒將BAC固定，從點(diǎn)A1開(kāi)始依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1，則角的取值范圍是 9如圖，在ABC中，AC=BCAB，點(diǎn)P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P與ABC的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成PAB，PBC，PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 個(gè)1

3、0如圖所示，ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，則四個(gè)結(jié)論正確的是 P在A的平分線上； AS=AR； QPAR； BRPQSP11如圖，在ABA1中，B=20°，AB=A1B，在A1B上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)A1A2到A3，使得A2A3=A2D；，按此做法進(jìn)行下去，An的度數(shù)為 12 已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分為9和12兩部分，則腰長(zhǎng)為 ，底邊長(zhǎng)為 13如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AGCD于點(diǎn)G，則= 14如圖所示

4、，在ABC中，AB=AC，BAC=80°，P在ABC內(nèi)，PBC=10°，PCB=30°，則PAB= 15線段AB和直線l在同一平面上則下列判斷可能成立的有 個(gè)直線l上恰好只有個(gè)1點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)2點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)3點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)4點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)5點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)6點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形16如圖，ABC為正三角形，面積為SD1，E1，F(xiàn)1分別是ABC三邊上的點(diǎn)，且AD1=BE1=CF1=AB，可得D1E1F1，則D1E1

5、F1的面積S1= ；如，D2，E2，F(xiàn)2分別是ABC三邊上的點(diǎn)，且AD2=BE2=CF2=AB，則D2E2F2的面積S2= ；按照這樣的思路探索下去，Dn，En，F(xiàn)n分別是ABC三邊上的點(diǎn)，且ADn=BEn=CFn=AB，則Sn= 17 已知等腰ABC的周長(zhǎng)為10，若設(shè)腰長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是 18如圖，一個(gè)頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則1+2= 度2017年08月23日139*2832的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一選擇題（共4小題）1（2016秋資中縣期末）在ABC中，B=30°，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，AD=BD，DE=CE，

6、若ADE為等腰三角形，則C的度數(shù)為（）A20°B20°或30°C30°或40°D20°或40°【解答】解：如圖所示，AD=BD，B=30°，ADC=60°，DE=CE，可設(shè)C=EDC=，則ADE=60°，AED=2，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，DAE=120°，分三種情況：當(dāng)AE=AD時(shí)，有60°=2，解得=20°；當(dāng)DA=DE時(shí)，有120°=2，解得=40°；當(dāng)EA=ED時(shí)，有120°=60°，方程無(wú)解，綜上所述，C的度數(shù)為2

7、0°或40°，故選：D2（2016春乳山市期中）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B是格點(diǎn)，以A、B、C為等腰三角形頂點(diǎn)的所有格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A7個(gè)B8個(gè)C9個(gè)D10個(gè)【解答】解：如圖所示，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)C3、C8、C7即為點(diǎn)C的位置；以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)C1、C2、C6、C4、C5即為點(diǎn)C的位置；作線段AB的垂直平分線，垂直平分線沒(méi)有經(jīng)過(guò)格點(diǎn)故以A、B、C為等腰三角形頂點(diǎn)的所有格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為8個(gè)故選（B）3（2015天心區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，已知等邊ABC外有一點(diǎn)P，P落在BAC內(nèi)，設(shè)P到BC、CA、AB

8、的距離分別為h1，h2，h3，滿足h2+h3h1=6，那么等邊ABC的面積為（）A4B8C9D12【解答】解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，連接PA、PB、PC，則SPAB+SPACSPCB=SCAB，即ah1+ah2ah3=，a（h2+h3h1）=，h2+h3h1=6，a=4，SCAB=12，故選（D）4（1998杭州）如圖所示，在ABC中，AB=AC，BAD=，且AE=AD，則EDC=（）ABCD【解答】解：根據(jù)題意：在ABC中，AB=ACB=CAE=ADADE=AED，即B+EDC=C+EDC化簡(jiǎn)可得：=2EDCEDC=故選A二填空題（共14小題）5（2016江西模擬）在同一平面內(nèi)，已知

9、點(diǎn)P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成的三角形都是等腰三角形，則APC的度數(shù)為15°或30°或60°或75°或150°【解答】解：根據(jù)點(diǎn)P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成的三角形都是等腰三角形，作出如下圖形：由圖可得：AP1C=15°，AP2C=30°，AP3C=60°，AP4C=75°，AP5C=150°故答案為：15°或30°或60°或75°或150°6（2016秋東阿縣期中）等腰三角形的

10、一腰上的高與另一腰的夾角為45°，則這個(gè)三角形的底角為67.5°或22.5°【解答】解：有兩種情況；（1）如圖，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，BDAC于D，則ADB=90°，已知ABD=45°，A=90°45°=45°，AB=AC，ABC=C=×（180°45°）=67.5°；（2）如圖，當(dāng)EFG是鈍角三角形時(shí)，F(xiàn)HEG于H，則FHE=90°，已知HFE=45°，HEF=90°45°=45°，F(xiàn)EG=180°45°

11、;=135°，EF=EG，EFG=G=×（180°135°）=22.5°，故答案為：67.5°或22.5°7（2013香坊區(qū)三模）有兩個(gè)等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的頂角，甲的底長(zhǎng)等于乙的腰長(zhǎng)，甲的腰長(zhǎng)等于乙的底長(zhǎng)，則甲的底角是36°或60°度【解答】解：假設(shè)等腰三角形甲為ABC，等腰三角形乙為DEF（如圖所示）頂角為D根據(jù)題中的條件，甲的底長(zhǎng)等于乙的腰長(zhǎng)，甲的底角等于乙的頂角，我們可以將D挪到B點(diǎn)，使BC與DE重合，DF與AB重合，如果A為銳角，則F點(diǎn)在AB邊上，由于CF=AC，由圖知是不可能的如果

12、A為鈍角，則F點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上，由于CF=AC，得知乙的底角=2倍的頂角=2倍甲的底角，故可以解得甲的底角是36度；當(dāng)?shù)妊切渭缀鸵叶际堑冗吶切螘r(shí)，1=2=3=60°，即甲的底角是60°故答案是：36°或60°8（2013泰州一模）如圖，BAC=（0°90°），現(xiàn)只用4根等長(zhǎng)的小棒將BAC固定，從點(diǎn)A1開(kāi)始依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1，則角的取值范圍是1822.5【解答】解：A1A2=AA11=A2A1A3=2，2=A2A4A3=+2=3，3=A2A4A3+=4，由題意得：，18°22.5&

13、#176;9（2013宜興市一模）如圖，在ABC中，AC=BCAB，點(diǎn)P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P與ABC的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成PAB，PBC，PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6個(gè)【解答】解：如圖所示，作AB的垂直平分線，ABC的外心P1為滿足條件的一個(gè)點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，P2、P3為滿足條件的點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，P4為滿足條件的點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，P5、P6為滿足條件的點(diǎn)，綜上所述，滿足條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6故答案為：610（2013安徽模擬）如圖所示，ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，P

14、RAB于R，PSAC于S，則四個(gè)結(jié)論正確的是P在A的平分線上； AS=AR； QPAR； BRPQSP【解答】解：PR=PS，PRAB，PSAC，P在A的平分線上，在RtARP和RtASP中，RtARPRtASP（HL），AS=AR，QAP=PAR，AQ=PQ，PAR=QPA，QPA=QARQPAR，ABC為等邊三角形，B=C=BAC=60°，PAR=QPA=30°，PQS=60°，在BRP和QSP中，BRPQSP（AAS），項(xiàng)四個(gè)結(jié)論都正確，故答案為11（2012貴陽(yáng)）如圖，在ABA1中，B=20°，AB=A1B，在A1B上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)AA1到A2，

15、使得A1A2=A1C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)A1A2到A3，使得A2A3=A2D；，按此做法進(jìn)行下去，An的度數(shù)為【解答】解：在ABA1中，B=20°，AB=A1B，BA1A=80°，A1A2=A1C，BA1A是A1A2C的外角，CA2A1=40°；同理可得，DA3A2=20°，EA4A3=10°，An=故答案為：12（2012棗陽(yáng)市校級(jí)模擬）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分為9和12兩部分，則腰長(zhǎng)為8或6，底邊長(zhǎng)為5或9【解答】解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)AB=AC=2x，BC=y，BD是腰上的中線，AD=DC=

16、x，若AB+AD的長(zhǎng)為12，則2x+x=12，解得x=4，則x+y=9，即4+y=9，解得y=5；若AB+AD的長(zhǎng)為9，則2x+x=9，解得x=3，則x+y=12，即3+y=12，解得y=9；所以等腰三角形的底邊為5時(shí)，腰長(zhǎng)為8；等腰三角形的底邊為9時(shí)，腰長(zhǎng)為6；故答案為：8或6；5或913（2011濟(jì)寧）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AGCD于點(diǎn)G，則=【解答】解：AD=BE，CE=BD，等邊三角形ABC，CAEDCB，DCB=CAE，AFG=CAF+ACF=ACF+DCB=60°，AGCD，F(xiàn)AG=30

17、6;，F(xiàn)G：AF=故答案為：14（2011鄂州校級(jí)模擬）如圖所示，在ABC中，AB=AC，BAC=80°，P在ABC內(nèi)，PBC=10°，PCB=30°，則PAB=70°【解答】解：在BC下方取一點(diǎn)D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DCAD=AB=AC，DAC=BACBAD=20°，ACD=ADC=80°，AB=AC，BAC=80°，ABC=ACB=50°，CDB=140°=BPC，又DCB=30°=PCB，BC=CB，BDCBPC，PC=DC，又PCD=60°，DPC是等邊三

18、角形，APDAPC，DAP=CAP=DAC=20=10°，PAB=DAP+DAB=10°+60°=70°或由BDCBPC，BP=BD=BABAP=BPA又ABP=ABCPBC=40°BAP=（18040）/2=70°故答案為：70°15（2011海曙區(qū)模擬）線段AB和直線l在同一平面上則下列判斷可能成立的有5個(gè)直線l上恰好只有個(gè)1點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)2點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)3點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)4點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)5點(diǎn)P，使ABP

19、為等腰三角形直線l上恰好只有個(gè)6點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形【解答】解：要使APB是等腰三角形，分為三種情況：AP=BP（即作AB的垂直平分線于直線的交點(diǎn)，即有一個(gè)點(diǎn)）直線l上恰好只有個(gè)1點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形正確；AB=AP（以A為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，交直線于兩點(diǎn)），即直線l上恰好只有個(gè)2點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形正確；直線l上恰好只有個(gè)3點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形正確；AB=BP（以B為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，交直線于兩點(diǎn)）即直線l上恰好只有個(gè)4點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形正確；直線l上恰好只有個(gè)5點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形正確；1+2+2=5，直線l上恰好只有個(gè)6點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形錯(cuò)誤；故答案為：516（2011拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，ABC為正三角形，面積為SD1，E1，F(xiàn)1分別是ABC三邊上的點(diǎn)，且AD1=BE1=CF1=AB，可得D1E1F1，則D1E1F1的面積S1=S；如，D2，E2，F(xiàn)2分別是ABC三邊上的點(diǎn)，且AD2=BE2=CF2=AB，則D2E2F2的面積S2=S；按照這