第二章第11節(jié)曲面積分的計算

1、第二章曲面論第七節(jié)曲面積分的計算一、 第一類曲面積分的計算 例1 . 計算下列曲面積分：（1），其中是四面體的邊界；（2），其中是拋物面；（3）， 其中是圓錐面被圓柱面所割下的部分.解 （1）曲面由四部分組成，；對曲面，故 ；（2）曲面，,，由區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的對稱性，再利用極坐標(biāo)變換， ；（3）所截得的曲面為：，；采極坐標(biāo)變換計算此二重積分，；.例2、設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，試證：，其中。解 取新坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)不變，平面即為，軸垂直于該面，即是作正交變換，點(diǎn)在中的坐標(biāo)為，則有，在新坐標(biāo)系下，公式左端的積分可寫為， 。例3、設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，證明：，其中為.證明 取新坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)不變，平

2、面即為，軸垂直于該面，點(diǎn)到平面的距離為；點(diǎn)在中的坐標(biāo)為，則有在新坐標(biāo)系下，公式左端的積分可寫為顯然，球面的方程為或，若表示成參數(shù)式，則為其中 ；， ，從而，于是，最后得到.例4、設(shè)表示從原點(diǎn)到橢球面，上點(diǎn)處的切平面的距離，求第一型曲面積分.解：容易知道，橢球面上點(diǎn)處的切平面方程為，于是，即得，由對稱性，.二、 第二型曲面積分的計算例1. 計算下列第二型曲面積分： （1），其中，內(nèi)側(cè)； （2），其中，外側(cè).解（1）因?yàn)榍蛎娴膬?nèi)單位法向量為，所以 ；（由曲面的對稱性與被積函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)。）（2）因?yàn)榍蛎娴耐鈫挝环ㄏ蛄繛?，所?.例2 . 計算積分，其中，外側(cè).解 上半橢球面，上側(cè)；下半橢球面，下

3、側(cè)；，故 .例3 . 計算積分，其中的邊界，外側(cè).解 ；首先計算，在長方體的六個面上，顯然在長方體的四個側(cè)面上，在上底面的上側(cè)，在下底面的下側(cè)；于是 ，同理 ，故 .例4.計算積分，其中：，外側(cè).解 方法一 根據(jù)輪換對稱,只要計算一個積分,例如計算,其中上半橢球面的方程為,， 下半橢球面的方程為, 先轉(zhuǎn)換成二重積分，然后利用廣義極坐標(biāo),即得；于是,我們有； 方法二 上半橢球面的方程為,下半橢球面的方程為,;方法三 ，其中；， 故 .三、 高斯公式的運(yùn)用于計算第二類曲面積分例1. 計算積分，其中為區(qū)域的邊界的外側(cè).解 這里，：，由高斯公式，得.例2. 計算積分，是拋物面，方向朝下.解 （由于不是

4、封閉曲面，需要補(bǔ)充一部分曲面，構(gòu)成一個封閉曲面.）區(qū)域：，邊界，方向朝區(qū)域外.，方向朝上；顯然，利用高斯公式，得，再由 ，得出 .例3. 計算積分，是錐面，方向朝下.解 （由于不是封閉曲面，需要補(bǔ)充一部分曲面，構(gòu)成一個封閉曲面.）區(qū)域：，邊界，方向朝區(qū)域外.，方向朝上；顯然，利用高斯公式，得，再由 ，得出 .例4. 計算積分，其中為球面的外側(cè).解 區(qū)域，利用高斯公式，得.例5. 設(shè)是一閉域，表示區(qū)域的邊界，向量是的單位外法向量，是一個固定的向量.求證 .證明設(shè)，因?yàn)?，利用高斯定理?.例6.設(shè)是一閉域，表示區(qū)域的邊界，向量是的單位外法向量，點(diǎn).令，且.求證： .證明 先設(shè)點(diǎn)，利用高斯定理得，故

5、； 當(dāng)點(diǎn)，而在的內(nèi)部時，這時在上不能直接應(yīng)用高斯公式。必須用一小區(qū)域?qū)Ⅻc(diǎn)挖掉，即以為中心，為半徑作一開球（充分?。?，其邊界（球面）以表示.對閉域應(yīng)用高斯公式，仿上可得，在（球面）以上，（是上的單位外法向）的方向與方向相反，于是，從而，由此可知，在前式中令，取極限，即得,故 .例7、計算解:這是一個第二類曲面積分,我們不妨假設(shè)其方向?yàn)橥夥ň€方向. 設(shè),經(jīng)演算得到,在原點(diǎn)附近補(bǔ)一個小橢球,使其完全包含在內(nèi),在與之間的區(qū)域,被積函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由,滿足公式 , 所以=(利用公式),或者在曲面積分時作代換 ， ,，, .四、 斯托克斯公式運(yùn)用于計算第二類曲線積分例1. 計算曲線積分 ,其中為圓周，,

6、從軸正向往負(fù)向看,的方向是順時針的. 解 解法一 (利用曲線的參數(shù)方程直接計算.)曲線是圓柱面與平面的交線,這是一個橢圓,其參數(shù)方程為,由于是順時針方向,所以從變到0.于是 .解法二 (利用斯托克斯公式.)用記平面在圓柱內(nèi)的部分， 平面的方向，所以 . 例 2. 計算曲線積分 ,其中為圓周，,從軸正向往負(fù)向看,的方向是逆時針的. 解 用記平面在球內(nèi)的部分， ,平面的方向，利用斯托克斯公式，得.例 3. 利用斯托克斯公式計算下列積分：（1），為圓周，從原點(diǎn)向第一卦限看去，是反時針方向繞行的；（2），為橢圓，眼睛從點(diǎn)向看去，是反時針方向繞行的；（3），為，從原點(diǎn)向看去，是反時針方向繞行的. 解 （1） 用記平面在球內(nèi)的部分， 平面的方向，利用斯托克斯公式，得.（這里選曲線所圍的曲面為平面，計算來的就簡單；若選曲線所圍的曲面為半球面，則計算起來就難了.以曲線為邊界的曲面，有許多個，