高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧方法總結(jié)--圓錐曲線

1、高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧方法總結(jié) 圓錐曲線 1.圓錐曲線的兩定義： 第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F ，F(xiàn) 的距離的和等于常數(shù) ，且此常數(shù) 一定要大于 ，當(dāng)常數(shù)等于 時，軌跡是線段F F ，當(dāng)常數(shù)小于 時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F ，F(xiàn) 的距離的差的絕對值等于常數(shù) ，且此常數(shù) 一定要小于|F F |，定義中的“絕對值”與 |F F |不可忽視。若 |F F |，則軌跡是以F ，F(xiàn) 為端點的兩條射線，若 |F F |，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。 如方程 表示的曲線是_（答：雙曲線的左支） 2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂

2、點）在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）： （1）橢圓：焦點在 軸上時 （ ），焦點在 軸上時 1（ ）。方程 表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號，AB）。 若 ，且 ，則 的最大值是_， 的最小值是_（答： ） （2）雙曲線：焦點在 軸上： =1，焦點在 軸上： 1（ ）。方程 表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。 如設(shè)中心在坐標(biāo)原點 ，焦點 、 在坐標(biāo)軸上，離心率 的雙曲線C過點 ，則C的方程為_（答： ） （3）拋物線：開口向右時 ，開口向左時 ，開口向上時 ，開口向下時 。 3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）： （1

3、）橢圓：由 , 分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上。 如已知方程 表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答： ） （2）雙曲線：由 , 項系數(shù)的正負(fù)決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上； （3）拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。 提醒：在橢圓中， 最大， ，在雙曲線中， 最大， 。 4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)： （1）橢圓（以 （ ）為例）：范圍： ；焦點：兩個焦點 ；對稱性：兩條對稱軸 ，一個對稱中心（0,0），四個頂點 ，其中長軸長為2 ，短軸長為2 ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線 ； 離心率： ，橢圓 ， 越小，橢圓越圓； 越大，橢圓越扁。 如（1）若橢圓 的離心率 ，則 的值

4、是_（答：3或 ）； （2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_（答： ） （2）雙曲線（以 （ ）為例）：范圍： 或 ；焦點：兩個焦點 ；對稱性：兩條對稱軸 ，一個對稱中心（0,0），兩個頂點 ，其中實軸長為2 ，虛軸長為2 ，特別地，當(dāng)實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為 ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線 ； 離心率： ，雙曲線 ，等軸雙曲線 ， 越小，開口越小， 越大，開口越大；兩條漸近線： 。 （3）拋物線（以 為例）：范圍： ；焦點：一個焦點 ，其中 的幾何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離；對稱性：一條對稱軸 ，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；

5、準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線 ； 離心率： ，拋物線 。 如設(shè) ，則拋物線 的焦點坐標(biāo)為_（答： ）； 5、點 和橢圓 （ ）的關(guān)系：（1）點 在橢圓外 ；（2）點 在橢圓上 1；（3）點 在橢圓內(nèi) 6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系： （1）相交： 直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有 ，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故 是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件； 直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有 ，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故 也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。 （2）相切： 直線與橢圓

6、相切； 直線與雙曲線相切； 直線與拋物線相切； （3）相離： 直線與橢圓相離； 直線與雙曲線相離； 直線與拋物線相離。 提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線 1外一點 的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條

7、切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。 7、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題： ，當(dāng) 即 為短軸端點時， 的最大值為bc；對于雙曲線 。 如 （1）短軸長為 ， 8、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點弦， M為準(zhǔn)線與x軸的交點，則AMFBMF；（3）設(shè)AB為焦點弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A ，B ，若P為A B 的中點，則P

8、APB；（4）若AO的延長線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點，則A，O，C三點共線。 9、弦長公式：若直線 與圓錐曲線相交于兩點A、B，且 分別為A、B的橫坐標(biāo)，則 ，若 分別為A、B的縱坐標(biāo)，則 ，若弦AB所在直線方程設(shè)為 ，則 。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。 拋物線： 10、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點差法”求解。 在橢圓 中，以 為中點的弦所在直線的斜率k= ； 弦所在直線的方程： 垂直平分線的方程： 在雙曲線 中，以 為中點的弦所在直線的斜率k= ；在拋物線 中，以 為中點的弦所在直線的斜率k= 。 提醒：因為 是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗 ！ 11了解下列結(jié)論 （1）雙曲線 的漸近線方程為 ； （2）以 為漸近線（即與雙曲線 共漸近線）的雙曲線方程為 為參數(shù)， 0）。 （3）中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為 ； （4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為 ，焦準(zhǔn)距（焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為 ，拋物線的通徑為 ，焦準(zhǔn)距為 ； （5）通徑是