集合知識點總結及典型例題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 集 合一【課標要求】1集合的含義與表示（1）通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系；（2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；2集合間的基本關系（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；（2）在具體情境中，了解全集與空集的含義；3集合的基本運算（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；（3）能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用二【命題走向】有關集合的高

2、考試題，考查重點是集合與集合之間的關系，近年試題加強了對集合的計算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用Venn圖解題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉換和化簡的訓練?？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主。預測高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會滲透在解答題的表達之中，相對獨立。具體三【要點精講】1集合：某些指定的對象集在一起成為集合（1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作；（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體

3、對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關；（3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內。具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示

4、法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。（4）常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實數(shù)集，記作R。2集合的包含關系：（1）集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集（或B包含A），記作AB（或）；集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且AB，則稱A是B的真子集，記作A B；（2）簡單性質：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集（其中2n1個真子集）；3全集與補集：（1）包含了我們所要

5、研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；（2）若S是一個集合，AS，則，=稱S中子集A的補集；（3）簡單性質：1）()=A；2）S=，=S4交集與并集：（1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。（2）一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結合的思想方法。5集合的簡單性質：（1）（2）

6、（3）（4）；（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）。四【典例解析】題型1：集合的概念 (2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛兵乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為_12_答案 ：12解析 設兩者都喜歡的人數(shù)為人，則只喜愛籃球的有人，只喜愛乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人數(shù)為12人。 例1已知全集，集合和的關系的韋恩（Venn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有( )A. 3個 B. 2個C. 1個 D. 無窮多個答案 B 解析 由得，則，有2個，選B.例2集合,若,則的值為 ( )A.

7、0 B.1 C.2 D.4答案 D解析 ,故選D.【命題立意】:本題考查了集合的并集運算,并用觀察法得到相對應的元素,從而求得答案,本題屬于容易題.題型2：集合的性質例3集合,若,則的值為 ( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 D解析 ,故選D.【命題立意】:本題考查了集合的并集運算,并用觀察法得到相對應的元素,從而求得答案,本題屬于容易題.隨堂練習1.設全集U=R，A=xN1x10，B= xRx 2+ x6=0，則下圖中陰影表示的集合為 （ ）A2 B3 C3，2 D2，3 2. 已知集合A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0,B=y|y2-6y+80，若AB，則實數(shù)a的取值

8、范圍為（ ）分析：解決數(shù)學問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運算，最后得到所要求的結論，但有時會遇到從正面不易入手的情況，這時可從反面去考慮從反面考慮問題在集合中的運用主要就是運用補集思想本題若直接求解，情形較復雜，也不容易得到正確結果，若我們先考慮其反面，再求其補集，就比較容易得到正確的解答解：由題知可解得A=y|ya2+1或ya, B=y|2y4,我們不妨先考慮當AB時a的范圍如圖由，得或.即AB時a的范圍為或.而AB時a的范圍顯然是其補集,從而所求范圍為.評注：一般地，我們在解時，若正面情形較為復雜，我們就可以先考慮其反面，再利用其補集，求得其解，這

9、就是“補集思想”例4已知全集，A=1,如果，則這樣的實數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由解：；，即0，解得當時，為A中元素；當時，當時，這樣的實數(shù)x存在，是或。另法：，0且或。點評：該題考察了集合間的關系以及集合的性質。分類討論的過程中“當時，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關鍵是理解符號是兩層含義：。變式題：已知集合，,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因為當時，與題意不符，所以，。題型3：集合的運算例5已知函數(shù)的定義域集合是A,函數(shù)的定義域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求實數(shù)的取值范圍解 （1）AB（2）由ABB得AB，因此所以,所以

10、實數(shù)的取值范圍是例6已知集合,則( ) A. B. C. D.答案 A解析 易有，選A點評：該題考察了集合的交、補運算。題型4：圖解法解集合問題例7（2009年廣西北海九中訓練）已知集合M=，N=，則 （ ） A B C D答案 C例81.設全集，函數(shù)的定義域為A，集合，若恰好有2個元素，求a的取值集合。解：時， ，當時，在此區(qū)間上恰有2個偶數(shù)。2、，其中，由中的元素構成兩個相應的集合：，其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和若對于任意的，總有，則稱集合具有性質（I）對任何具有性質的集合，證明：；（II）判斷和的大小關系，并證明你的結論解：（I）證明：首先，由中元素構成的有序數(shù)對共有個因為

11、，所以；又因為當時，時，所以當時，從而，集合中元素的個數(shù)最多為，即（II）解：，證明如下：（1）對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也至少有一個不成立故與也是的不同元素可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，（2）對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也不至少有一個不成立，故與也是的不同元素可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，由（1）（2）可知，例9向50名學生調查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的

12、學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？解：贊成A的人數(shù)為50=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B。設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33x。依題意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人。點評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握。本題主要強

13、化學生的這種能力。解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點在于所給的數(shù)量關系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關系間的聯(lián)系。例10求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有（2002）（2003）(2005)(20010)(2006)(20015)(20030)146所以，符合條件的數(shù)共有20014654（個）點評：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設條件的和不滿足題設條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標準明確而簡單，可

14、考慮用扣除法。題型7：集合綜合題例11（1999上海，17）設集合A=x|xa|2，B=x|1，若AB，求實數(shù)a的取值范圍。解：由|xa|2，得a2xa+2，所以A=x|a2xa+2。由1，得0，即2x3，所以B=x|2x0, 0，這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=10 如果AB，那么據(jù)(2)的結論，AB中至多有一個元素(x0,y0),而x0=0,y0=0，這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時AB=，所以a10時，一定有AB是不正確的。點評：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。變式題：解答下述問題：（）設集合，,求實數(shù)m的取

15、值范圍.分析：關鍵是準確理解 的具體意義，首先要從數(shù)學意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。解：的取值范圍是UM=m|m-2.（解法三）設這是開口向上的拋物線，則二次函數(shù)性質知命題又等價于注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關鍵作用，否則解答沒有這么簡單。（）已知兩個正整數(shù)集合A=a1,a2,a3,a4,、B.分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質解決，注意“正整數(shù)”這個條件的運用，（）分析：正確理解要使,由當k=0時，方程有解,不合題意；當又由由，由、得b為自然數(shù)，b=2，代入、得k=1點評：這是一組關于集合的“交、并”的常規(guī)問題，

16、解決這些問題的關鍵是準確理解問題條件的具體的數(shù)學內容，才能由此尋求解決的方法。題型6：課標創(chuàng)新題例13七名學生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？解：設集合A=甲站在最左端的位置，B=甲站在最右端的位置，C=乙站在正中間的位置，D=丙站在正中間的位置，則集合A、B、C、D的關系如圖所示，不同的排法有種.點評：這是一道排列應用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯，若考慮運用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應用，在今后的學習中應注意總結集合應用的經(jīng)驗。例14A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組

17、成的集合：對任意，都有 ； 存在常數(shù)，使得對任意的，都有（1）設，證明：（2）設,如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;（3）設,任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式H。解：對任意,所以對任意的，所以0,令=，所以反證法：設存在兩個使得,。則由，得，所以，矛盾，故結論成立。，所以+。點評：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質融合在集合的關系當中，題目比較新穎五【思維總結】集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數(shù)學問題，運用集合觀點去研究和解決數(shù)學問題。1學習集合的基礎能力是準確描述集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如、=、A、，等等； 2強化對集合與集合關系題目的訓練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用Venn圖解題方法的訓練，加強兩種集合表示方法轉換和化簡訓練；解決集合有關問題的關鍵是準確理解集合所描述的具體內容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應考慮先化簡（或求解）；3確定集合的“包含關系”與求集合的“交、并、補”是學習集合的中心內容，解決問題時應根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學內容來尋求方法。 區(qū)別與、與、a與a、與、(1,2)與1,2； AB時，A有兩種