模塊五測(cè)量誤差的基本知識(shí)項(xiàng)目5.3誤差傳播定律的應(yīng)用

1、模塊五 測(cè)量誤差的基本知識(shí) 項(xiàng)目5.3 誤差傳播定律的應(yīng)用2典型工作任務(wù)5.3誤差傳播定律的應(yīng)用3/7/20225.3誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律 二、注意事項(xiàng)二、注意事項(xiàng) 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例3/7/20225.3誤差傳播定律的應(yīng)用L 在實(shí)際工作中，有些未知量經(jīng)常不能直接測(cè)定，必須由直接觀測(cè)值間接推算出來(lái)。如多邊形的內(nèi)角和，而是直接測(cè)定內(nèi)角，然后相加得出內(nèi)角和，因此，多邊形的內(nèi)角和為各個(gè)獨(dú)立觀測(cè)角的函數(shù)。又如，對(duì)某段距離作了n次同精度丈量得，求該段長(zhǎng)度的算術(shù)平均值，即 niinlL1用三角高程測(cè)量的方法測(cè)量地面上兩點(diǎn)的高差h，是通過(guò)觀測(cè)的水平距離

2、D和豎直角 ；，按照函數(shù)關(guān)系 tanDh 來(lái)計(jì)算的，等等。以上各式都稱函數(shù)式，可以 )(xfy 測(cè)表示。顯然，在直接觀測(cè)的情況下，觀測(cè)值的中誤差和觀測(cè)值表示。顯然，在直接觀函數(shù)的中誤差存在著一定的關(guān)系。闡述獨(dú)立觀測(cè)值中誤差和觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律，它在測(cè)量中應(yīng)用十分廣泛。), 2 , 1(1nil 3/7/2022一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律 設(shè)z是獨(dú)立觀測(cè)量x1，x2，xn的函數(shù)，即 ),(21nxxxfz 式中： x1，x2，xn為互相獨(dú)立的直接觀測(cè)量，它們相應(yīng)的觀測(cè)值的中誤差分別為m1，m 2，mn。 當(dāng)x1，x2，xn分別有真誤差x1，x2，xn時(shí)，則函數(shù)

3、z隨之產(chǎn)生真誤差z，因誤差x（i=1,2,n）是一個(gè)微小數(shù)值，變量的誤差與函數(shù)誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的全微分來(lái)表達(dá)。把 ),(21nxxxfz微分得 nniizdxxfdxxfdxxfdxxfd 2211 如將上式中的微分量“d”改用真誤差“”，則得3/7/2022nniixxfxxfxxfxxfz 2211式中 ixf代入偏導(dǎo)數(shù)后求出的數(shù)值，故均為常數(shù)。 根據(jù)中誤差的定義，即可直接寫出中誤差關(guān)系式：為函數(shù)z分別對(duì)各變量 xi 的偏導(dǎo)數(shù)，并將觀測(cè)值xi22222221212nnzmxfmxfmxfm 則觀測(cè)值的函數(shù)z的中誤差為:2222222121nnzmxfmxfmxfm (56)

4、 3/7/2022等于該函數(shù)對(duì)每個(gè)觀測(cè)值所求得的偏導(dǎo)數(shù)值與相應(yīng)觀測(cè)值中誤差乘積的平方取總和再求平方根。 從公式（56）的推導(dǎo)過(guò)程可以總結(jié)出應(yīng)用誤差傳播定律時(shí)的幾個(gè)步驟： （1）寫出函數(shù)式，如 ),(21nxxxfz （2）對(duì)函數(shù)z進(jìn)行全微分，即 nniizdxxfdxxfdxxfdxxfd 2211，分別求出 ixf（3）將 ixf、 im帶入關(guān)系式（56）求出 zm 根據(jù)關(guān)系式（56）可導(dǎo)出下列簡(jiǎn)單函數(shù)式的中誤差傳播公式（見表52）。3/7/2022表表52 簡(jiǎn)單函數(shù)式的中誤差傳播公式簡(jiǎn)單函數(shù)式的中誤差傳播公式kxz xzkmm knxxxz 2122221xnxxzmmmm nnxkxkx

5、kz 22112222222121nnzxkxkxkm 函數(shù)名稱函數(shù)式中誤差傳播公式備注倍數(shù)函數(shù) 為常數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)3/7/2022 二、注意事項(xiàng) 應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： 1要正確列出函數(shù)式 【例53】用長(zhǎng)30 m的鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為 lm =5 mm，求全長(zhǎng)D及其中誤差mD。1）函數(shù)式 D=10l按倍數(shù)函數(shù)式求全長(zhǎng)中誤差，將得出 =1030=300 mmmmmlD50102）實(shí)際上全長(zhǎng)應(yīng)是10個(gè)尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為 1021lllD 用和差函數(shù)式求全長(zhǎng)中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長(zhǎng)中誤差為 mmmmlD1610按實(shí)際情況分析用和差公式是正確的，用倍

6、數(shù)公式是錯(cuò)誤的。 3/7/2022 2在函數(shù)式中各個(gè)觀測(cè)值必須相互獨(dú)立，即互不相關(guān)。 【例54】有函數(shù)式：z=y1+2y2=1 (a) 而： y1=3x; y2=2x+2 (b) 若已知x的中誤差為mx，求z的中誤差mz。 1）直接用公式計(jì)算,由（a）式得：21214yyzmmm由（b）式得： xyxymmmm2,321 代入（c）式得 xxxzmmmm5)2(4)3(22（上面所得的結(jié)果是 錯(cuò)誤） 上面的結(jié)果為什么是錯(cuò)誤的 ？3/7/2022 因?yàn)閥1和y2都是x的函數(shù)，它們不是互相獨(dú)立的觀測(cè)值，因此在（a）式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差傳播定律。 正確的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同類項(xiàng)

7、合并，然后用誤差傳播定律計(jì)算。xzmmxxxz7571)22(233/7/2022 【例55】在1:500地形圖上，量得某線段的平距為 dAB = 51.2 mm 0.2 mm，求AB的實(shí)地平距DAB及其中誤差mD 。 解： 函數(shù)關(guān)系為：DAB = 500 dAB = 25 600 mm m d = 0.2 mm 。 代入誤差傳播公式中， 得：mD2 = 5002 md2 = 10000 mD = 100 mm 最后得：DAB = 25.6 0.1 m 三、應(yīng)用舉例3/7/2022 【例56】某建筑場(chǎng)地已劃定為長(zhǎng)方形，獨(dú)立地測(cè)定其長(zhǎng)和寬分別為a=30.000m,b=15.000m,其中誤差分別

8、為ma=0.005m, mb=0.003m,求該場(chǎng)地面積A及其中誤差mA。 解：函數(shù)關(guān)系式為 A=ab 屬于倍數(shù)函數(shù) 該場(chǎng)地面積得 A=ab=450.000m2 求函數(shù)對(duì)各觀測(cè)值的偏導(dǎo)函數(shù)得 mabAmbaA000.30,000.15轉(zhuǎn)換成中誤差表達(dá)式并求得值為 2222222222013725. 0)003. 0(000.30)005. 0(000.15mmambmbaAmmA117. 03/7/2022 【例57】水準(zhǔn)測(cè)量中，已知后視讀數(shù)a =1.734 m，前視讀數(shù)b=0.476 m，中誤差分別為ma=0.002 m，mb=0.003 m，請(qǐng)同學(xué)們?cè)嚽髢牲c(diǎn)的高差及其中誤差。 解：函數(shù)關(guān)系式為h=a-b，屬和差函數(shù)，得 mmmmmmbahbah004. 00036. 0003. 0002. 0258. 1476. 0734. 12222兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為1.258 m0.004 m。3/7/2022 【例58】在斜坡上丈量距離，其斜距為L(zhǎng)=247.50 m，中誤差mL=0.05 m，并測(cè)得傾斜角=1034，其中誤差m=3，請(qǐng)同學(xué)求水平距離D及其中誤差mD。 解: 1）首先列出函數(shù)式 cosLD 2）水平距離 mDo303.2433410cos50.247這是一個(gè)非線性函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分3）先求出各偏導(dǎo)值如下