胡不歸與阿氏圓

1、“ PA+k PB”型的最值問題【問題背景】“PA+k-PB'型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。1 .當(dāng)k值為1時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“ PA+PB'之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理；2 .當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。(1)其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題；(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題?！局R(shí)儲(chǔ)備】線段最值問題常用原理：三角形的三邊

2、關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點(diǎn)間線段最短；連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；1【模型初探】（-）點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)“胡不歸”問n如圖1-1-1所示,已知sinZMBN-k,點(diǎn)P為角其中一邊酬上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在射線國L BX的網(wǎng)測(cè)，連接AP,則當(dāng)"PA+k - FB打的值最小時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)的 位置如何確定？分析，本題的關(guān)犍在于如何確定“kPB”的大小，過點(diǎn)P作國_LBN垂足為Q.則 k 陰二PB - sinZMB=FQh二本題求“PA+k FB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“FR-FQ”的最小值（如圖1-1-2） 即A、P,。三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D1-3）,本題得解.

3、思考當(dāng)k值大于1時(shí).少和4a用"線段求和閆塔謨?nèi)玮廪D(zhuǎn)化呢?提現(xiàn)源數(shù)及即可2數(shù)學(xué)故事】從前I4個(gè)小伙子在外地學(xué)徒 當(dāng)他獲派在家的老父親病危的消息后.網(wǎng)憶隊(duì)后程趕路/由于思多心切.他只考慮了兩點(diǎn)之陶線段最厘的原 理，所以選擇了全是沙礫地帶的直踐踏容A-B（如圖防示，而意就了走折級(jí)鼠 然路程多但速度快的實(shí)際情況.士 端吁吁地趕到黎時(shí)男老人剛剛1B 了氣，小 伙子尖聲痛矍.鄰國勸慰小伙子時(shí)告訴說，老人彌留之際不斷念叨著”胡不!L?胡不打？何以歸二 送代古老的傳漫,引起人們的思蒙,小伙子能降梃前到 室T碗若可以*能應(yīng)該選掾一條怎樣的路線嗯？這就是風(fēng)干百年的"胡不歸問 胞二a5以1【典

4、型例題】L 1胡不歸問題）如圖，四邊形.4BLU讓菱彤，ABT,且ZABO6U ,她為對(duì)角線HD （不自B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)則AM-BM的最小值為分折：如何將BM轉(zhuǎn)化為其他線段呢?即本趣k值為:，必須忖化為某一角的正弦值啊.即轉(zhuǎn)化為3（T角的正弦值.思考到這里.不難發(fā)現(xiàn).只要作UN垂直于BC.則即砧最小轉(zhuǎn)化為AMHtN最小，本題得解.詳解:如圖，作A5LL于BC垂足為N,丁四邊形ABCD是菱形且/ABC飛0口 .A ZDBC-30Q .即 sin/DBC=!二襄，-j5M2Z,AM+-BMAM+MCr即 物一 的最小值為AN.22在RTAABK中，AN=M 我口/世小 = 35.7上，貼” ；em

5、的最小值為3a【變式訓(xùn)練】（胡不歸問題）L.如圖，等腰AABC中杷=AC=3, BC=2, BC邊上的高為A0,點(diǎn)D為射茂A0上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿4D-DC運(yùn)血 動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)速些3務(wù)單位:每秒，動(dòng)點(diǎn)P住CD上運(yùn)動(dòng)的速度為L個(gè)單位每秒，則當(dāng)AD二 時(shí),運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為 杪.答案：河卡2.如圖，在菱形ABCD中，AF6,且/ABC=15（T ,點(diǎn)P是對(duì)角稅AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 則PA+PB+PD的最小值為.答案：60(216 56.52)+ 216【模型類比】> “阿氏nr問題（二）點(diǎn)p在圓上運(yùn)動(dòng)如圖所示2 1-1, 00的步徑為I.點(diǎn)4. B都在00外，P為。上的動(dòng)點(diǎn)，已知r-

6、k0B.連接PA. PB,則當(dāng)*PA+kPB”的值最小時(shí),P點(diǎn)的位置如何確分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“kPB”的大小，（如圖2-1H）在線段0B上截取0C使OC=k - r,則可說明ABPO與PCO相似，即k PB=PC0，本題求*PA+k - PB，T的最小值轉(zhuǎn)化為求*PA4PC*的最小值，即A. P、C 三點(diǎn)共線時(shí)最小I如圖本題得解?！締栴}背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，己知平面上兩點(diǎn)A, B,則所有滿足 PA=kPB CkHl）的點(diǎn)F的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼 斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓二“阿氏畫” 一般解題卡驟：第一步：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0 （將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)

7、分別與圓心 相連接），則連接OP、0B；第二步：計(jì)算出所連接的這兩條線段OP、口B長度：第三步：計(jì)算這兩條線段長度的比黑=£第四步：在0B上取點(diǎn)C,使得知=器，第五步:連接AC,與圓0交點(diǎn)即為點(diǎn)P,"胡不歸H構(gòu)造某角正弦值等于小于1系數(shù)起點(diǎn)構(gòu)造所需角（k=sinZCAE>過終點(diǎn)作所構(gòu)角邊的垂線利用垂線段最短解決問題8圖I ：“阿氏圓”構(gòu)造共邊共角型相似構(gòu)造PABsACAP 推出 PA2 = AS7C即：半徑的平方二原有線段X構(gòu)造線段72.(阿氏圓問題)如圖,點(diǎn)A、B在C9上.且0Pf0R=6,且OALOB,點(diǎn)C是0A分析：如何將2PC轉(zhuǎn)化為其他緩段呢？不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)

8、了中點(diǎn)，即2倍關(guān)系fC就出現(xiàn)九 套用“阿氏圓模型：0相迨共邊其角相似構(gòu)造共邊共角相似半徑的平方二原有線段X構(gòu)造線段一詳解連接0P3線。A上截取36.1Lip： / =OCmOE AAOPCAOEPPE = 2PC，2PC + PD = PE + PD,即 P、D、E T點(diǎn)共線最小./C /在 RTZkOED 中，DE-Jda'qK m Jl“144 - 4jlO°即2PC + PD的最小值為4而.變式思考(1)本題如要求“Fb + PD”的最小值你會(huì)求嗎？ dpi(2)木感如要求“P+，D"的最小使你會(huì)求嗎？|-一-兀7答案：。)二灰(12) 3M= 0.738 =

9、 73.8%的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB L,且0D 1,動(dòng)點(diǎn)P在00上，則上PC+PD的最小值為12【中考真題】胡不歸問題）L （2016徐州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中十二次函數(shù)尸ax斗bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A3 Ok Rm一百），C0）.其中對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)Th若P為¥軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則！用十即的最小值為-T1工（2014.成都）如圖p已知拋物線.1*字（K功.4）與x軸從左至右依次交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)3經(jīng)過點(diǎn)B的直線下- -4»¥與拋物線的另 個(gè)交點(diǎn)為段F為線段加上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）,連接AF, 一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)司到F,

10、修沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D答案工:小，卜:二6）【中考真鹿】（2017 甘希絲州）如圖,拋物級(jí)尸=-/*京"與直線"交于443 > J 0,4兩點(diǎn).更線4 I =16交,釉與點(diǎn)C,點(diǎn)E 2是口線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)七作即上M軸交于點(diǎn)尸，交拋物線于點(diǎn)口.（D求拋物線¥= X,以卜的表達(dá)式；心.）連接G3r E。,當(dāng)四邊界在£0月是平行回功膨時(shí).求點(diǎn)G的坐標(biāo)：（3】在*軸卜存在一點(diǎn)H,連接EW , HF .當(dāng)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)到什么便置時(shí).以WW凡H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)及H的坐標(biāo);在的前提下，以點(diǎn)E為圓心,團(tuán)長為半徑作圓，點(diǎn)M為QE上一動(dòng)點(diǎn)，求答案；(1)- x' - 2x+4? (2) C ( - 2» 4)；E ( - 2, 0)* H (0, - 1);PA+k PB” （ kw 1 的常k PB這條線段的長度轉(zhuǎn)“胡不歸”和“阿氏圓”問題都是一類解決最短距離問題，即數(shù)）型的最值問題。兩類問題所蘊(yùn)含的都是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，即將化為某條具體線段 PC的長度，進(jìn)而根據(jù)“垂線段最短或兩點(diǎn)之間線段最短”的原理構(gòu)造最 短距離。不過兩類問題的難點(diǎn)都在于如何對(duì)k值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，“胡不歸”需要構(gòu)造某