實(shí)驗(yàn)應(yīng)用FFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析

1、20090401310074 海南大學(xué)實(shí)驗(yàn)二應(yīng)用FFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、 進(jìn)一步加深DFT算法原理和基本性質(zhì)的理解 (因?yàn)镕FT只是DFT的一種快速算法，所 以FFT的運(yùn)算結(jié)果必然滿足 DFT的基本性質(zhì))。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)2、學(xué)習(xí)用FFT對(duì)連續(xù)信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)進(jìn)行譜分析的方法，了解可能出現(xiàn)的分析誤差及其原因，以便在實(shí)際中正確應(yīng)用FFTO文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)二、實(shí)驗(yàn)原理i. 模擬信號(hào)頻率和采樣得到的數(shù)字信號(hào)頻率的關(guān)系：T / fsii. DTFT與對(duì)應(yīng)的理想采樣信號(hào)的頻譜之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：Xa(j ) X(ejw) T即DTFT與 FT的關(guān)系為：j12X

2、(ej )Xaj(r)I rIl就是說，只要知道了采樣序列的頻譜，就可以得到相應(yīng)的連續(xù)信號(hào)的頻譜。(滿足耐奎斯特采樣定理)iii. DFT是對(duì)離散時(shí)間序列的頻域采樣，是對(duì)ZT上單位圓上的均勻采樣，或者是DTFT上0,2 的等間距采樣。當(dāng)滿足頻域的采樣定理時(shí)，便可以由頻域的采樣值恢復(fù)ZT或者是DTFT所以能用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析。當(dāng)采樣的點(diǎn)數(shù)足夠時(shí)，便能用它的包絡(luò)作為模擬信號(hào)的近似譜。近似的過程中，可能會(huì)有混疊現(xiàn)象，泄露現(xiàn)象和柵欄效 應(yīng)這三種誤差。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)iv. 離散傅立葉變換 DFT:N 1X(k)x(n)WNnk,k 0,1,2., N 1n 01 N 1x(n)

3、 IDFT X(k) X(k)WNnk,n 0,1,2., N 1N n 0FFT來實(shí)現(xiàn)IFFT.文檔反變換與正變換的區(qū)別在于 WN變?yōu)閃NI,并多了一個(gè)1 N的運(yùn)算。因?yàn)閃N和WNI對(duì)于推導(dǎo)按時(shí)間抽取的快速傅立葉變換算法并無實(shí)質(zhì)性區(qū)別，因此借助收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和結(jié)果:1.高斯序列的時(shí)域和頻域特性:咼斯序列的時(shí)域表達(dá)式：Xa(n)(n P)2e,0 n 150,其它8 9i.固定參數(shù)p=8,改變參數(shù)q的值，記錄時(shí)域和頻域的特性如下圖。時(shí)域頻域P=S q=20.6I QY 悄wo51010p=8 q=S結(jié)論：從時(shí)域圖中可以看到,q參數(shù)反應(yīng)的是高斯序列能量的集中程度:q越小,

4、能量越集中，序列偏離中心衰減得越快，外觀上更陡峭。同時(shí)，隨著q的增大，時(shí)域序列總的能量是在增大的。頻域上，對(duì)應(yīng)的，隨著q的增加，由于時(shí)域序列偏離中心的衰減的緩慢，則高頻分量也就逐漸減，帶寬變?。簳r(shí)域上總的能量增大，故也可以看到低頻成分的幅度都增大。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)ii.固定參數(shù)q,改變參數(shù)p,記錄時(shí)域和頻域的特性如下圖2.曠衣.-8 II-C結(jié)論：P是高斯序列的對(duì)稱中心,P的變化在時(shí)域表現(xiàn)為序列位置的變化。由于選取的矩形窗函數(shù)一定，P值過大時(shí)，會(huì)帶來高斯序列的截?cái)?。并且隨著P的增大，截?cái)嗟脑絹碓蕉?。?duì)應(yīng)地，看頻域上的變化：截?cái)嗟脑蕉?，高頻的成分也在增多，以至發(fā)生 譜間干擾，泄露現(xiàn)

5、象變得嚴(yán)重。 從圖中可以看到，在p=13時(shí)，已經(jīng)有混疊存在。當(dāng)p=14時(shí)，混疊進(jìn)一步加大，泄露變得更明顯。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)2. 衰減正弦序列的時(shí)域和幅頻特性：e nsin(2 fn),0 n 15Xb(n)宀0,其它改變參數(shù)f，記錄時(shí)域和幅頻特性如下圖3.時(shí)域 r.C6215%虛 q、町、咗匚 吃、咗強(qiáng)I?.1010lk結(jié)論：隨著f的增大，時(shí)域上可以看到，序列的變化明顯快多了。從幅度譜上看，序列的高頻分量逐漸增多，低頻分量逐漸減小，以至于發(fā)生嚴(yán)重的頻譜混疊。當(dāng)f增大到一定的程度，從圖中可以看到，f=0.4375和f=0.5625時(shí)的幅度譜是非常相似的，此時(shí)已經(jīng)很難看出其幅度譜的區(qū)

6、別。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)3. 三角序列的時(shí)域表達(dá)式和對(duì)應(yīng)的時(shí)域和幅頻特性如圖4 :n 1,0 n 3xc( n) 8 n,4 n 70,其它n圖4結(jié)論：隨著fft取點(diǎn)數(shù)的增多，能夠看到的幅度譜的頻率分量變得豐富，得到的是高密度更高的譜，也就是減輕了柵欄效應(yīng)。但是這種截?cái)嗪笱a(bǔ)零的方法不能提高物理頻 率的分辨率。因?yàn)榻財(cái)嘁呀?jīng)使頻譜變模糊，補(bǔ)零后使采樣間隔減小，但得到的頻譜采樣 的包絡(luò)任然是已經(jīng)變模糊的頻譜，所以頻譜的分辨率沒有提高。因此，要提到頻率的分 辨率，就必須對(duì)原始信號(hào)截取的長度加長，也就是增加采樣時(shí)間T0的長度。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)另外,可以看到，三角序列的頻譜幾乎集中

7、在低頻區(qū)，旁瓣的幅度非常小。4. 反三角序列的時(shí)域表達(dá)式和對(duì)應(yīng)的時(shí)域和頻域特性如圖5 :4 n,0 n 3xd( n)n 3,4 n 70,其它n圖5結(jié)論：同樣，隨著fft取點(diǎn)數(shù)的增多，能夠看到的幅度譜的頻率分量變得豐富，得到的是高密度更高的譜，減輕了柵欄效應(yīng)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)另外，可以看到，求 8點(diǎn)的fft時(shí)，三角序列和反三角序列的幅頻特性是一樣的。原因在于：反三角 序列Xd (n)可以看成是三角序 列Xj n)的4點(diǎn)圓周移位，即Xd( n) Xc(n 4)nRn( n),根據(jù) DFT 的圓周移位性質(zhì)，則有 Xd(k) WNlkXC(k).由 于 N=8,所以 WNk= (-1

8、)k ,即 Xd(k) ( 1)kXc(k),故Xd (k) X,k) .文檔收集自 網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)不過，當(dāng)補(bǔ)零之后，能夠看到的頻率成分增多，可以發(fā)現(xiàn)，反三角序列的頻譜較寬，旁瓣的分量很多。四、調(diào)用fft函數(shù)計(jì)算ifft的函數(shù)原理：1 N 1x(n) ifftX(k) X(k)WNnkN k o變換上式有:于是，可以調(diào)用fft模塊，即*nk *X (k)WN x(n)1fft(X (k)9 Z 9相應(yīng)的程序清單如下：fun Cti Onx=myifft(y)N=Ie ngth(y);y1=conj(y);x1=fft(y1);X=COnj(x1)/N;驗(yàn)證： x=1 2 3 5 7X =

9、12357 y=fft(x,6)y =ColUmnS 1 through 418.0000-8.0000+ 1.7321i0 - 5.1962i4.0000文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)ColUmnS 5 through 60 + 5.1962i -8.0000 - 1.7321i a=myifft(y)a =123570可以看到，a只是在X的末尾補(bǔ)了一個(gè)0 ,原因在于在y是X的6點(diǎn)fft,即在調(diào)用fft 的過程中有給X的末尾補(bǔ)0的過程。所以，在回調(diào)的過程中，補(bǔ)充的 0還在。文檔收集自網(wǎng)絡(luò), 僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)五、思考題1、在N=8時(shí)，xc(n)和xd(n)的DFT幅頻特性會(huì)相同嗎？為什么？ N=

10、16呢?在N=8時(shí)，Xc(n)和Xd(n)的幅頻特性相同。N=16時(shí)不同。原因如下:當(dāng)N=8時(shí),c(n)n 1,0 n8 n,40,其它n37,即 xc(n)1,2,3,4,4,3,2,1，Xd(n)4 n,0n 3,40,其它n37,即Xd(n) = 4,3,2,1,1,2,3,4，譜分析時(shí)，X(k) FFTx(n)N 1x(n)Wr ,其中 WNn 0.2J-N。當(dāng) N=8 時(shí)，Wne此時(shí)X(k)7x(n)wNknn 07x(n)e0j kn4,代入，有:Xc(k)j 0k1e 42ej 1k4 +3ej 2k4 +4ej 3kj 4k4 +4e 4j 5k3e 4j 6k2e 4j 7k

11、1e 4 (1)Xd(k)j 0k4e 43ej 1k4 +2ej 2k4 +1ej 3kj 4k4 +1e 4j 5k2e 4j 6k3e 44ej 7k4 (2)調(diào)整順序，有j 4kXd(k) 1e 42ej 5k4j 6k3e 4j 7kj 0kj-1kj 2k4e 4 +4e 4 3e 4 +2e 4 +1 ej 3k4(3)(1)式和(3)式相對(duì)照，且e j2k1 ,故有X(k) =(-1) kX(k),即有 X/k)X d(k)。故N=8時(shí)，x2(n)和x3(n)的幅頻特性相同。或者像在實(shí)驗(yàn)結(jié)論中運(yùn)用DFT圓周移位的性質(zhì)來說明，不再重復(fù)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)而當(dāng)N=16時(shí)

12、，j -8。此時(shí)X(k)15x( n)wNLnn 0n7j knx(n)e 8 ,易知0X2(k)X3(k)。即 N=16時(shí),X c(k)和X d(k)的幅頻特性不同。12 9X c(ej )和 X d(ej )2、實(shí)驗(yàn)中的信號(hào)序列 c(n)和xd(n),在單位圓上的Z變換頻譜會(huì)相同嗎？哪一個(gè)的低頻分量多，說明原因?X c(ej )和X d(ej )是不同的，三角序列 X c(ej )的低頻分量更多?？梢赃@樣解釋:X(ej ) DTFT x(n)=x(n)e j n ,并且頻譜的分布反映時(shí)域變化的快慢程度。n是說，時(shí)域信號(hào)變化的越劇烈，頻域的高頻分量便較多，對(duì)應(yīng)的，時(shí)域的信號(hào)較平緩，則頻 域的

13、低頻分量較多。 可以看到，在c(n)和Xd (n)的非零域內(nèi)，xc(n)和Xd (n)的變換程度是相當(dāng)?shù)模兓慷际? (增加1或者減小1)。不過在零域和非零域的分界處，c(n)的變化量是1，而xd(n)的變化量是4，要大得多，也就是變化的劇烈的多， 就不奇怪xd(n)的高頻 分量要多了。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)3、對(duì)于一個(gè)有限長序列進(jìn)行離散傅里葉變換( DFT時(shí)，等價(jià)于將該序列周期延拓后進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)(DFS展開。因?yàn)?DFS也只是取一個(gè)周期來運(yùn)算，所以 FFT在一定的條件 下也可以用以分析周期信號(hào)序列。如果實(shí)正信號(hào)sin(2 fn), f 0.1 ,用16點(diǎn)的FFT來做DFS運(yùn)算，

14、得到的頻譜是信號(hào)的真實(shí)譜嗎？文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)不是的，該實(shí)正信號(hào)的周期N=10,只有當(dāng)進(jìn)行 N的整數(shù)倍的FFT時(shí)，才能得到真實(shí)的頻譜。六、實(shí)驗(yàn)總結(jié)數(shù)字低頻是O ,數(shù)字高頻是當(dāng)滿足耐奎斯特采樣定理：fs 2fc時(shí)，C 2 fc/fs,當(dāng)且僅當(dāng)fs 2fc時(shí)，C .也就是說，數(shù)字頻率中的高頻對(duì)的是模擬頻率1/ 2fs.當(dāng)在DTFT的X(ej)的0,2內(nèi)采樣N個(gè)點(diǎn)時(shí)，第N/2條譜線就代表著數(shù)1字最高頻率 ，也即代表著模擬頻率1/2fs。一般的小于fs的頻率f，可以用S 2 Sfsf kF0 k S來計(jì)算對(duì)應(yīng)的譜線位置。所以，看DFT幅頻特性的第N/2條譜線附近的幅值N就可以知道，頻譜間的

15、干擾和混疊程度。同時(shí)，若采樣頻率1/ 2fs越高，頻譜能分析的范圍自然就越廣。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析的重要問題是頻譜物理分辨率F0和誤差分析。頻譜分辨率直接和FFT的變換區(qū)間N有關(guān)，因?yàn)镕FT能夠?qū)崿F(xiàn)的頻率分辨率是fs/ N ( N是實(shí)際采樣點(diǎn)數(shù))。因此，可以在保持采樣頻率的前提下，增加采樣的點(diǎn)數(shù)能增加分辨率。誤差主要來自于用 FFT作頻譜分析時(shí)，抽樣的過程；從無限的離散序列中截取有限個(gè)序列的過程；頻譜是離散的等，而模擬信號(hào)(周期信號(hào)除外)的頻譜是連續(xù)譜，只有當(dāng)N較大時(shí)離散譜的包絡(luò)才能逼近于連續(xù) 譜。所以，還是要求 N要適當(dāng)選擇大一些。不過，N的增大，最直接帶來的，就

16、是運(yùn)算量的增大。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)需要注意的是，在有效的采樣序列后補(bǔ)零增大 N值不能提高物理分辨率，此種方法只是“搬移了柵欄的位置” ，使原來看不到的頻率不再被遮擋了。 只有實(shí)際記錄的數(shù)據(jù)長度越大， 頻率的分辨率能力才越強(qiáng)。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)， 首先要按照采樣定理將其變成時(shí)域離散信號(hào)。 如果是模擬周 期信號(hào)， 也應(yīng)該選取整數(shù)倍周期的長度， 經(jīng)過采樣后形成周期序列， 按照周期序列的譜分析 進(jìn)行。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)附錄，部分 matlab 程度代碼n=0:15; %q=8,p=8,13,14p=8;q=8;x=exp(-1*( n-p).2q);close all;subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel(n);title(時(shí)域 );subplot(3,2,2);stem(n,abs(fft(x);title(頻域 p=8 q=8);xlabel(k);文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)p=13;q=8;x=exp(-1