第3章 力矩與平面力偶系

1、工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系力對(duì)物體作用時(shí)可以產(chǎn)生移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種外效應(yīng)。力的移動(dòng)力對(duì)物體作用時(shí)可以產(chǎn)生移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種外效應(yīng)。力的移動(dòng)效應(yīng)取決于力的大小和方向，為了度量力的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，需引效應(yīng)取決于力的大小和方向，為了度量力的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，需引入力矩的概念。入力矩的概念。主要研究?jī)?nèi)容：主要研究?jī)?nèi)容： （1 1）力矩的概念；）力矩的概念； （2 2）力偶與力偶矩；）力偶與力偶矩； （3 3）平面力偶系的合成與平衡。）平面力偶系的合成與平衡。1 3-1 3-1 力矩的概念和計(jì)算力矩的概念和計(jì)算3-2 3-2 力偶的概念力偶的概念3-3 3-3 平面力偶系

2、的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-11. 平面問題中力對(duì)點(diǎn)之矩平面問題中力對(duì)點(diǎn)之矩圖3-1 用扳手?jǐn)Q螺母由上圖知，力F 使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，不僅與力的大小，而且與O點(diǎn)到力的作用線的垂直距離d有關(guān)，故用乘積Fd 來度量力的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。2 OFAld工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系該乘積根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的轉(zhuǎn)向取適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)稱為力F對(duì)點(diǎn)O之矩，簡(jiǎn)稱力矩，以符號(hào)M O (F)表示。 即O點(diǎn)稱為力矩的中心，簡(jiǎn)稱矩心矩心；O點(diǎn)到力F

3、 作用線的垂直距離d，稱為力臂。力臂。 力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：力使物體繞逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。dFMO)(F3 力對(duì)點(diǎn)之矩取決于力矩的大小及其旋轉(zhuǎn)方向（力矩的正負(fù)），因此它是一個(gè)代數(shù)量代數(shù)量。 力矩的單位：國(guó)際制 Nm，kNm ；工程制 公斤力米（kgfm）工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系4 OFAld在以上扳手?jǐn)Q螺母圖示中，如作用于扳手的力F=200N，l=0.40m，=60o，試計(jì)算F對(duì)O點(diǎn)之矩。Mo(F)=-Fd=-Fl sin=-200N0.40msin60o=-69.3Nm工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力

4、偶系力矩與平面力偶系 （2）力的作用線如通過矩心，則力矩為零；反之，如果一 個(gè)力其大小不為零，而它對(duì)某點(diǎn)之矩為零，則此力的 作用線必通過該點(diǎn)；（3）互成平衡的二力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。OF1 F2圖 3-2 (c) F圖 3-2 (b) o5 力矩的性質(zhì)： （1）力對(duì)任一已知點(diǎn)之矩，不會(huì)因該力沿作用線移動(dòng)而改變；OFd圖 3-2 （a) 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系2. 合力矩定理合力矩定理平面匯交力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。)()(FMFMORO6 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章

5、力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系證明：由圖得而OxydxyFFxFyAaqa-qr圖 3-3aqqaaqqaqacossincossin)cossincos(sin)sin()(-rFrFrFrFdFMOFyrxrFFFFyxqqaasin,cossin,cos7 則(a)xyOFyFxM-)(F工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系若作用在 A點(diǎn)上有多個(gè)力，是一個(gè)匯交力系（F1 、F2 、 Fn） 則可將每個(gè)力對(duì)O點(diǎn)之矩相加，有(b)該匯交力系的合力FR=F，它對(duì)矩心的矩(c)比較（b）、（c）兩式有-xyOFyFxFM)(-xyRxRyOFyFxF

6、yFxFM)(R)()(RFMFMOO8 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系9 運(yùn)用合力矩定理計(jì)算例3-1中F對(duì)O點(diǎn)之矩。已知，F(xiàn)=200N，l=0.40m，=60o。解：將物體看成是受到Fx和Fy兩個(gè)力的作用，OFldxyFyFx mNlFFMFMFMyyOxOO-3 .690根據(jù)合力矩定理，合力F對(duì)O點(diǎn)之矩等于分力Fx、Fy對(duì)O點(diǎn)之矩的代數(shù)和aasin,cosFFFFyx工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-21. 力偶和力偶矩力偶和力偶矩(1) 力偶的概念力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用線平

7、行的兩個(gè)力叫做力偶力偶。并記作（F，F(xiàn)）?？捎脠D3-5表示：作用線之間的距離稱為力偶臂力偶臂，力偶所在的平面稱為力偶作用面力偶作用面。 FFd 力偶臂力偶作用面圖 3-5FF1FABF1CD圖3-410 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(2) 力偶的性質(zhì)力偶的性質(zhì)(a) 力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影等于零；(b) 力偶不能合成為一力，或者說力偶沒有合力，即它不 能與一個(gè)力等效，因而也不能被一個(gè)力平衡；力偶是一種最簡(jiǎn)單的特殊力系。(c) 力偶對(duì)物體不產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，既它 可以也只能改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。x 圖3-6FFd 力偶臂力偶作用面1

8、1 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(3) 力偶矩力偶矩其轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)對(duì)點(diǎn)之矩，用力偶中的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)一點(diǎn)之矩的代數(shù)和來度量。FFd 圖3-7OxdFxdFxFFMFMOO- -)()()(12 上式表明，力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩之大小恒等于力偶中一力的大小和力偶臂的乘積，而與矩心的位置無關(guān)。工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系FFd 圖3-7OxdFMdFFFM或),(13 力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可用力與力偶臂的乘積Fd加上區(qū)分力偶在作用面內(nèi)的兩種不同轉(zhuǎn)向的正負(fù)號(hào)來度量，這一物理量稱為力偶矩，以M(F

9、,F)或M表示。正負(fù)號(hào)規(guī)定：逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩取正號(hào)；順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩取負(fù)號(hào)。工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(4) 力偶的三要素力偶的三要素（a）力偶矩的大??； （b）力偶的轉(zhuǎn)向； （c）力偶作用面在空間的方位。14 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系2. 平面力偶等效定理平面力偶等效定理定理：在同一平面（或兩平行平面）內(nèi)的兩個(gè)力偶，如它們的力偶矩的大小相等，而且轉(zhuǎn)向相同，則此兩力偶等效。例如汽車司機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤，不論將力偶(F,F)加在A、B位置還是同一力偶加在C、D位置，對(duì)方向盤的轉(zhuǎn)

10、動(dòng)效應(yīng)不變；而且，如果力的大小增加一倍，同時(shí)力偶臂減小一半，對(duì)方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)仍然不變。15 FF1FABF1CD圖3-5工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系證明：證明：如圖所示 。運(yùn)用加減平衡力系的公理并注意到：),(),(),(),(),(11PPFFPPQQFFFFABCABDABCABDSSSPPMSFFM2),(,2),(),(),(),(),(11PPMPPMPPMFFM圖3-9P P1 P1 P F F Q Q A B A B b a C D 16 ),(),(11PPMFFM工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力

11、偶系力矩與平面力偶系推論1 力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)17 ABM(a)ABMC(b)圖3-10工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系A(chǔ)Bd F1F1(a)ABDF2F2(b)推論2 在保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改 變力偶中力和力偶臂的大小而不改變力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng) 效應(yīng)，F(xiàn)1d=F2D其中圖3-1118 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-3平面力偶系：作用在物體上同一平面內(nèi)的若干力偶的總稱。1. 合成合成(1) 兩個(gè)力偶的情況兩個(gè)力偶的情況=F1F1d1d2

12、F2F2F11F22F22F11ddFRFR222111,dFMdFM-dFMdFM-222111,=-2211R2211R,FFFFFF19 這樣得到新的力偶(FR , FR)M=M1+M2=F11d - F22 d = (F11 - F22)d = FRd工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系(2) 任意個(gè)力偶的情況任意個(gè)力偶的情況M=M1 + M2 + + Mn , 或 M=MiM1M2Mn圖3-1320 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系2. 平衡條件平衡條件平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系

13、中各力偶矩的代數(shù)和等于零，即Mi=0 利用這個(gè)平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。21 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 兩力偶作用在板上，尺寸如圖，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。180mm F1F2F3F480mm解：由式M = M1 + M2 則M =-F1 0.18 F3 0.08 = -350 N m負(fù)號(hào)表明轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針。圖3-1422 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 長(zhǎng)為 4 m的簡(jiǎn)支梁的兩端A、B 處作用有二個(gè)力偶，大小各為M1

14、 =16 N m，M2 = 4 N m，轉(zhuǎn)向如圖。試求A、B支座的約束力。 解：作AB梁的受力圖，如圖（b）所示。AB梁上作用有二個(gè)力偶組成的平面力偶系，在A、B 處的約束力也必須組成一個(gè)同平面的力偶（FA ，F(xiàn)B ）才能與之平衡。23 FAM1M2AB(b)d 604mABM1M2(a)圖3-15工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系由平衡方程M =0得-M1+ M2+FB l cos60= 0 解得故FB=6 NFA、FB為正值，說明圖中所示FA、FB的指向正確。FA = FB = 6 N24 FBFAM1M2AB(b)d 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)

15、電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 如圖所示的鉸接四連桿機(jī)構(gòu)OABD，在桿OA和BD上分別作用著矩為M1和M2的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知OA=r，DB=2r，q =30，不計(jì)各桿自重，試求M1和M2間的關(guān)系。BODqM1 M2A25 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 解：因?yàn)闂UAB為二力桿，故其反力FAB和FBA只能沿A，B的連線方向。 分別取桿OA和DB為研究對(duì)象。因?yàn)榱ε贾荒芘c力偶平衡，所以支座O和D的約束力FO 和FD 只能分別平行于FAB 和FBA ，且與其方向相反。BODqM1 M2AOM1 FO F

16、AB ABDM2 FD FBA 26 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系0 cos20 cos21-qqrFMrFMBAABBAABFF122MM因?yàn)樗郧蟮脤懗鰲UOA和DB的平衡方程： M = 0 OM1 FO FAB ABDM2 FD FBA 27 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 如圖所示，在物體上作用有兩力偶 和 其力 多邊形封閉。問該物體是否平衡？為什么？)(1, 1FF),(2, 2FF圖3-17F1F2F1F2F1F2F1F2思考題 3-228 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第

17、三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系圖3-18所示圓盤由O點(diǎn)處的軸承支持，在力偶M 和力F 的作用下處于平衡。能不能說力偶被力F 所平衡？為什么？力矩和力偶有什么聯(lián)系？又有什么區(qū)別？思考題思考題FMO圖3-1829 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系思考題思考題 3-3 一力偶(F1,F1)作用在Oxy平面內(nèi),另一力偶(F2 ，F(xiàn)2)作用在Oyz平面內(nèi),它們的力偶矩大小相等(如圖)。試問此兩力偶是否等效，為什么？xyzF2F2F1F1圖3-16O30 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 第六章第六章 內(nèi)力與內(nèi)力圖內(nèi)力與內(nèi)力圖 思考題：一傳動(dòng)軸的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示，作用于其上的外力偶矩之大小分別是：MA=2 kN.m , MB=3.5kN.m , MC =1 kN.m , MD = 0.5 kN.m ,