第三章力矩與平面力偶理論

1、第三章第三章 力矩與平面力偶理論力矩與平面力偶理論力 矩 的 概 念 與 計(jì) 算一、平面中力矩的概念一、平面中力矩的概念3.1oABdF一、力對(duì)點(diǎn)的矩的定義一、力對(duì)點(diǎn)的矩的定義力使剛體繞力使剛體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度的物理量稱為力對(duì)程度的物理量稱為力對(duì)O點(diǎn)點(diǎn)的矩。用的矩。用)(Fmo表示，其定表示，其定義式為：義式為：FdFmo)(其中：點(diǎn)其中：點(diǎn)O稱為矩心，稱為矩心，d稱為力臂。力矩的正負(fù)號(hào)表稱為力臂。力矩的正負(fù)號(hào)表示力矩的轉(zhuǎn)向，規(guī)定力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取示力矩的轉(zhuǎn)向，規(guī)定力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正，反之取負(fù)。力矩的單位為：牛頓正，反之取負(fù)。力矩的單位為：牛頓米（米（N m）

2、。）。由圖可知：由圖可知：OABFmo)(的面積的面積3.1力 矩 的 概 念 與 計(jì) 算一、平面中力矩的概念一、平面中力矩的概念二、平面匯交力系的合力矩定理二、平面匯交力系的合力矩定理定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)的矩等于各個(gè)分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代一點(diǎn)的矩等于各個(gè)分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即數(shù)和。即)()(iooFmRmoxxyyFXAY 利用合力矩定理，可以利用合力矩定理，可以寫出力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的矩的解寫出力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的矩的解析表達(dá)式，即析表達(dá)式，即yXxYXmYmFmooo)()()(3.1力 矩 的 概 念 與 計(jì) 算例例1 支架如圖所示，已知

3、AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,30求 對(duì)A、B、C三點(diǎn)之矩。FFABCDAdCd解：由定義mNCDFFdFmmNADFFdFmCCAA5730sin)(52230sin)(由合力矩定理mNADFABFADFABFFmyxB48.4830sin30cos)(3.1力 矩 的 概 念 與 計(jì) 算例2OxyFA1r2rBd如圖所示，求F對(duì)A點(diǎn)的矩。解一：應(yīng)用合力矩定理)cos()cos(sincossinsin)cos(cos)()()(212212112rrFFrFrrFrrFFmFmFmyAxAA解二：由定義cos1rOB cos12rrAB12coscosrrABd)c

4、os()(21rrFFdFmA3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)一、力偶的概念一、力偶的概念dFF 在力學(xué)中，把等值、在力學(xué)中，把等值、反向、平行而不共線的反向、平行而不共線的兩個(gè)具有特殊關(guān)系的力兩個(gè)具有特殊關(guān)系的力作為一個(gè)整體，稱為力作為一個(gè)整體，稱為力偶。以偶。以 表示。表示。),(FF兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面，兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面，兩力作用線間的距離稱為力偶臂。兩力作用線間的距離稱為力偶臂。 力偶是具有特殊關(guān)系的力組成的力系，力偶是具有特殊關(guān)系的力組成的力系，雖然力偶中每個(gè)力仍具有一般的力的性質(zhì)，雖然力偶中每個(gè)力仍具有一般的力的性質(zhì)，但作為一個(gè)整體又有它本身的特

5、性，現(xiàn)歸但作為一個(gè)整體又有它本身的特性，現(xiàn)歸納如下：納如下：3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)一、力偶的性質(zhì)一、力偶的性質(zhì) 1、力偶既沒有合力，本身又不平衡，是、力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本的力學(xué)量。一個(gè)基本的力學(xué)量。 力偶既然是一個(gè)無合力的非平衡力系。因此：力偶既然是一個(gè)無合力的非平衡力系。因此：力偶不能與一個(gè)力等效，也不能與一個(gè)力平衡。力偶不能與一個(gè)力等效，也不能與一個(gè)力平衡。力偶只能與力偶平衡。力偶只能與力偶平衡。 力偶對(duì)剛體的作用效果不僅與力偶中兩力的力偶對(duì)剛體的作用效果不僅與力偶中兩力的大小有關(guān)，而且與力偶臂有關(guān)，將力偶中力的大大小有關(guān)，而且與力偶臂有關(guān)，將力偶中力的大小和力偶

6、臂的乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)稱為小和力偶臂的乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)稱為力偶矩力偶矩，用用m表示，即表示，即Fdm正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向。規(guī)定正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向。規(guī)定逆時(shí)針取正；順時(shí)逆時(shí)針取正；順時(shí)針取負(fù)針取負(fù)。單位同力矩的單位。單位同力矩的單位。3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)一、力偶的性質(zhì)一、力偶的性質(zhì) 2、只要保持力偶矩不變，力偶可以改變、只要保持力偶矩不變，力偶可以改變力的大小和相應(yīng)的力偶臂的大小，同時(shí)力偶力的大小和相應(yīng)的力偶臂的大小，同時(shí)力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變其對(duì)剛可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變其對(duì)剛體的作用。體的作用。此性質(zhì)是力偶系合成的基礎(chǔ)。此性質(zhì)是力偶系合成的基礎(chǔ)。 由此可

7、見，兩力偶的等效條件是力偶矩由此可見，兩力偶的等效條件是力偶矩相等。相等。 在平面問題中，決定力偶作用效果的因在平面問題中，決定力偶作用效果的因素為：矩的大小和轉(zhuǎn)向。所以力偶矩是代數(shù)素為：矩的大小和轉(zhuǎn)向。所以力偶矩是代數(shù)量。量。 力偶可表示為：力偶可表示為：mm3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)一、力偶的性質(zhì)一、力偶的性質(zhì) 3、力偶在作用面內(nèi)任一軸上的投、力偶在作用面內(nèi)任一軸上的投影均為零影均為零。 4、力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩、力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩與矩心的位置無關(guān)，恒等于力偶矩與矩心的位置無關(guān)，恒等于力偶矩。3.3平面力偶系的合成與平衡一、平面力偶系的合成一、平面力偶系的合成作用面共面的力

8、偶系稱為平面力偶系。作用面共面的力偶系稱為平面力偶系。1m2m3mAB1F1F2F2F3F3FddRRABdFm11dFm33dFm22321FFFR)(321FFFR321321)(mmmdFFFRdM推廣得：推廣得：mmmmMn 21結(jié)論：平面力偶系合成的結(jié)果還是一個(gè)力偶（稱結(jié)論：平面力偶系合成的結(jié)果還是一個(gè)力偶（稱為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。的代數(shù)和。3.3平面力偶系的合成與平衡一、平面力偶系的平衡一、平面力偶系的平衡dRRAB 平面力偶系總可以簡(jiǎn)化為圖平面力偶系總可以簡(jiǎn)化為圖示情形。若示情形。若R=0，則力偶系平衡，則力

9、偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，則或是合力偶矩等于零，則或是R=0或或是是d=0，無論哪種情況，該力偶系，無論哪種情況，該力偶系均平衡。因此可得結(jié)論：均平衡。因此可得結(jié)論： 平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：0m上式稱為平面力偶系的平衡方程。上式稱為平面力偶系的平衡方程。3.3平面力偶系的合成與平衡例例3 圖示矩形板，邊長(zhǎng)分別為a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，試畫出整體和兩板的受力圖。MABMCMCARCRMMABCARBRBR

10、MCR3.3平面力偶系的合成與平衡例例4AB1m2m3mARBR 求圖示簡(jiǎn)支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁為研究對(duì)象，受力如圖。0:0321mmmlRmA解之得：BARlmmmR3213.3平面力偶系的合成與平衡例例5BAC1m2mDE45EB1mAARERC2mDECRER 如圖桿AB上有一導(dǎo)槽，套在桿CD上的銷子E上，在兩桿上各有一力偶作用。已知 ，若桿重和摩擦不計(jì)，求機(jī)構(gòu)平衡時(shí) 應(yīng)為多大。mNm100012m 解：先以AB為研究對(duì)象，受力如圖。0:01mAERmE再以CD為研究對(duì)象，受力如圖。0:02AERmmE于是得：mNmm1000123.3平面力偶系的合成與平衡例例6 系統(tǒng)如圖，AB桿上作用矩為M的力偶，設(shè)AC=2R，R為輪C的半徑，各物體的重量及摩擦不計(jì)。求繩子的拉力和鉸A對(duì)AB桿的約束反力及地面對(duì)輪C的反力。MBADDNAN 解：先以AB桿為研究對(duì)象，受力如圖。0:0ADNMmA由幾何關(guān)系：RRRAD3)2(22DANRMRMADMN333所以：AMBCED3.3平面力偶系的合成與平衡例例6 再以輪C為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。CDNENTxy0coscos:0TNXD0sinsin:0TNNYD