數(shù)字信號處理_吳鎮(zhèn)揚_習(xí)題解答第二版

1、1. 解丗由題意可知 N=5則周期為丗其中為整數(shù)丆且滿足使N為最小整數(shù)。2. ?i1?j解丗由題意可知N=14則周期為丗?i2?解丗由題意可知N二8則則所求周期N=14最小公倍數(shù)丆即為丗56數(shù)字信號處理習(xí)題第一童1-4 今對三個正弦借號 Xd (/) = cos -V(J1 (f) = - cos= cos 1 進(jìn)行理組采樣釆樣頻率為憶=W 求著三個采樣輸出序列低較其結(jié)果畫出£|("%("心的畿形&采 樣點位井解釋頻譜混迭現(xiàn)銀.解塞由于叫二2< ,沒有混迭；叫=6京® = 1(加,混迭.1-13下列系統(tǒng)中袈示輸出“5)喪示轍入*試確定是否是

2、竦性系統(tǒng)?是否霆肘不變系統(tǒng)？(1) Tfcfx(Fi) + x2(fi)| = 2 cfa-! (n) + bx2 («) | + 5=應(yīng)2斗(斤)+ 5 + 為2 圣(n) + 5 - 5口 一5" + 5=arxi (n)+hTfXj (n)5a+5 豐 aTxx (n) + bTx2 (n)假設(shè)輸入為班打則有Tx(n - nt) = 2x(n - n0) + 5 = y(n - h0) 所以，時不變.(2) 八oX| (m)+ 加(麗 二 工ax, (fli) + i.r2(m)所以*圾性;w工x3(m)+Z>工勺 伽)=Vj(») + />V2

3、(«)Tx(n 一 )= 工龍(用 一)= 工 x(tn) = y(n 一 )時不變1-16確定下列系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性:(l)y(n) = g(n)x(n)tg(n)有界(2) y(») = 丫 x(k), n > n,(4)A(n)=。.亍 w(/i)(1)不能用令x(n)=6(n)來求h(n),然后確定穩(wěn)定性，因為該系統(tǒng)并非線性時不變系統(tǒng)。實際上，因j?(n)有界，所以，當(dāng)x(n)有界時，y(n)=x(n)z(n)v= |x(n)| |g(n)|<8,所以系統(tǒng)穩(wěn)定，y(n) 只與x(n)的當(dāng)前值有關(guān)，顯然是因果的。(2)y(n)只與如啲當(dāng)前值和過去值有關(guān)，

4、是因果的。當(dāng)n時，即使x(n)有界，可能y(n)(如x(n)=l)11-0.5 n < 0時,hn) = 0,是因果系統(tǒng)；8 88又工 I h(n) 1=工 10.5"“(力 1=工10.亍 1=”=一8”=-OC"=0是穩(wěn)定的.1-6 A(/i)和X("“)表示一個序列及其傅氏變換，并且x(n)為實因果序列利用X("“)求下列各 序列的傅氏變換：(3) g(n) = x(2n)力 、兀(£),“為偶數(shù)(4) g() = 20, n為奇數(shù)解竊(3) G(/)= £ 址“)嚴(yán)=£ x(2n)e-jwnt = 2nn=-*

5、xn=x=|l m)+(-i)m)“二 * £ 心礙+* £ (-吹嚴(yán)1 F -JH- 1 d1 j 1=-X Xe +怎工兀幺 2=-X(f 2) + -X(e 2)2$2 匕22注意：當(dāng)t為偶數(shù)Wl J =2x(2n),當(dāng)t為奇數(shù)時=0(4) G(/“) = £ &5)嚴(yán)=J x()ejwn令“ =2mn«-oorj.-oo 厶=£ x(ni)e-j2wm = X(ej2wn,)/n=-oo1-10求以下函數(shù)的逆Z變換：(l z")(l 2廠)解答：(1):r(1-廠)(1一2以)_i2=4 + 見書本P13頁的例3=-u

6、 (n) -2n+1u(n 1)注意，因收斂域為1< |z|<2,而如果第二項是右邊序列的話，收斂域必然要|z|>2,所以對第二項, 只能是左邊序列，其收斂域為|z|<2,同樣道理，對第一項，如果是右邊序列，則收斂域為|z|>1, 正好與題意吻合，如果是左邊序列，則收斂域為|z|<1,不符合題意。1-21試證X( 77 )的頻譜為X(一八).解答：Q0Q0工 x(-n)ejw,令川)=工 x(n)e-j(-w)n = X(ejw)=Y0”=Y)1-22討論一個具有下列系統(tǒng)函數(shù)的線性時不變因果系統(tǒng)H(z) = y L 式中a為實數(shù)-az(1) 對于什么樣的a值

7、范圍系統(tǒng)是穩(wěn)定的？(2) 如果Ovavl,畫出零點極點圖井標(biāo)出收斂區(qū)域；(3) 在2平面上用圖解證明該系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)即頻率響應(yīng)的幅度為一常數(shù).解答：極點z=a,z.|a|<1,又 va 0,;.0<|a|<1(2) 收斂域為| z | >a,在半徑為a的圓外;(3) 通過z平面上作圖，可以發(fā)現(xiàn)，極點a在單位圓內(nèi)的實軸上，零點1/a在單位圓外的實軸上, 它們各自到單位圓上任一點的矢宣長度可由余弦定理求取，分別為極點矢宣長度=Ja + 1 -2acos(e)寒點矢量長度二Ja ' + l-2acos(e) =+ l-2acos()lal圖解求系統(tǒng)頻率響應(yīng)就是求零

8、點矢量長度與極點矢量長度的比，所以|/7(嚴(yán))|=|上£耳|=丄,是常數(shù)所以是全通系統(tǒng)1 - ae I a I第二章2-1如果x()是一個周期為N的周期序列.則它也是周期為2N的周期序列.將兀)看作周 期為N的周期序列，令X伙)表示其DFS再將X()看作2N的周期序列,并且令乳伙)表示其 DFS試?yán)肵伙)確定二.解答:N-I紜(幻=w=0.2N-N-lN-x2(k)= X 1(")嗆嗆 +D( + N)wywNTnM)”0.-Jkn注叱之5#因為I®)的周期為N,則;(” + N) = x(n且，討(訕)#n=0/r=0Ar-I£K當(dāng)R為偶數(shù)時，上式=

9、2i(n)VVj =2X(-);n=0厶當(dāng)R為奇數(shù)時,上式二0.2-9有限長為N = 1()的兩序列x(n)=1,0 < n < 40,5 <n <9呦嚴(yán)心4-l,5<n<9#用作圖表示 A(n),y(n)及 f(n) = a*(h) * y(n)解答：/(«)= <1,2,3,4,5,3,1, 1, 一3, 5, -4, 一3, 2, 1, = 0,1,. 130,其它2-13已知班兀)是長為N的有限長序列,X伙)=£>/7入0),現(xiàn)將長度添零擴(kuò)大r倍得長度為rN的有限長序列y(n).求 DFTy(n)與X伙)的關(guān)系.解答：

10、n=0rNN-lY(k) = DFTy(n)=工 y(n)W =工 x(n)W1n=0n=0由于 n < N-1 時，y (n) =x (n) ; n > N - 1 時，y (n) =0.2/r_ 2/r k£»由于w/ = 示s：" =W$”,所以當(dāng)£為整數(shù)時,rN-lk_nk丫仏)二工兀(Qwy = x(-)w=Or其余不能用X (k)表示，相當(dāng)于X(K)的內(nèi)插2-15已知復(fù)有限長序列/(/?)是由兩個實有限長序列x(n)、y(M)組成,/(n) = x(w) + jy(n), 并且DFTj3 = F(k),求 X(k)、Y(R)以及如

11、、心)。iNi jN解：方法1：利用基本定義及DFT的線性特性：/(/) = ZDFTfF)又:郭時'=用-11-噸7#方法2：利用DFT的共覘對稱性:X(k) =f(n) = lDFTDFT(anRN 何)+ jDFT(bnRNn ) =心)+ jy(n)-aN1-噸1-滬1 一叱#X(k) = DFTRe/ (n) = DFT噸中)+"“)匚噸y(A:) = DFTlm/(A2) = DFT+/()-廣何-bN對 X（R）、丫（R）作 IDFT 得到：X何"心何）,何=/心注意：根據(jù)DFT的線性性質(zhì)可以得到，當(dāng)/（/z） = x（h） + /y（n）時，F(xiàn)（R）

12、 = X（R） +jy（R）,其中X（k）、'（町均為復(fù)序列。但井不是對于形如F（k） = X（£）+ （k）進(jìn)行IDFT就一定形成X（/r）x（n）, Y（£）oy何的一一對應(yīng)關(guān)系。如，我們將F（R）進(jìn)行變形，使其虛部和實部分 開得到：F（k） = M（k） + jN（k）,對其進(jìn)行IDFT變換，顯然，）耐必伙）工乳（町， /DFT7V（it） y（/?）0所以，直接由 F= X（R） + （約得到ZDF7*X（it）x（n）, ZDFTy（Jl） # y（n） 是不正確的，2-18研究兩個有限長序列x（），y（“）,此二序列當(dāng) v0皆為零，并且x(n) = 0,

13、n > 8y(n) = 0, n > 20各作其20點DFT,然后將兩個DFT相乘再計算篥積序列的IDFT得試指出r（ll）的哪些點對應(yīng)于 兀（）與y（n）作線性卷積應(yīng)得到的點.解答：這樣計算相當(dāng)于做了 20點的圓周卷積加=7- 19時，圓周卷積等于線性卷積.可以通過畫圖得到.93.19(1)周期卷積的主值序列為丗f(n)R(n) =6,3, 6,10,14,12,9;邑 循環(huán)卷積 f(n) =6,3, 6,10,14,12,9;'?i3?j線性卷積為 f(n) =1,3, 6,10,14,12,9,5, 0, 0, 0, 0#2-21試導(dǎo)出N = 16時的基二按時闔抽取算

14、法和按頻率拡取算法fft，井分別畫出它們的流圖. 用基二按時間抽?。篕 K吧嗚朮吒吧叫吧吧吒吒w4 w6 IV5時間抽取系數(shù)：rb >毗吧晞吒C毗吒叱:觀C吒觀< 眈 K很多同學(xué)在第二列剛:的位置寫的是吒xa)= £x(?0J=0,L,15rt=()按奇偶分組：77X (k)二工 x2r)Wk + 工 x(2r +1 州:汕r-0r=O2.21 ?i第二種方法乯按頻率抽取算法出輸入順 序丆輸出倒序(0,8,4,12,2,10,6,14,1,9,5,13,3,11,7, 15);4共有 4(16=2*2*2*2 )節(jié)第一節(jié)出數(shù)據(jù)點間距、蝶形類型均是8?C0123 4567所

15、乘因子出W ,W ,W ,W ,W ,W ,W ,W ;N N N N N N N N N第二節(jié)出數(shù)據(jù)點間距、蝶形類型均是4 ?C02 46所乘因子出W ,W ,W ,W ;N N N N04第三節(jié)出數(shù)據(jù)點間距、蝶形類型均是2 ?C所乘因 子出W ,W ;N N0第四節(jié)出數(shù)據(jù)點間距、蝶形類型均是1 ?C所乘因 子出W ;N#=£刃州產(chǎn)+毗f gr 1凹穢個吒"=I 知=w/) r=0r=O二 $>(2叩曾 + 毗 $>2r + 1)%川=G伏)+rOr=O77G(k)=為x(2川曾H閃=工兀("+1)%川r=0r=OGgH伙嘟是只包含7點的D FT g

16、)只包含原序列中的偶數(shù)序列， 而丹(對則只包含奇數(shù)序列另外它的周期都為&所収有G (k) =G (k+8)H (k)二H (k+8)W,7 = -吒所以有X (k) = G(切 + lV；：H(k= CU2 7X(k-b8) = G(k)-WH(fck = 0J,2M+7-個16點序列的DFT可由兩個8點序列的DFT得到，依此類推,G(k),H(k) 也可以這樣得到.用頻率抽取法：112兀2“， F W1 = e 16 =e 2Wf"" = %7 上式二召5) +兀2何%"n=0依此類推：7 乂(21+1)二工兀2)吃5)叫"解；a(n) = x

17、(n)x2(n)b(n) = Xj (n)-x2(n)W；n = 0,1,., 7這樣又把16點的DFT化成了8點的DFT,向下不斷細(xì)分得到下圖:把序列按前后對半分開xI(n) = x(n),n = 0,1,.,7x2(n) = x(n + 8), n = 0丄,7X伙)15n=O77=2>5)昭/+$>2 5)必"側(cè) n=0/i=0現(xiàn)在按對頻率序列抽取,把它分成偶部和奇部，偶數(shù)時令k二21,奇數(shù)時令k 二 21+1,這里 1=0,1,. 7,77X (21)二£召 S)W了 + 2>2(n)w了約n=0n=0III=%"2-25設(shè)x()是一個m

18、點()5 5 A7 1的有限長序列其z變換為M-I x=工心)八/i=02*上今欲求X (z)在單位圓上N個等距離點的采樣值X(z), z* =疔,k=0,l,., N 一 1問在(°). A/兩種情況下應(yīng)如何用一個N點的FFT來計算全部的X(Z,)值？解答：(2)N > M將心)補零到N點,然后作FFTg -jkn 菩 , jkn 口 , -jknX(k)二工兀(n)/ n =x(n)e A， + 工x(n)w an=0n=0n-MN- hi= x(h)/；v " = DFTlxn)n=0N<M將心)補零到ZW,組成新序列.2.M-2兀幾N-l2龍2江、X 伙

19、)=工 x(n)e J N = x(n)e J N +x(n)e ； Nn=0刃=0n=N0 -jkn 咤P-jk(n+N)=x(n')e 八 +x(n + N)e 卜/i=0n=0"W + 2N)尋心)n=0NT-jkn= jx(n)-x(n +N)e /V +n=0Af-I Ijhi/-I=工+ /N)k N = DFTx(n + IN)/i=0/=0/=0變成了2點的MT對于(1)還有另一種解法現(xiàn)設(shè)有一序列y()0<n<N-l,其中N點DFT與X(燈相同，即N-I- "丘X(k) =y®” F "“O,1,N-1w=0于是有:1

20、3#i N-I W-l_N kQ.2,t-7W-1因為：丄頭咗心I l = iN + n 0 liN + nM)Jy15#所以：y(n) = £ x(iN + n)r=0其中卩=竺+ 1的整數(shù)部分，當(dāng)M不夠“N時，對N序列補零。2- 27：我們希望利用一個長度為50的有限單位脈沖響應(yīng)濾波器來過濾一串很長的數(shù)據(jù)，要求利用重疊 保留法井通過FFT來實現(xiàn)這種濾波器，為做到這一點，(1)輸入各段必須重疊N個樣本：(2)必須從每 一段產(chǎn)生的輸出中取岀M個樣本，并將它們拼接在一起形成一長序列，即為濾波輸出。設(shè)輸入的各段長 度為100個樣本，而FFT的長度為12&圓周卷積的輸出序號為012

21、7。(1) 求 N：(2) 求 N；(3) 求取岀的M個點之起點與終點序號，即從圓周卷積的128點中取出哪些點去和前一段銜接起來？ 解：(1)輸入各段必須重疊的樣本數(shù)為濾波器長度減1：依題意有：；7V = 7V, -1 = 50-1 = 49(2) 輸入段的長度N/”：濾波器長度AZ, =50相鄰輸入段之間(弘一I)點發(fā)生垂盤.圓周卷積后每一段輸出y,(H)的前(M-1)點發(fā)生混淆，去掉這一部分，把相鄰段留下的點+ 銜接構(gòu)成最終的輸入。設(shè)嘰=100,則有M =51.去掉混普的前N (048)個點，和末尾補的28 (100127)個零點.取岀的M個點的序號為： 4999。#笙=音33-1已知模擬

22、傳遞函數(shù)H匕s)=-廠 +4$+ 3試用脈沖響應(yīng)不變法將以上模擬傳遞函授數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字傳遞函數(shù)H .采樣周期T=0.5.HE1.51.51 一嚴(yán)違宀一丨一廠遷7解答：1.51.5H-丁廠1-e zT = 0.51-宀T#32已知采樣周期為T.用脈沖響應(yīng)不變法將以下模擬函數(shù)H(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字傳遞函數(shù)H(z)：(1s + a($ + a)2 +b2#AHa) =，加為任意正整數(shù)。解：(1) $ + aI11十11 1(s + a)2 +b22($ + d)+“(5 +1/)- jb 2s - (_a - jb) s - (_a + jb)(2)由傅立葉變換對可知:#/?(/z) = _(7,r)(w

23、_，) eufn) =、丿(w-l)!V7、1 (w-l)!I對上式做乙變換：方法1：利用z變換的性質(zhì)首先對x(n) = e'v'' b何進(jìn)行變換有:x(n)oX(z)£e、E)z "£(»，)"= 匸 |z|W n=0n=01 一 W <(m %nTun)的 z 變換:根據(jù)1變換的性質(zhì)：戀(“)<>-乙型勺，我們可以得到y(tǒng)(n) = nY(z) =d7dz,d 丫門) Z dz.X(z)，式中符號ddz(皿-1)()表示:dZdz,共求導(dǎo)仙-1)次。17#故二命卅WC)方法2：利用z變換的定義：77

24、(z)=工力(什八阿廠 J1-0(加1)!n-08本題不易將表達(dá)式寫成H(s) = 的形式，因而不直接套用公式h(z) = £1=1/=! S_Sj匚去7。所以，我們可以先求出/1(h),然后對其做;:變換，得到所求的H(z)0(/»1)注意:Y(z)的求法,r(z)(-z)(w_，)qyX(z)o3-3題圖3.i表示一個數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng).(1) 用脈沖響應(yīng)不變法試求原型模擬濾波器的頻率響應(yīng).(2) 用雙線性變換法,試求原型模擬謔波器的頻率響應(yīng).解答：脈沖響應(yīng)不變法：1/7(嚴(yán))1=<-co-y-a)< tv 3 32龍(X其它仍(嚴(yán))I=*HQ守)1(0I

25、QI+-T,Ql< .JHJyQ)M/7fl(J)l=n/7()l= 冗 3 3卩 3T(X其它#雙線性變換：Q的范圍根據(jù)Q=2/T奴(3/2)由3的范圍計算而得山冋予沖)Ls呼禱半其它#3- 4設(shè)有一模擬濾波器tf)= T '-/ +S + 1采樣周期T=2試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)變成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z) 解答:H(z) = Ha( 2y6刖汁H(z) =z，+ 2z + l3z2 + 1#3-6 一個采樣數(shù)字處理低通濾波器如圖.H(z)的載止頻率IV = 0.2/r.整個相當(dāng)于一個模擬低通濾 波器今采樣頻率/； = kH-.問等效于模擬低通的截止頻率/二？若采樣頻率/分別改變?yōu)?/p>

26、 5KHz,200HsH不變，問這時等效于模擬低通的截止頻率又各為多少?解答:c 2tt 2tt若fs =5KHz厶坯空“5KHz c 2/r17TW； = 200 處叭J's0.2x2002兀2兀=20KH3-7設(shè)采樣頻率為X =6.28318/CHz,用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一個三階巴特沃茲數(shù)字低通濾波器.載止頻率fc = KHz.解答：1+ 2(亠)+2()2+(*)3V3Q -J-廠 +也r.=仏7 = 2”令=1)+ Qr(l-jV3)/2 s + Q<(l +丿循)/2人_(cocITil_£-q(l+jd)/2z-l-+)1-j-一(丁)£ 6V3

27、、-l-e'wz'' 1_幺一叫(1")/2廠11-(牛用=丄(0+電一(丁)£ 6A+1-嚴(yán)叫“1-el-0.6597z,T 1 一嚴(yán)才= T(-e-'z'' +=7(1-0.3679?''_ 1-0.7859匚 0379，)3-9用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃茲數(shù)字高通濾波器，采樣頻率£ = 6KH乙，通帶邊界頻率為l.5KHz.解答：c TCDT2龍1.5.T口 /、(十)=二 c以)=,Ha(s)=nt. £ Q/1(i-z'T3H(z) = H“(s)l r|+2_. =

28、qr1 = 6 + 2"Th 1 + 2+ 2(+ (工尸6 + 2乙l-z_,1-廠 1-以2 22262 1 + 2() + 2()2+()33-12二階巴特沃茲數(shù)字低通濾波器的采樣頻率/=500Hj通帶邊界£=50Hz0.0674553(14-2z'4-z2)l-1.14298r,+0.412802r2試導(dǎo)出高通數(shù)字濾波器採樣頻率/= 500Hz.通帶起始頻率fh = 200/z.解答:0c = 2tt505005 c 5007T 4龍+cos()271 4兀+ sin(2_)=021#u-'=G(-z) = -z'H(z) =0.067455

29、3(1-2廠 + 廠)1 + 1.14298'+0.412801Z-23-14要設(shè)計一個3(1B邊界頻率為500Hz和600/的數(shù)字低通濾波器.在頻率小于100Hz和頻率大于7()()Hz時的衰減至少要為1 OdB，采樣頻率為4000Hz 假定原型數(shù)字低通濾波器的通帶JI邊界頻率0 =，試給出原型數(shù)字低通巴特沃茲濾波器的傳遞涌數(shù) H(z).3-16導(dǎo)岀衰3.1中的數(shù)字低通數(shù)字帶通的變換.LP-BP變換把帶通的中心頻率少()->0 = 0#0=00。一>0 = -7T 0 二> a) = o)q 兀0 = 0 兀 nco2 > 0cco、> 0c#0 = 0

30、 甬t, 3 =兀 故#=0日寸衛(wèi)=一兀、g(i)= _,所以全通函數(shù)取負(fù)號。由以上分析得變換關(guān)系:= <?()= _+斤Z ' +込 r2z2 + 斤廠、+1e2ja)+ r廠 + r2 r2e2J(u + rjM +1(I)(2)把變換關(guān)系® ->樂5 T-G代入(2)式#整理得:（4）嚴(yán)+斤曠悶+巧 咗“ +斤嚴(yán)+ i如+育皿+乙+ r嚴(yán) +1乙0/2%岡 +）+啓-皿（k +）= _2© _疋0（5）3 （廠2%-疋+ ）+乍-屜（嚴(yán)+1） = _嚴(yán)嘰_嚴(yán) （6）（6） *嚴(yán)一（5） 2*嚴(yán),消去rl,得:£-岡£-疋 +R創(chuàng)

31、 _ eJ2 _應(yīng)（5弋）石廠-血+R® _S®'-疋 /2應(yīng)（創(chuàng)+。"） + £_加+$/2） _ 應(yīng)（他一0 /2） + £押"2 Rg+Q * £-八©+。/2） _ 應(yīng)（厲-0/2） * g-jg-Q /2） 2cos（e +Q/2）-2cos（q?-Q/2） 2cos（692 +0/2） - 2 cos一 0/2）一 4 sin（警）sin（警 + 約 4sin（警）sin（警 + 約sin y cos cos 孚 sinsinfcos 警+ cos 牛 sin 警k = c/g （空瀘"

32、;"g牛可得,2akr,=mCOS（二丄） 其中a =Z“2 0）、COS（L）2第4章FIR數(shù)字濾波器4- 1用矩形窗設(shè)計一線性相位高通濾波器e( _ 龍)a,7t - coc <a)<7C0,0<co<7r-cor(1) 寫出h(n)的表達(dá)式，確定a與N的關(guān)系。(2) 問有幾種類型，分別是屬于哪一種線性相位濾波器？(3) 若改用漢寧窗設(shè)計，寫出h(n)的表達(dá)式。解：(1)根據(jù)線性相位高通濾波器的特點(見書上101頁表)，其頻率響應(yīng)的幅度函斂在Ji處一定偶對稱(與N 的奇、偶性無關(guān))，所以選擇02九頻率范圍作為求hd(n)積分范圍(同樣與N的奇、偶性無關(guān))。

33、h3訃。=丄驚嚴(yán)一祁丄叭恂(丿 一 a)(/r + Q)(丿 一 a)(兀一吆)d 2>tJo d2沁 ®= ±ej7ra!2tt j(n-a)j7ra J(n-a)/r= sn(n-a)(oc = (-)n Sa(n - a)M.it (n-a)7t對于線性相位FIR數(shù)字濾波器，必有4 =N-12N = 2a + (-1)"么 Sd(n-a)儀0</7<26zh(n) = hd(n)RN(<n) = <兀0其它(2) 根據(jù)書上101頁表中特性，本題對應(yīng)濾波器可以有2種類型。N 1 一類為偶、奇，即h(n)偶對稱，N為奇數(shù)，此時4 =

34、為整數(shù)，相位特性中無h/2相移。2h(n) =h(N-1-n), H(3)=H(23),為第一種類型線性相位濾波器。N 1另一類為奇、偶，即h(n)奇對稱，N為偶數(shù)，此時Q =中有一 0.5的非整數(shù)，與理想頻響相2位中的幾組合后含有n/2相移，所以滿足第四種類型線性相位潼波器的要求。 h(n)>h(M-1-n), H(co)=H(2 jc-Q).(3)用漢寧窗設(shè)計h(n) = hAn- 一 cos( m )17?v(n)0< n < 2a其它4-2用矩形窗設(shè)計一線性相位帶通濾波器-CDc <0)-(0 < CDc0 < 69 < 69() - COc,

35、 C0 一 0)(、<CO<7t(1) 設(shè)計N為奇數(shù)時的h(n)o(2) 設(shè)計N為偶數(shù)時的h(n).(3) 若改用漢明窗設(shè)計，寫出以上兩種h(n)的表達(dá)式。解：、(2)根據(jù)線性相位特性中無”/2相移的特點，h(n)必為偶對稱。査書上101頁表知，本題對應(yīng)第一、第二類線性相位濾波器，均可設(shè)計帶通濾波器。且其頻率響應(yīng)的 幅度函數(shù)在0處均偶對稱(與N的奇、偎性無關(guān))，所以選擇決頻率范圍作為求h,n)積分范圍(同 樣與N的奇、偶性無關(guān))，求出的hd(n)同時適用奇數(shù)N和偶JRN情況。hd 5)匚叫(嚴(yán)嚴(yán)血=丄一a)(Ddco +如訂_力0令第一項。=s0TT一©0_%叭 _

36、74;c畀:爲(wèi)：2現(xiàn)何畑7t(n-a)sin(n -cr),cos(n -df)ry0sin 一 q)(5 + e()一 sin(/? 一 a)(e() 皎)7r(n-a)如果選擇02“頻率范圍作為求ha(n)積分范圍，由于頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)在兀處的對稱性與N的奇、 偶性有關(guān)，所以應(yīng)針對N的奇、偶情況分別求取。但因N為偶數(shù)時，其中有一項ejl7r,la =-1, 正好與其幅度函數(shù)中的奇對稱性- H(23)抵消，所以結(jié)果與N為奇數(shù)時相同。(3)用漢陰窗設(shè)計h(n) = hd (n)0.54 - 0.46 cos()/?“(")27重復(fù)上題(1) (2) (3)。因線性相位特性中有JI/

37、2相移，h(n)必為奇對稱。查書上101頁表知，本題對應(yīng)第三、第四類線性相位濾波器，均可設(shè)計帶通濾波器。且其頻率響應(yīng)的 幅度函數(shù)在0處均奇對稱(與N的奇、偶性無關(guān))，所以選擇-"兀頻率范圍作為求h,n)積分范圍(同 樣與N的奇、偶性無關(guān))，求出的hd(n)同時適用奇數(shù)N和偶數(shù)N情況。#；2(從訓(xùn)()皿二丄+叫訂血伽+。+叫討5_嘰少 令第_項0 = 2龍 J-e。_叫J®)一(=-+a，cjej(na)Odo)+汕)2龍5)一畋5)-皎"#7r(n-a)cos(n一a)(e()+ a)c)一cos(n一a)(a)Q 一coc)兀(n a)與4-2樣，如果選擇02“

38、作為求hd(n)積分范圍，由于頻響幅度函數(shù)在"處的對稱性與N的奇、偶 性有關(guān)，所以應(yīng)針對N的奇、偶悄況分別求取。但因N為偶數(shù)時，其中有一項ej2na =-1,正 好與其幅度函數(shù)中的奇對稱性lH(3)=-H(23)抵消，所以結(jié)果與N為奇數(shù)時相同。(3)用漢明窗設(shè)計h(n) = hd (n)0.54 一 0.46 cos(n)N-一 2sm(” Q)eJ sin一q)c%0.54 - 0.46cos(-) =< n(ji -a)N -100 K N -1其它Hk = 0.5,0,k=0k = O2<Z:<134-6用頻率采樣法設(shè)計一線性相位低通濾波器，N=15,幅度采樣

39、值為#求采樣值的相位0 (k),并寫出h(n)及H(ejo)的表達(dá)式。 解：M=15N _N _2龍，14龍k =N1514兀Hk) = HkeJ0W = HkeJ1 N_l,h(n) = -Xj2m,k/N =N15"() 2/1=()14/Z;(n-7)1/ =丄工比八'=1 + 0.5八515“o151J 氓(幵_7)=1+0.5 15 +e 151 fl工兀<=1 +cos(/? -7)1515(舁一7).2龍+ 0.5/W后 14(7)，5 1#0.5g-jN®1 150 -/7rwr I B 0.5=sin()e J +一152. (a). (co

40、 7i . co 14sin() sin( 一 ) sin(- 一 )22152154-7在題圖4.2中h(n)是偶對稱序列，N=8, b(n)是b(n)圓周移位N/2=4位后所得的序列，Hi(k) = DRhi(n)l, ft(k)= DFTh,(n)(1) 試問丨Hi (k) I = |Hi(k) I成立嗎？弗(k)與H(k)有什么關(guān)系？(2) 以h,(n)> bS)作為單位脈沖響應(yīng)，可構(gòu)成兩個低通濾波器，試問是否屬于線性相位濾波器？時 延是多少？解：(1)N-IN/2-lN_tH(k)=h(Mej2N=工加心-如山川+工h5*j2翻N71=0n=0n=N/2N _N/2_lN-H#

41、*工h2(心rjEWN = £禺(心一和枚"+工他(必加山/N"=0/?=0n=N 12對第項令m = n + N/29對第一項令m = n-NI2,則好)=N_工他一 N/2)e-j2fr(m-N/2)k/NN/21工/?2(加 + N /2)e-j2rr(m+N/2)k/NN-am=NI2N7 川dem=N 12N j2_-NI2)klN *£/?(加上一J2R“+N/2)RNm=0N/2-加M/N + £jSnk f N、=廠 j賦 H (k);n=0m=N 12/n=0利用書上p34 DFT的圓周移位性質(zhì)式(2.25)同樣可以得到上述結(jié)

42、果。所以丨H,(k) | = | H2(k) |成立, X(k)與叭(k)相差(-kx)的相角。(2) 因為兩個h(n)都具有偶對稱性，且N為偶數(shù)，所以可構(gòu)成第二類線性相位滝波器，時延均為3. 5, 均可設(shè)計為低通濾波器。(3) 兩個濾波器相當(dāng)于對同一個矩形h(n)濾波器加了不同的宦函數(shù)，由于h(n)的對稱性和N的奇偶 性相同，所以它們的相位特性一定相同，但由于兩個窗函數(shù)不同，所以復(fù)頻特性不同。從我們對窗函 數(shù)的理解看，第一個正三角形窗使h(n)波形變平滑，則主瓣變寬，阻帶衰減特性改善。第二個倒三角 形窗使h(n)波形變化更快，則主證可能變窄，阻帶衰減特性可能變差。也可直接分別計算頻響進(jìn)行比較

43、：NN/2-1.N_耳=工勺(嘆"=工勺(識呵+ S Ig"“=()“=()n=N/2N/2-1N/2-I八，.=D2V + 口©_識"皿亠心n=0w=0N/2-1=£力心)藥加+廣問35刃=0(r qN /2-j(o( -«)-H)嚴(yán)(z)/2 hn)e2 +e 2H=0=2廣八如 f 片(n) cos(3.5 - /?) 71=0利用上述結(jié)果，有29Nn=0=£/?2（"）cose（3.5-n） 令加=3-n"=0=2嚴(yán)血 f 他（3 一 加）cos（3.5 一 3 + m）w=0=2e 卩'

44、® £ h（應(yīng)）cos®（0.5 + m）w=（）與H|0"） = 2£7'5巾£|（H）cos9（3.5 ）進(jìn)行比較，顯然有相同的相位特性，但幅71=0度特性不同。 J第5章數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)及實現(xiàn)5-1寫出題圖5.1結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)及差分方程。 解：(a)y (n) =0. 25 y (n-1)-0. 3 y (n-2) +2 x(n) +0. 25 x(n-1)H(z) =2+ 0.25 廠l-0.25z_, +().32X(z)=1 + 0.5廠+2廣2 1-1.5' -0.5"2yla)= x2(z)X2

45、(z)= Xl(z)-0.2zlYl(z)= Xt(z)-0.2z-lX4z)X2(z) _1X,(z) 1 + 0.2Z-'乙二2乙二2/二2X|(z)_ X| 一 X|(z) 一1+()右H(.)二 EC)二人 X?二 4 + 以+2八13、" X2() ' x,(z) 1-0.2<-' +0.8z-2 '1 + 0.2'H(z) =XKz)"z)X(z)X(z)X|(z).E + 5 X| l+05z"+2嚴(yán)24 + z"+2廠1=“ I I1一15丁一05尹 1 + 0.2* 1 一02廠+0.8嚴(yán)

46、l + 0.2z"1 + 0.5T+2嚴(yán)6 + 0.6T+3.6 廠一 1 -1.5z“ -().5z_ 1 + ().76廠2 + ()6z_6+3.6z" +15.9 嚴(yán) +3尹 +7.2Z"4一 1 l5z" +026zJ 098嚴(yán)062廠0.08 尹y (n) =1 5y (n-1) -0 26y (r»-2) +0. 98y (n-3) +O 62y (n-4) +0. 08y (n-5)+6x (n) +3. 6x (n-1)+15. 9x (n-2) +3x (rr-3) +7. 2x (n-4) 5-7已知FIR濾波器的16個頻

47、率采樣值為H(O)=b H(1) = 1 -/巧,H(2) = 0.5 + 0.5八H(3)H(13)都為0H(14) = 0.5-0.5j丹(15) = 1 + 八療9設(shè)修正半徑(不修正極值點位置)，求濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)。解：參考書上134頁公式(5.30)、(5. 31),有HJ耳Wo+ %) + %) N其中H© = 1 -嚴(yán)，日°二匸戶H_弘+勺以 =2ReF(l)-2Re/7(l)%zT1 '1-z'2cos(/8)4-z21 - z_l 2 cos(2- / N) z2_ 2-4Re2T"wF/8廠 _ 2-4*cos(ll;r/2

48、4)1 - 12 cos( / 8) + z21 - z_, 2cos(/z78)十嚴(yán)H 2ReH(2)-2ReW 眈以=1-血以2 亠 l-z i2cos(4;r/N) + z '1-邁廠 + 嚴(yán)5-9 A/D變換器的字長為b,采用舍入處理，輸出信號必須乘以比例因子A,以使其最大絕對值不超過1,(1) 當(dāng)輸入為正弦隨機相位序列S- Bcos(®" + "), &在|(),2兀|上均勻等概率分2 / 2布時，試求A/D變換器的輸出信噪比(2) 當(dāng)輸入為一隨機倍號，且x(n)的峰值是bx的土 3倍，求A/D變換器的輸出倍噪比 并問若要求得到80dB的

49、倍噪比，字長應(yīng)該多少位。解：(1)乘以比例因子鳩，無論B為何值，輸入到A/D變換器正弦信號量大幅度始終為1,所以貳 土右 COS 如 + 0dd = |(2)因x(n)的峰值是"x的±3倍，而乘以比例因子A后，A/D變換器的輸入信號峰值達(dá)到1時有最大 的宣化噪聲信噪比，所以有_ 1 2_ 1O' = ,(7 =x 39乙ASNR = 101gf = 101g（-22h） = 6.02（/? +1） - 4.771 = 6.02/? +1.249叭3令SNR=80,求得b= （80-1.249） /6. 02=13. 08 （取整）=14注：字長的理解有兩種，一是指有

50、效字長，去掉符號位后還有b位，量化寬度（或量化階）為q=2=書 上的例題和上題題解均按此計算。另一種為總字長，包括符號共b位，這時量化寬度變?yōu)閝=2_”。 今后統(tǒng)一用q=2滄。5-10 一個二階IIR濾波器的傳遞函數(shù)為H(z) =0.5 - 0.3z"(1 一 0.9廠)(1一0&_)現(xiàn)用b位字長定點制實現(xiàn)它，尾數(shù)作舍入處理。（D 試計算直接11型結(jié)構(gòu)的輸出舍入噪聲方差；（2）如果用一階網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)H （z）,則共有六種網(wǎng)絡(luò)流圖，試畫出有運算舍入垛聲時的每 種網(wǎng)絡(luò)的流圖井計算輸出舍入噪聲方差；（3）用并聯(lián)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，計算輸出舍入噪聲方差；幾種結(jié)構(gòu)相比較，哪種量高，哪種量

51、低。解：解：直接型0.5-0.3廠1一17廠+0.72 廠 $0.5-0對B(z)33#直接型結(jié)構(gòu)流圖如圖0. 5 eo (n) +ei (n) +et (n) +e3 (n)eo (n) +ei (n)0. 5 e2 (n) +ej (n)1.72才!®3|4).72直接II型直接I型#圖IIR直接型的舍入噪聲分析圖中e0（n）.弓（）、幺2（）、乞）分別為系數(shù)0.5、7 3、17、-0. 72相乘后引入的舍入噪聲。采 用線性迭加的方法，從圖上可看出，對于直接I型，輸出噪聲訂(n)是這4個舍入噪聲通過網(wǎng)絡(luò)WO(Z)=形成的，因此Bef(n) = eQ (n) + e (n) + e

52、2 (n) + e3(n) * hn)h0(n)是Ho(z)的單位脈沖響應(yīng)。1 dz輸出噪聲的方差為：o =4cr2 - f./2可人BB(') z將云=% 和B(z)代入，利用留數(shù)定理得:Z-0.9J = 9 (1 一 0.9z-' )(1- 0.8z-' )(1- 09z)(l 0.8z)z二=0.9z-0.8+ (1 0.9z" )(1 0.8z)(1 一 0.9z)(l 08z)z=等爲(wèi)為-馬扁=T0.90.8c=0.835#+ 2云=0.80.15x0.230.1x0.19x0.280X0.260.1 x 0.36x0.28+ 1 = 0.8176/

53、對于玄接II型，輸出噪聲ef(n)是2個舍入噪聲通過整個網(wǎng)絡(luò)H(Z)與2個舍入噪聲直接相加形成的, 因此ef(n) = e0(n) + e (n) * h(n) + e2(n) + e3(n)h (“)是H(z)的單位脈沖響應(yīng)。愉出噪聲的方差為：<7； ：= 2分亠£ H丹(z)生+ 2云 2刃z(0.5 - 0.3Z'1 )(0.5 - 0.3z)(z - 0.9)(1 -0.9z_,)(l -0.8z-')(l -0.9z)(l -0.8z)z(0.5 二 0.3z" )(0.5 二 0.3z)(z 二 0$)(1 一 0.9z" )(1 - 0.8z" )(1 - 0.9z)(l - 0.8z)z級聯(lián)型 將H(z)分解H(z) = 0.5 0.3?“八門-1 U.9Z胡比比1-0&T結(jié)構(gòu)流圖為0二5 eo (n) +ei (n)