數(shù)學案例分析

1、初中數(shù)學教學案例分析 【案例1】 學生積極參與教學，集中體現(xiàn)了現(xiàn)代教學理念：活動、民主、自由 【案例簡述】我在進行數(shù)學七年級上冊一元一次不等式的應用教學時，在拓展思維環(huán)節(jié)舉出了下面這樣一個例題，隨著教學過程的深入，很有感想： 例題：在一個雙休日，某公司決定組織48名員工到附近一水上公園坐船游園，公司先派一個人去了解船只的租金情況，這個人看到的租金價格如下表所示： 船 型 每只船載人數(shù) 租金 大船 5 3元 小船 3 2元 請你幫助設計一下：怎樣的租船才能使所付租金最少？（嚴禁超載） 師：誰能公布一下自己的設計方案？（學生都在緊張的思考中） （突然間，我發(fā)現(xiàn)一名平時學習較困難的學生這次第一個舉起

2、了手，很驚奇，便馬上讓他發(fā)言了。也有了我思想上的一次飛躍。） 生：我認為可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租！ （這時，教室里哄堂大笑，這位學生頓時有些難堪，想坐下去，我趕緊制止。） 師：很好！你為他們設計了三種方案。那你能不能再具體為他們計算出租金呢？ 生（一下子來勁了）： 如果租大船，則需要船只數(shù)為48/5=9.6只，因為不能超載，所以租大船需10只，則所付租金要3×10=30元。 如果租小船，則需要船只數(shù)為48/3=16只，則所付租金要16×2=32元。 如果既租大船又租小船（說到這里，該生卡了殼） （我邊認真聽，邊將他的方案結(jié)論板書在黑板上，看見卡了殼，便趕

3、緊答上話） 師：剛才×××同學真的不錯，不但一下子設計了三種方案，還差不多完成了全部租金的計算，我和全班同學都為你今天的表現(xiàn)感到非常高興（教室里響起一片掌聲）。要有勇氣展示自己，你今天的表現(xiàn)就非常非常地出色，你今后的表現(xiàn)一定會更出色。 好，下面我就讓我們一同把剩下的一種方案的租金來完成吧。 （在師生的共同研討中得出）： 設租用X只大船，Y只小船，所付租金為A元。 則： 5X + 3Y = 48 A = 3X + 2Y 得到：A = 1/3X + 32 因為：0 5X 48 且X為正整數(shù) 所以：X = 9時，A最小值 = 29 即租用9只大船和1只小船時，所付租金最

4、少，最少租金為29元。此時有 45人（5×9）坐大船，有3人坐小船。 師：今天的課程內(nèi)容還有一項，那就是請×××同學（示意剛才的同學）談談這堂課的感想。 生：以前我不敢發(fā)言，我怕說的不對會被同學們笑話，而今天的游船題目恰好是我前幾天才去坐過的，所以一下子 我今天才發(fā)現(xiàn)不是這樣 我今后還會努力發(fā)言的 【案例分析】從這一個學生的舉手發(fā)言到說得頭頭是道的“意外”中，讓教師明白了：學生需要一個能充分展示自我的自由空間，作為老師，我們需要給學生一個自由的民主的氛圍，能充分培養(yǎng)學生的自信，使“學困生”也能產(chǎn)生發(fā)言的欲望，也能對問題暢所欲言，教師還應能及時捕捉到這一閃

5、光點，給每一位學生都有展示的機會。也就是說要使學生全部積極參與教學，因為它集中體現(xiàn)了現(xiàn)代課程理念：活動、民主、自由。1、民主是現(xiàn)代課程中的重要理念。民主最直接的體現(xiàn)是在課程實施中學生能夠平等地參與。沒有主動參與，只有被動接受，就沒有民主可言。相反，如果沒有民主，學生的參與就不是主動性參與，而是被動的、消極的參與。在課程進行中，教師應形成一種有利于學生主動參與的人際關系氛圍。尊重是進行一切活動的前提，只有尊重學生，才能理解學生，才能做到平等，學生才會感到安全，才不會出現(xiàn)有的學生被冷落，被諷刺，甚至被恥笑的現(xiàn)象。2、在提問時，應設計開放性的問題，如：“請你幫助設計一下，怎樣租用，才能使所付租金最少

6、？”這樣才沒有限制學生的思維，給學生創(chuàng)設一個自由的空間，學生在這個空間中可以按自己的方式展開想象，才能暢所欲言。 3、在課堂上，老師應不只關注“優(yōu)等生”，而應平等地對待每一個學生，讓學困生”和“學優(yōu)生”同時享有尊嚴和擁有一份自信。特別是發(fā)現(xiàn)到一個學困生在舉了手時，應及時給“學困生”展示的機會，讓他們發(fā)言，學生在發(fā)言中，雖然有時不能把問題完全解決，老師也要充分的肯定這個學生的成績和能夠大膽發(fā)言的勇氣。 【案例2】 圓周角教學利用多媒體技術進行的探索發(fā)現(xiàn)學習【案例實錄】教學過程 : 1. 習舊引新 在 O 上 , 任到三個點 A 、 B 、 C, 然后順次連接 , 得到的是什么圖形 ? 這個圖形與

7、 O 有什么關系 ? 由圓內(nèi)接三角形的概念 , 能否得出什么叫圓的內(nèi)接四邊形呢 ( 類比 )? 2. 概念學習 什么叫圓的內(nèi)接四邊形 ? 如圖 1, 說明四邊形 ABCD 與 O 的關系。 3. 探討性質(zhì) 前面我們已經(jīng)學習了一類特殊四邊形 - 平行四邊形 , 矩形 , 菱形 , 正方形 , 等腰梯形的性質(zhì) , 那么要探討圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) , 一般要從哪幾個方面入手 ? 打開幾何畫板 , 讓學生動手任意畫 O 和 O 的內(nèi)接四邊形 ABCD 。 ( 教師適當指導 ) 量出可測量的所有值 ( 圓的半徑和四邊形的邊 , 內(nèi)角 , 對角線 , 周長 , 面積 ), 并觀察這些量之間的關系。 改變圓的

8、半徑大小 , 這些量有無變化 ? 由 (3) 觀察得出的某些關系有無變化 ? 移動四邊形的一個頂點 , 這些量有無變化 ? 由 (3) 觀察得出的某些關系有無變化 ? 移動四邊形的四個頂點呢 ? 移動三個頂點呢 ? 如何用命題的形式表述剛才的實驗得出來的結(jié)論呢 ?( 讓學生回答 ) 4. 性質(zhì)的證明及鞏固練習 證明猜想 已知 : 如圖 1, 四邊形 ABCD 內(nèi)接于 O 。求證 :BAD+BCD=180°,ABC+ADC=180° 。 完善性質(zhì) 若將線段 BC 延長到 E( 如圖 2), 那么 ,DCE 與 BAD 又有什么關系呢 ? 圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 : 圓內(nèi)接四

9、邊形的對角互補 , 并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。 練習 已知 : 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中 , 已知 A=50°,D-B=40°, 求 B,C,D 的度數(shù)。 已知 : 如圖 3, 以等腰 ABC 的底邊 BC 為直徑的 O 分別交兩腰 AB,AC 于點 E,D, 連結(jié) DE, 求證 :DEBC 。 ( 演示作業(yè)本 ) 5. 例題講解 引例已知 : 如圖 4,AD 是 ABC 中 BAC 的平分線 , 它與 ABC 的外接圓交于點 D 。 求證 :DB=DC 。 ( 引例由學生證明并板演 ) 教師先評價學生的板演情況 , 然后提出 , 若將已知中的“ AD 是 AB

10、C 中的 BAC 的平分線 ” 改為“ AD 是 ABC 的外角 EAC 的平分線 ”, 又該如何證明 ? 引出例題。 例已知 : 如圖 5,AD 是 ABC 的外角 EAC 的平分線 , 與 ABC 的外接圓交于點 D, 求證 :DB=DC 。 6. 小結(jié) : 為了使學生對所學的內(nèi)容有一個完整而深刻的印象 , 讓學生組成小組 , 從概念 , 性質(zhì) , 方法 , 特殊性進行討論 , 然后對討論的結(jié)果進行歸納。 本節(jié)課我們學習了圓內(nèi)接四邊形的概念和圓內(nèi)接四邊形的和要性質(zhì) , 要求同學們理解圓內(nèi)接四邊形和四邊形的外接圓的概念 , 理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 ; 并初步應用性質(zhì)定理進行有關命題的證明

11、和計算。 我們結(jié)合幾何畫板的使用導出了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) , 在這一過程中用到了許多數(shù)學方法 ( 實驗 , 觀察 , 類比 , 分析 , 歸納 , 猜想等 ), 同學們要逐步學會用并關于應用這些方法去探討有關的數(shù)學問題 , 提高我們的數(shù)學實踐能力與創(chuàng)新能力。 7. 作業(yè) 如圖 6, 在等腰直角 ABC 中 ,C=90°, 以 AC 為弦的 O 分別交 BC,AB 于 D,E, 連結(jié) DE 。求證 :BDE 是等腰直角三角形。 已知 :O 和 O 相交于 A,B 兩點 , 經(jīng)過 A,B 兩點分別作直線 CD 和 EF,CD 交 O,O 于 C,D,EF 交 O,O 于 E,F, 連結(jié)

12、CE,AB,DF 。 問 : 當 CD 和 EF 滿足怎樣的條件時 , 四邊形 CEDF 是怎樣的特殊四邊形 ? 并證明所得的結(jié)論。 ( 選做 ) 【案例分析】這一教學案例當然不能被看作是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的初中數(shù)學課堂教學的范例 , 其中許多環(huán)節(jié)還需要進一步改進完善。但其較為真實地反映了目前數(shù)學課堂教學的一些情況 , 一些教學環(huán)節(jié)的處理還是值得肯定的。 1. 突出了數(shù)學課堂教學中的探索性 關于圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)的引出 , 在本教學案例上沒有像教材那樣直接給出定理 , 然后證明 ; 而是利用幾何畫板采取了讓學生動手畫一畫 , 量一量的方式 , 使學生通過對直觀圖形的觀察歸納和猜想 , 自己去發(fā)現(xiàn)

13、結(jié)論 , 并用命題的形式表述結(jié)論。關于圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的證明 , 沒有采用教師給學生演示定理證明 , 而是引導學生證明猜想 , 并做了進一步的完善。這種探索性的數(shù)學教學方式在其后的例題講解中亦得到了進一步的貫徹。這樣既調(diào)動了學生學習數(shù)學的積極性和主動性 , 增強了學生參與數(shù)學活動的意識 , 又培養(yǎng)了學生的動手實踐能力。同時 , 也向?qū)W生滲透了實踐 - 認識 - 再實踐 - 再認識的辯證觀點。一方面 , 使數(shù)學不再是一門單調(diào)枯燥 , 缺乏直觀印象的高度抽象的學科 , 通過提供生動活潑的直觀演示 , 讓學生多角度 , 快節(jié)奏地去認識教學內(nèi)容 , 達到事半功倍的教學效果 ; 另一方面 , 計算機所特

14、有的 , 對數(shù)學活動過程的展示 , 對數(shù)學細節(jié)問題的處理可以使學生體驗到用運動的觀點來研究圖形的思想 , 讓學生充分感受到發(fā)現(xiàn)總是代和解決問題帶來的愉悅 , 培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新意識。 2. 引進了計算機幾何畫板技術 本課例在引導學生得出圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)時 , 通過使用幾何畫板 , 從而實現(xiàn)了改變圓的半徑 , 移動四邊形的頂點等 , 從而使初中平面幾何教學發(fā)生了重大的變化 , 那就是讓圖形出來說話 , 充分調(diào)動學生的直覺思維。這樣一來不僅極大地激發(fā)了學生學習的興趣 , 而且比過去的教學更能夠使學生深刻地理解幾何。當然 , 本教學案例在這方面的探索還是初步的 , 設想今后通過計算機技術的進一步開

15、發(fā)與應用 , 初中平面幾何課能夠給學生更多動手的機會 , 讓學生以研究的方式學習幾何 , 進一步突出學生在學習中的主體地位。 3. 引入了數(shù)學開放題 本教學案例在增大數(shù)學課堂教學的探索性 , 計算機技術進入數(shù)學課堂的同時 , 在學生作業(yè)中還增加了開放題 ( 作業(yè) 2), 為學生創(chuàng)造了更為廣闊的思維空間 , 對此應大力提倡。目前 , 世界各國在數(shù)學教育改革中都十分強調(diào)高層次思維能力的培養(yǎng) , 這些高層次思維能力包括了推理 , 交流 , 概括和解決問題等方面的能力。要提高學生這種高層次的思維 , 在數(shù)學課堂教學中引進開放性問題是十分有益的。我國的數(shù)學題一直是化歸型的 , 即將結(jié)論化歸為條件 , 所

16、求的對象化歸為已知的結(jié)果。這種只考查邏輯連接的能力固然重要 , 并且永遠是主要部分 , 但是 , 它不能是惟一的。單一的題型已經(jīng)嚴懲阻礙了學生數(shù)學創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。 在數(shù)學教學中還可將一些常規(guī)性題目發(fā)行為開放題。如教材中有這樣一個平面幾何題“證明 : 順次連接四邊形四條邊的中點 , 所得的四邊形是平行四邊形。 ” 這是一個常規(guī)性題目 , 我們可以把它發(fā)行為“畫一個四邊形是什么樣的特殊四邊形 , 并加以證明。 ” 我們還可用計算機來演示一個形狀不斷變化的四邊形 , 讓學生觀察它們四條邊中點的連線組成一個什么樣的特殊四邊形 , 在學生完成猜想和證明過程后 , 我們進而可提出如下問題 :” 要使順次連

17、接四條邊的中點所得的四邊形是菱形 , 那么對原來的四邊形應有哪些新的要求 ? 如果要使所得的四邊形是正方形 , 還需要有什么新的要求 ?” 通過這些改造 , 常規(guī)題便具有了“開放題 ” 的形式 , 例題的功能也可更充分地發(fā)揮。 在此 , 我們進一步強調(diào)培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的數(shù)學課堂教學 , 不應僅僅把開放題作為一種習題形式 , 而應作為一咱教學思想。這種教學思想反映了數(shù)學教學觀的轉(zhuǎn)變 , 這主要反映在開放性問題強調(diào)了數(shù)學知識的整體性 , 數(shù)學教學的思維性 , 數(shù)學解決問題的過程性 , 強調(diào)了學生在教學活動中的主體作用于以及有利于提高學生學習的樂趣 , 提高了學生學習的內(nèi)在動力等。 4. 學生學習方

18、式被確定為“發(fā)現(xiàn)學習 ” 在學習理論上 , 按不同的學習方式 , 可分為接受學習 (reception learning) 和發(fā)現(xiàn)學習 (discovery learning) 。所謂接受學習 , 是指學習者將別人的經(jīng)驗變成自己的經(jīng)驗的時候 , 所學習的內(nèi)容是以定論或確定的形式通過傳授者的傳授 , 不需要自己任何方式的獨立發(fā)現(xiàn) ; 發(fā)現(xiàn)學習則是由學習者自己發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的一種學習方式 , 在課堂教學中則主要是指發(fā)現(xiàn)學習。盡管發(fā)現(xiàn)學習效率比接受學習的效率低 , 但卻十分有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的意識 , 鑒于初中學生的身心與教學內(nèi)容特點 , 發(fā)現(xiàn)學習應是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的初中數(shù)學課堂教學中學生學

19、習的主要方式。本教學案例中學生的學被確定為發(fā)現(xiàn)學習 , 那么教師的教學行為就應根據(jù)學生的這一學習特點來設計相應的教學方法以及教學的組織形式。即教師在指導學生學習概念和原理時 , 只給他們一些事實和問題 , 讓學生積極思考 , 獨立探索 , 自己發(fā)現(xiàn)并掌握相應的原理和規(guī)則。對此本教學案例中圓的內(nèi)接四邊形的概念、性質(zhì)等均沒有直接給學生 , 而是在教師創(chuàng)設的問題情境中讓學生發(fā)現(xiàn)而獲得。但不足的是本案例似乎在這方面還不夠典型 , 學生學習積極性的發(fā)揮與調(diào)動亦沒有充分反映出來。這些問題都有待于我們繼續(xù)進行深入的研究。 【案例3】 “有理數(shù)運算”應用題教學【案例簡述】案例呈現(xiàn)問題情境：某股民在上星期五以每

20、股27元的價格買進某股票1000股。該股票的漲跌情況如下表（單位：元）。星期一 二 三 四 五 每股漲跌+4+4.5-1-2.5-6師：星期四收盤時，每股多少元？提問生1、2：（疑惑不解狀）。生3：272.525.5（元）。師：星期四收盤價實際上就是求有理數(shù)的和，應該為： （元）。師：周二收盤價最高為35.5元；周五最低為26元。師：已知該股民買進股票時付出了3的交易稅，賣出股票時需付成效額3的手續(xù)費和2的交易稅，如果該股民在星期五收盤前將全部股票賣出，他的收益情況如何？提問生4、5（困惑狀）。生6：買入：27×1000×(13) 27081（元）；賣出：26×1

21、000×（132）26130（元）；收益：2613027081951（元）。師：生6的解答錯了，正確解答為：買入股票所化費的資金總額為：27×1000×(13) 27081（元）；賣出股票時所得資金總額為：26×1000×（132）25870（元）；上周交易的收益為：25870270811211（元），實際虧損了1211元。師：請聽明白的同學舉手。此時課堂上約有三、四個學生舉起了手，絕大部分學生眼中閃爍著疑惑之意。有些學生在竊竊私語，有一學生輕聲道：“老師，我聽不懂！”少部分學生煩燥之意露于言表?！景咐治觥?、新課程標準要求教師在教學時更關注

22、學生的體驗，要求問題的創(chuàng)設揭示數(shù)學與生活實際密切相關，讓學生認識到數(shù)學就在自己身邊，數(shù)學與人們的生活密不可分，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的深感興趣。本案例教師力圖貫徹新課程理念，試圖聯(lián)系生活，嘗試在提出問題時逐步深入的基礎上培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識，但實際上是“東施效顰”，形式上的一串串問題及解答讓新課程理念遠離了課堂教學實際，教師雖對本題求解準確，但學生的接受與溝通的效率低下，僅僅是教師用了自己在生活實踐經(jīng)驗體會去審視數(shù)學問題。教師感覺容易理解，而事實恰好相反，教師的講述沒有激化學生的思維活動，一些在教師眼里顯而易見的問題，對于學生來說很難。新課程理念倡導的是改變教學內(nèi)容機械化的呈現(xiàn)方式，應放手讓學生

23、自主探求，真正讓學生在課堂上的主體地位得到落實，教師的主導作用表現(xiàn)在組織者和引導者。 2、案例中學生數(shù)學“視界”的困惑學生沒有感知現(xiàn)實生活中的股票買進賣出，對教師在處理數(shù)學信息時認為“自然”和“顯然”的合情合理的推斷存在的“癥結(jié)”如下：1表格中有理數(shù)正負號的實際意義如：4表示每股漲了4元；1表示每股跌了1元。教師沒有交待分析，學生理解較為困難。2周四收盤時的股價是（元），如何理解27元的概念？為什么不能理解為：272.524.5（元），周四的股票與前三天的股票漲跌存在什么關系？3股票賣出時的26元數(shù)據(jù)是哪里來的？4買入交易時交易稅是付出3，賣出時付出的成交額的3和手續(xù)費2，同是“付出了”，為什

24、么理解的數(shù)學意義截然相反？5如何理解一周股票收益的1211元的實際意義？3、案例啟示（1）關注課堂，走近學生教 師在授課時，不能照本宣科，每個學生的家庭背景、生活經(jīng)驗、數(shù)學思維方式各不相同，要深入了解學生，細致入微地觀察學生的內(nèi)在思想和學習中可能出現(xiàn)的問題和困難。本案例中，學生到底需多長時間停留在“毫無希望”的數(shù)學抽象思維境地？教師“操之過急”會使多少學生喪失學習數(shù)學的信心？課堂是活的，在深入研究 本班學生的基礎上，面對有思想的學生，教師要隨機應變，及時調(diào)整教學設計方案及教學思路，教師不能以我對知識的理解方式來作為學生接受的理由，不能忽視學生對新知識也有一個分析、理解和吸收的學習過程。教師只有將學生已有的知識、經(jīng)驗作為教學的出發(fā)點，教學才能做到以人的發(fā)展為本。（2）關注學法，重學習過程新課程提倡在數(shù)學學習過程中，以具體問題為載體，創(chuàng)設一種類似于科學研究的情境和途經(jīng)，引導學生自己去探究，通過學生的親身實踐獲得體驗，讓學生逐步形