代數(shù)方程復(fù)習(xí)(教師版講義)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上基本內(nèi)容 代數(shù)方程復(fù)習(xí)知識精要一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一個未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式。二項方程：一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊為零的方程。其一般式為 Axn+b=0(其中a0, b0,n為正整數(shù)).雙二次方程:只含有偶數(shù)次項的一元四次方程.其一般形式為:ax4+bx2+c=0(a0)無理方程：方程中含有根式,并且被開方數(shù)含有未知數(shù)的代數(shù)式.二元二次方程組:僅含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)項的最高次數(shù)為2的整式方程.二、整式方程的解法1. 一元一次方程和一元二次方程的解法2. 含字母系數(shù)的整式方程的解法3. 特殊的高次方程

2、的解法（1）二項方程的解法二項方程的定義：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另外一邊是零，那么這樣的方程叫做二項方程。關(guān)于x的一元n次二項方程的一般形式是二項方程的解法及根的情況：一般地，二項方程可變形為可見，解一元n次二項方程，可以轉(zhuǎn)化為求一個已知數(shù)的n次方根，運(yùn)用開方運(yùn)算可以求出這個方程的根。二項方程的根的情況：對于二項方程，當(dāng)n為奇數(shù)時，方程只有且只有一個實數(shù)根。當(dāng)n為偶數(shù)時，如果，那么方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根互為相反數(shù)；如果，那么方程沒有實數(shù)根。（2）雙二次方程的解法雙二次方程的定義：只含有偶數(shù)次項的一元四次方程，叫做雙二次方程。關(guān)于x的雙二次方程的一般形

3、式是雙二次方程的解法：可以用“換元法”解形如的雙二次方程。就是用y代替方程中的x2，同時用y2代替x4，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程ay2+by+c=0。解這個關(guān)于y的一元二次方程即可。（3）因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，對有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法時要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。三、可化為一元二次方程的分式方程的解1適宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通過方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程來解。解分式方程要注意驗根！2.適宜用“換元法”的分式方程適宜用換元法的分式

4、方程有兩種，一是二次項與一次項相同的，采取同底換元法；二是不看系數(shù)，方程的未知項呈倒數(shù)關(guān)系的，可采取倒數(shù)換元法四、無理方程的解法解無理方程的基本思路是把無理方程化為有理方程，通常采用“兩邊平方”的方法解。對有些特殊的無理方程，可以用“換元法”解。解無理方程一定要驗根！在初中階段，我們主要學(xué)習(xí)下面兩種無理方程的解法。1.只有一個含未知數(shù)根式的無理方程當(dāng)方程中只有一個含未知數(shù)的二次根式時，可先把方程變形，使這個二次根式單獨在一邊；然后方程的兩邊同時平方，將這個方程化為有理方程。2.有兩個含未知數(shù)根式的無理方程當(dāng)方程中有兩個含未知數(shù)的二次根式時，可先把方程變形，使乙個二次根式單獨在一邊，另外一個二次

5、根式在方程的另一邊；然后方程的兩邊同時平方，將這個方程化為有理方程。3.適宜用換元法解的無理方程如果無理方程中，二次根式里面的未知項和二次根式外面的未知項相同，可以使用換元法來解。一、鞏固訓(xùn)練：已知下列關(guān)于的方程： 其中無理方程是_，分式方程的是_整式方程的是_。二、熱身練習(xí)解下列方程： （4）x4-9x2+14=0 （6） （7） （8） （9） 三、列方程解應(yīng)用題1、小杰與小麗分別從相距27千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，3小時后相遇.，相遇后兩人按原來的速度繼續(xù)前進(jìn)， 小杰到達(dá)B地比小麗到達(dá)A地早 1小時21分，求兩人的行進(jìn)速度分別是多少？解：小杰的速度為千米/小時，小麗的速度為千米/

6、小時 解得精解名題例題1. 解下列關(guān)于x的方程（1）(3a-2)x=2（3-x） （2）bx2-1=1-x2（b-1）解（1）去括號，得 3ax-2x=6-2x 移項，得 3ax-2x+2x=6 合并同類項，得 3ax=6 當(dāng)a0時，方程是一元一次方程，解得 ；當(dāng)a=0時，方程變成 0x=6，這時不論x取什么值，等式0x=6都不成立，因此方程無解。所以，當(dāng)a0時，原方程的根是；當(dāng)a=0時，原方程無解。（2）移項，得 bx2+x2=1+1合并同類項，得（b+1）x2=2因為b-1，所以b+10兩邊同除以b+1，得 當(dāng)b+10時，由方程解得 ；當(dāng)b+10時，方程中，這時方程沒有實數(shù)根。所以，當(dāng)b+

7、10時，原方程的根是，； 當(dāng)b+10時，原方程沒有實數(shù)根。例題2. 判斷下列方程是不是二項方程，如果是二項方程，求出它的根。（1）x3-64=0 （2）x4+x=0（3）x5= -9 （4）x3+x=1解：（1）、（3）是二項方程，（2）、（4）不是二項方程。下面解方程（1）、（3）：（1）移項，得 x3=64 開方，得 即 x=4（3）開方，得 即 例題3. 解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0 （2）x3-2x2+x-2=0解：（1）方程左邊因式分解，得 x(2x2+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0 得x=0或x+4=0或2x-1=0原方程的根是 x=0，x=-4，x=注

8、意：不要漏掉x=0這個根!（2）方程左邊因式分解，得 (x3-2x2) +(x-2)=0 x2(x-2)+(x-2)=0（x-2）(x2+1)=0 即 x-2=0或x2+1=0解方程x-2=0得 x=2方程x2+1=0沒有實數(shù)根所以，原方程的根是 x=2例4解方程：解：解：設(shè)，則原方程化為 解得當(dāng)時，得 當(dāng)時，得 ,經(jīng)檢驗，是原方程的解。例5、 解方程 解：（）例題6 解下列方程：（1） （2）（1）原方程可變形為 兩邊平方，得 x2-2=2x+1整理，得 x2-2x-3=0解得 x1=-1,x2=3經(jīng)檢驗，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。所以，原方程的根是 x=3例題7 解方程 解

9、：設(shè)=y，則3x2-6x+12=3y2 ，則3x2-6x=3y2-12原方程化為 2y=3y2-12+4整理，得 3y2-2y-8=0解得 y1=2，y2=當(dāng)y=2時，=2，=4，解得x=0或x=2；y=時，=，次方程無解。經(jīng)檢驗，x=0，x=2都是原方程的根。所以，原方程的根是 x1=0，x2=2例8、求滿足條件的x，y的值解：根據(jù)題意，可得方程組得例9 列方程解應(yīng)用題兩地盛產(chǎn)柑桔，地有柑桔200噸，地有柑桔300噸現(xiàn)將這些柑桔運(yùn)到C、D兩個冷藏倉庫，已知倉庫可儲存240噸，倉庫可儲存260噸；從地運(yùn)往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元，從地運(yùn)往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元

10、設(shè)從地運(yùn)往倉庫的柑桔重量為噸，A、B兩地運(yùn)往兩倉庫的柑桔運(yùn)輸費用分別為元和元（1）請?zhí)顚懴卤砗蠓謩e求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；倉庫產(chǎn)地總計噸200噸300噸總計240噸260噸500噸（2）試討論兩地中，哪個運(yùn)費較少；解：26倉（1）解：地產(chǎn)庫總計噸噸200噸噸噸300噸總計240噸260噸500噸，（2）當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時， 當(dāng)時，即兩地運(yùn)費相等； 當(dāng)時，即地運(yùn)費較少； 當(dāng)時，即地費用較少例10. 如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45m），用80m長的籬笆圍一個矩形場地 怎樣圍才能使矩形場地的面積為750m2?能否使所圍矩形場地的面積為810m2，為什么?解：設(shè)所圍矩形ABC

11、D的長AB為x米，則寬AD為米依題意，得即，解此方程，得 墻的長度不超過45m，不合題意，應(yīng)舍去當(dāng)時，所以，當(dāng)所圍矩形的長為30m、寬為25m時，能使矩形的面積為750m 不能因為由得 又(80)2411620=800，上述方程沒有實數(shù)根因此，不能使所圍矩形場地的面積為810m2鞏固練習(xí)1. 解方程： 分析：首先要確定各分式分母的最簡公分母，在方程兩邊乘這個公分母時不要漏乘，解完后記著要驗根解：方程兩邊都乘以，得 2. 解方程 分析：直接去分母，可能出現(xiàn)高次方程，給求解造成困難，觀察四個分式的分母發(fā)現(xiàn)的值相差1，而分子也有這個特點，因此，可將分母的值相差1的兩個分式結(jié)合，然后再通分，把原方程兩

12、邊化為分子相等的兩個分式，利用分式的等值性質(zhì)求值。 解：原方程變形為： 方程兩邊通分，得 經(jīng)檢驗：原方程的根是3. 解方程： 分析：此題若用一般解法，則計算量較大。當(dāng)把分子、分母分解因式后，會發(fā)現(xiàn)分子與分母有相同的因式，于是可先約分。 解：原方程變形為： 約分，得 方程兩邊都乘以 注：分式方程命題中一般滲透不等式，恒等變形，因式分解等知識。因此要學(xué)會根據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點，用特殊方法解分式方程。4若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：化簡原方程為：把代入解得，故選擇D。5. 甲、乙兩班同學(xué)參加“綠化祖國”活

13、動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等，求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹？ 分析：利用所用時間相等這一等量關(guān)系列出方程。 解：設(shè)甲班每小時種x棵樹，則乙班每小時種（x+2）棵樹， 由題意得： 答：甲班每小時種樹20棵，乙班每小時種樹22棵。 說明：在解分式方程應(yīng)用題時一定要檢驗方程的根。6. 輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小時；在另一次航行中，用相同的時間，順流航行40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度 分析：在航行問題中的等量關(guān)系是“船實際速度=水速+靜水速度”，有順?biāo)⒛嫠?，取水速正、?fù)值

14、，兩次航行提供了兩個等量關(guān)系。 解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時，水流速度為y千米/小時 由題意，得 答：水流速度為3千米/小時，船在靜水中的速度為17千米/小時。7. m為何值時，關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根？ 解：方程兩邊都乘以，得 整理，得 說明：分式方程的增根，一定是使最簡公分母為零的根8. 某車間要生產(chǎn)220件產(chǎn)品，做完100件后改進(jìn)了操作方法，每天多加工10件，最后總共用4天完成了任務(wù)求改進(jìn)操作方法后，每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解：設(shè)改進(jìn)操作方法后每天生產(chǎn)件產(chǎn)品，則改進(jìn)前每天生產(chǎn)件產(chǎn)品依題意有 整理得解得或 時，舍去答：改進(jìn)操作方法后每天生產(chǎn)60件產(chǎn)品自我測試1. 甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以v千米/小時的速度步行，走了a小時后改乘汽車，又過b小時到達(dá)乙地，則汽車的速度（ ） A. B. C. D. 2. 如果關(guān)于x的方程 A. B. C. D. 33. 解方程：4. 求x為何值時，代數(shù)式的值等于2？5. 甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程，乙隊先單獨做1天后，再由兩隊合作2天就完成了全部工程。已知甲隊單獨完成工程所需的天數(shù)是乙隊單獨完成所需天數(shù)的，求甲、乙兩隊單獨完成各需多少天？參考答案1. 由已知，此人步行的路程為av千米，所以乘車的路程為千米。 又已知乘車的時間為b小時，故汽車的速度為 2. 把方程兩邊都乘以 若方