電磁學(xué)第二章導(dǎo)體周圍的靜電

1、第二章 導(dǎo)體周圍的靜電場(chǎng)，靜電能量電磁學(xué)02-01: 導(dǎo)體pppp導(dǎo)體的性質(zhì)：第一類導(dǎo)體(金屬，均勻) 電平衡弛豫時(shí)間極短(瞬時(shí))周圍不存在電介質(zhì)，絕緣材料的相對(duì)介電常數(shù)為1，電荷密度、靜止等定義均指宏觀量。ppppp靜電平衡條件：均勻?qū)w內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零每個(gè)均勻?qū)w都是等勢(shì)體； 電荷靜止不動(dòng)(宏觀)。ì å Qi = constantïsystemï rrrïE = å Ei = òòò E(r)dVïQiVïU = åUi =U (r)dVïò

2、2;òíQiVï1rïÑò E × dS =åQ Þ divE = -Ñ2U =ïSe0 S內(nèi)e0ïÑò E × dl = 0 Þ rotE = 0ïSrïdE = 0(inside conductor)î電磁學(xué)02-02: 導(dǎo)體電荷分布p導(dǎo)體表面電荷與法拉第圓桶實(shí)驗(yàn)：電磁學(xué)02-02: 導(dǎo)體電荷分布pOther experiments:范德格拉夫起電機(jī)電磁學(xué)02-02: 導(dǎo)體電荷分布p實(shí)驗(yàn)事實(shí)是：靜電平衡

3、時(shí)，導(dǎo)體所帶的電荷都分布在導(dǎo)體的表面上，導(dǎo)體內(nèi)部不可能有未抵消的靜電荷。+-+-_-+-Q -+-_ +Q+- - -+S+v ×v= Q / eìy =ÑòE= 0= 0,dS0ïv= Q / ev= 0v×v×ïy =ÑòEÑòEdSdlí不僅是高斯定理，還有環(huán)路定理，都需要被滿足0ïvvïîy = Ñò E × dS = 0 = +Q + (-Q) = 0電磁學(xué)02-02: 導(dǎo)體電荷分布p【例2.1.

4、7】一導(dǎo)體球殼 A 帶有電荷量 qA<0，導(dǎo)體小球 B 帶有電荷量 qB>0。用絕緣絲帶吊起小球B經(jīng)小孔放入球殼A內(nèi)。(1) B與A不接觸，另A瞬時(shí)接地，然后斷開接地，將B取出。球殼A與小球B帶電情況如何？(2) B與A的內(nèi)壁接觸，A不接地，然后將B取出。球殼A與小球B帶電情況如何？靜電平衡條件下上面的球殼內(nèi)表面有電荷么？電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證(來自北大李芳華教案)p源于Cavendish-Maxwell 多年的工作，Cavendish(1731-1810)設(shè)想：庫侖力 Fµ r-2±d µ r -n，若d¹0，則p均勻帶電導(dǎo)體球殼

5、內(nèi)表面將帶電。找出此函數(shù)關(guān)系(理論)，比較Q內(nèi)與Q總(實(shí)驗(yàn))，便可確定d的下限。電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證首先，若d ¹0，則均勻帶電球面對(duì)內(nèi)部任意點(diǎn)電荷作用力不為零。球面電荷密度s。位于球內(nèi)任意電荷 Q 受電荷元 sdS1 和 sdS2 的共同作用。pp電荷在球殼內(nèi)任一點(diǎn)處 (除球心外) 都受到電場(chǎng)力；結(jié)論：若d ¹0 ，均勻帶電球殼在球內(nèi)各處場(chǎng)強(qiáng)不嚴(yán)格為零(球心除外)。pdF µ s dS1Q - s dS2Q ,Q dW = dS1 cosq = dS2 cosqrnrnr 2r 21212 dF µ s QdW ( 1-1) Þ

6、n = 2 Þ dF = 0 cosqrn-2rn-212電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證p 推論：若d ¹0，帶電導(dǎo)體球殼內(nèi)表面應(yīng)帶電。p d ¹0時(shí)，若內(nèi)表面無電荷分布(只分布在外表面)，使導(dǎo)體中自由電子因受力或趨向球心運(yùn)動(dòng)，或背離球心而移動(dòng)，最終使電荷 分布滿足導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零的條件內(nèi)表面有電荷分布。所謂導(dǎo)體，就是其內(nèi)部 (球殼內(nèi)部)有取之不盡用之不竭的電荷(電子)導(dǎo)體內(nèi)表面帶電導(dǎo)體殼電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證p1773年：“我取一個(gè)直徑為12.1英寸的球，用一根實(shí)心的棒穿過中心當(dāng)作軸，并覆蓋以封蠟。然后把這個(gè)球封在兩個(gè)中空的半球中間，半球直徑為13

7、.3英寸，1/20英寸厚。然后，我用一根導(dǎo)線將萊頓瓶的正極接到半球，使半球帶電。”p用一根導(dǎo)線將內(nèi)外球聯(lián)在一起，外球殼帶電后，取走導(dǎo)線，打開外球殼，用木髓球驗(yàn)電器試驗(yàn)內(nèi)球。p木髓球驗(yàn)電器沒有指示，證明內(nèi)球沒帶電，指數(shù)d£0.02電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證pCavendish同心球?qū)嶒?yàn)結(jié)果和他的許多看法沒有公開。p19世紀(jì)中葉，開爾文發(fā)現(xiàn)Cavendish的手稿中有圓盤和同半徑的圓球所帶電荷的正確比值，才注意到這些手稿的價(jià)值，經(jīng)他催促，才于1879年由Maxwell整理。p他的許多重要發(fā)現(xiàn)埋藏了一百年之久。pMaxwell說： “這些關(guān)于數(shù)學(xué)和電學(xué)實(shí)驗(yàn)的手稿近20捆，其中物體上電

8、荷(分布)的實(shí)驗(yàn)，Cavendish早就寫好了詳細(xì)的敘述，并且費(fèi)了很大氣力書寫得十分工整(就象要拿出去的樣子)，而且所有這些工作在1774年以前就已完成，但Cavendish(并不急于)仍是兢兢業(yè)業(yè)地繼續(xù)做電學(xué)實(shí)驗(yàn)，直到1810年他身邊?！睍r(shí)，手稿仍在電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證p看看Maxwell這個(gè)大理論家是如何做實(shí)驗(yàn)的。p改進(jìn)Cavendish實(shí)驗(yàn)：導(dǎo)體球殼 A、B 之間用絕緣的硬橡膠環(huán)固定；A 球固定在絕緣支架上；利用 C，；M 用來估計(jì)外使之可相連或殼上的原始電荷。推論：若d ¹0，帶電導(dǎo)體球殼內(nèi)表面應(yīng)帶電。p導(dǎo)體內(nèi)表面B帶電導(dǎo)體殼A電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證與d

9、¹0對(duì)應(yīng)，下述實(shí)驗(yàn)完成后，應(yīng)有： 球殼內(nèi)電荷Q¢內(nèi)，球殼 B 電勢(shì)V¢BQ內(nèi)(Q總, d, a, b)¹0V¢B(V, d, a, b)¹0a為 A 球殼半徑，b為 B 球殼半徑，V 為兩球殼初始電勢(shì)。ppppppp實(shí)驗(yàn)步驟：(1) 合 C，A 與 B 相連，充電VA=VB=V，A 接地放電，留原處，V¢A=0。如果p(2) 撤 C，A 與 Bd=0，B 之電荷一定全跑到 A 上，因此應(yīng)有 V¢B=0(3) 如果d¹0，則一般 QB¹0，感應(yīng)導(dǎo)致 Q¢A¹0，V¢B

10、¹0p電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證只要求出 V¢B(V, d, a, b)¹0，即可證明 d¹0并求出 d 的最大值。任何時(shí)刻，球殼內(nèi)外表面的電荷分布均勻，可得半徑 R 的球殼產(chǎn)生的電勢(shì)分布(空間任意一點(diǎn) P，球坐標(biāo))：ppp考慮原點(diǎn)位于球心的球坐標(biāo)：取 (2-d ) 為例Q E µ r -2±d (d ¹ 0)¥¥dqVP = ò dV = ò òrEdr = ò òrr 2-ddr,球面球面球面電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證1¥f &#

11、39;(r) = rF(r)dròQ dq = s R2 sinq dq dj,F(r) =,r 2-drf '(r)s R2 sinq dq djp2pp2p¥ò0ò0òrò0ò0s R sinq dq djdrV=F(r)=2Prf '(r)s R2 sinq dq djp2pòòPd=r00r+ d 2 - 2Rd cosqQ r 2 = R2rdrRdqRpròò rdr = Rd sinq dq Þsinq dq=1Or20Rdf '(r)d

12、rdj = 2ps R f (r ) - f (r ) « (1)2prò0òsV=1P12dr2ìd - Rd > Rd < RforforQq = p Þ r = r = R + d ,q = 0 Þ r = r = ïR - dí12ï0d = Rforî面元電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證ì a f (R + d ) - f (d - R)forP在球外« (2)ï 2Rdï a = ïV f (2R) - f (0)forP

13、在球上« (3)í 2a2Pïï a f (R + d ) - f (R - d )forP在球內(nèi)« (4)ïî 2Rda = 4p R2s 為球面總電量p可以看到，表達(dá)式與滿足庫侖定律下的表達(dá)式很不相同，都是d¹0惹的禍。p下面兩個(gè)套在一起但不連通的同心球殼來計(jì)算各個(gè)球殼內(nèi)外表面處的電勢(shì)(注意，對(duì)每個(gè)球殼，薄薄的殼層內(nèi)部電勢(shì)是相等的)。電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證p對(duì)球殼 A：球殼 A 與球殼 B 各自電荷產(chǎn)生的電勢(shì)和。= a f (2a) - f (0) + b f (a + b) - f (a - b)

14、« (5)VA2a22abbaB,bA,ap對(duì)球殼 B：球殼 A 與球殼 B 各自電荷產(chǎn)生的電勢(shì)和。= b f (2b) - f (0) + a f (a + b) - f (a - b) « (6)2abVB2b2VA¹VBp現(xiàn)在假定兩個(gè)球殼用導(dǎo)線連通，電荷重新分布，VA=VB=V外殼內(nèi)，R=a, d=b內(nèi)殼上，R=b內(nèi)殼外，R=b, d=a外殼上，R=a, d=a電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證p(1) 合C，A 與B相連，充電VA=VB=V，使得式(5)=(6)，消去球殼B上的電荷b，得到b = 2Vbb f (2a) - f (0) - a f (a +

15、b) - f (a - b)« (7) f (2a) - f (0) f (2b) - f (0) - f (a + b) - f (a - b)2QF(r) =1, f '(r) = r ¥ F(r)dr Þ f (r) = F (d ) Þ b ¹ 0r 2-dòr電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證，A接地放電，則A球上電勢(shì)VA=V Þ V¢A=0pp(2) 撤C，A與B因留原處并保持接地A表面有感應(yīng)電荷a¢，由式(5)=0解得：a ¢ = -b b f (a + b) - f (a

16、- b) « (8)af (2a) - f (0)a ¢ / b Þ Eq.(6) Þ V ¢ = V 1- a f (a + b) - f (a - b) « (9)Bbf (2a) - f (0)電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證p 可見在球殼A接地后，電荷重新分布導(dǎo)致球殼B的電勢(shì)V¢B¹0。p 近似計(jì)算 V¢B=？先計(jì)算 f(r)=?¢ò¥ò¥-2+d1-1+d¥rd f (r) = rF(r)dr = rrdr = rr=rr-1+ dr1

17、- dò ¢ò rdrd +1f (r) =f (r)dr =dr =+ f (0)1- d1- d 2rd +1rd ln rf (r) - f (0) =e1- d 21- d 2=r(1+ d ln r + 1 (d ln r)2 +L) « (10)1- d 22!電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證p 最后求得 V¢B：V ¢ = V ì - a × (a + b)1+ d ln(a + b) - (a - b)1+ d ln(a + b)üBí1b2a1+ d ln aý

18、38;þ= 1ì4a2aa + b üVd íln22 -lný « (11)2îa - bba - b þ電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證pMaxwell經(jīng)過這些巧妙的理論推導(dǎo)，然后代入其實(shí)驗(yàn)參數(shù)(V, a, b)，得到下式，其中 d 為靜電計(jì)最大零點(diǎn)漂移或者說精度：p如何確定 d ？給予靜電計(jì)零點(diǎn)漂移 d 以定量結(jié)果。pd 取決于儀器的靈敏度，當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)設(shè)備十分簡陋，沒有絕對(duì)測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)儀器，確定 d 有。pMaxwell巧妙地將 d 與充電電勢(shì)V 相比較給出 d/V 的下限，再由式(12)確定 d的下限。p方法：

19、因V太大，經(jīng)反復(fù)感應(yīng)，使之縮小為V/486。此 d 非彼 dVB¢ = -0.1478Vd < d « (12)電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證p巧妙方法：撤去大球地線，保持其電量，再將小球移去單獨(dú)的大球的電勢(shì)和電量從最初的Q、V減少為最終的值撤去小球地線，保持其電量， 再將大球接地，達(dá)到平衡后大球因受小球感應(yīng)帶正電，電量為小球的1/9將球A充電到電勢(shì)V、帶電量Q (Q>0)，小球接地，因感應(yīng)，小球帶電 -Q/54電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證p 確定 d的下限：靜電計(jì)指示偏轉(zhuǎn)為 D=V/486，將D 與d 相比較，估計(jì)得 D > 300d。比較后得DV

20、VÞ dV1d <=<1300 ´ 4863001458001145800dd <<=0.1478´1458000.1478V216001879, Maxwell Þ d < 5´10-5Þ d < 2 ´10-9Þ d < (2.7 ± 3.1) ´10-161936, Plimpton1971, William電磁學(xué)02-03: 庫侖定律驗(yàn)證pp測(cè)量方法構(gòu)思巧妙：示零實(shí)驗(yàn)假定有，證實(shí)沒有。理論分析用到了靜電學(xué)中許多知識(shí)，如：導(dǎo)體的靜電平衡、電勢(shì)計(jì)算、

21、利用數(shù)學(xué)工具來避免復(fù)雜計(jì)算。p要從前輩大師杰出工作中領(lǐng)悟物理學(xué)研究方法，通過對(duì)他們提出問題、研究問題、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來證實(shí)結(jié)論的了解而得到啟迪。猜測(cè)與最后得出p大家相信了庫侖定律了沒？如果沒有，我們可以繼續(xù)用數(shù)學(xué)讓你痛苦！p放飛你的思維，看看有沒有新招來檢測(cè)庫侖定理的平方反比準(zhǔn)確性！電磁學(xué)02-04: 導(dǎo)體表面電場(chǎng)與電荷分布pp導(dǎo)體表面附近電場(chǎng)強(qiáng)度定性分析：因?yàn)閷?dǎo)體表面為一個(gè)等勢(shì)面，其外側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面。電磁學(xué)02-04: 導(dǎo)體表面電場(chǎng)與電荷分布定量分析：電荷面密度 s(x, y, z)，對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度 E表(x, y, z)， 則表面附近一點(diǎn) P 處微元的電通量：pp注意到無限大電荷面板兩

22、側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度是：p為什么導(dǎo)體表面電荷可以看成是面電荷？思考題E= s¬¾W¾hat¾is¾wr¾on¾g?¾® E= sDS2e表e00QY = E× DS + E×DS = E× DS = s × DS表內(nèi)表e0 E= s Þ r= s r表 eE表en00電磁學(xué)02-05: 尖端效應(yīng)p導(dǎo)體表面上電荷分布：不僅與表面形狀有關(guān)，還和周圍存在的其它帶電體有關(guān)。p對(duì)孤立帶電體，電荷面密度的大小與該處表面的曲率有關(guān)：(1) 曲率較大，表面尖而凸出部分，電荷面密度

23、較大(2) 曲率較小，表面比較平坦部分，電荷面密度較小(3) 曲率為負(fù)，表面凹進(jìn)去的部分，電荷面密度最小電磁學(xué)02-05: 尖端效應(yīng)r1r2Q2p定性分析：電勢(shì)相等條件Q1ppppp尖端放電：避雷針：STM： AFM：近場(chǎng)顯微術(shù)：U =1Q1 = U=1Q214per24per0102Q2Þ s1=Q1Q2= r2 rrs4p r 24p r 2r122121電磁學(xué)02-05: 尖端效應(yīng)p場(chǎng)致發(fā)射電子顯微術(shù)：p場(chǎng)離子顯微術(shù)：E = U / r電磁學(xué)02-05: 尖端效應(yīng)p靜電：小子站在等勢(shì)體上靜電袋這玩意啥時(shí)候會(huì)失效？電磁學(xué)02-05: 尖端效應(yīng)p范德格拉夫靜電高壓起電機(jī)：電勢(shì)可達(dá)

24、2´106 Vp電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算p基本原則: 找出導(dǎo)體表面電荷分布，使導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)為零，每個(gè)導(dǎo)體都有一定的電勢(shì)。具體方法: 先假定表面電荷面密度 s(x,y,z)；根據(jù)靜電平衡條件用相關(guān)定律、定理計(jì)算。盡量利用對(duì)稱性。ppP.68【例題1】E=1(-s - s- s - s )A2e12340E=1(s + s- s - s )B2e12340E=1(s + s+ s - s ) = 0C2e12340電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算p【例2.1.1】已知導(dǎo)體球殼上所有電荷代數(shù)和為零，求：(1)q1作用在q2上的力，(2) q2所

25、受的力。q1q2p導(dǎo)致 q2 受力為零的物理圖像是啥？rF=12r214per 2e120F2 = 0電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算p【例2.1.3】已知A、B原先不帶電，在球殼中心放置電荷 q1、q2，求：(1) q1作用在q2上的力，(2) 去掉球殼B，求q1作用在q2上的力。兩種情況下 q2 有度么？ABqq12rF=1 2 r ,a= 0214per 2e12q20F=12r ,a¹ 0214per 2e12q20電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算p【例2.1.10】真空中有一組彼此不接觸的帶電導(dǎo)體，論證空間電勢(shì)的極大值與極小值只能出現(xiàn)在導(dǎo)體上

26、。Ñ× E = r / e0 ÞQ E = -ÑU ,Ñ2U = -r / eÞ ¶2U+ ¶2U+ ¶2U= -r / e0¶x2¶y2¶z20Umax Û ¶ U2 < 0,¶ U2 < 0,¶ U2 < 0222¶x¶y¶zUmin Û ¶ U ¶x2 > 0,¶ U ¶y2 > 0,¶ U ¶z2 &

27、gt; 0222Q r (r) = 0,¶2U+ ¶2U+ ¶2U= 0¶x2¶y2¶z2電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算p【一題25】有1998個(gè)半徑相同的導(dǎo)體球，各球均帶有相同的正電荷，彼此不接觸。證明，在靜電平衡時(shí)，至少有一個(gè)導(dǎo)體球的表 面處處無負(fù)電荷。p【2.1.12】兩導(dǎo)體上分別帶有電荷 2q 和 ->0。它們都處在一個(gè)封閉的金屬殼內(nèi)。證明電荷量為 2q 的導(dǎo)體電勢(shì)高于球殼。p【2.1.13】封閉導(dǎo)體殼 A 內(nèi)有兩導(dǎo)體 B 和 C，它們?cè)榷疾粠щ姟，F(xiàn)在設(shè)法讓導(dǎo)體 B 帶正電，證明 UB > UC

28、 > UA >0電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算p【例2.1.14】真空中有一不帶電導(dǎo)體球，現(xiàn)將一點(diǎn)電荷 q 放置球心外 a 處，試求導(dǎo)體球的電勢(shì)。1q +1òdq¢ / RU = U+ U=4pe4pe12aq¢00q4pe0a=4pe0aRq¢p【例2.1.15】半徑為 r 的導(dǎo)體球帶電荷 Q，如果將一系列點(diǎn)電荷 qi放在球外離球心為 ri 處，導(dǎo)體球電勢(shì)是多少？ 1åqi 1QU = U+ U=+ <i>+r <i>4pe4pe4pe12rr000i感應(yīng)電荷對(duì)球心電勢(shì)點(diǎn)電荷對(duì)球心電勢(shì)球之

29、原始電勢(shì)球心一點(diǎn)！電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算p【例2.1.16】電荷量為 q 的點(diǎn)電荷放在半徑為 R 的導(dǎo)體球外部，離球心距離為 a，而此時(shí)導(dǎo)體球電勢(shì)為零。求導(dǎo)體球的電荷。p【例2.1.36】電子二極管由兩個(gè)同軸的金屬直圓筒，內(nèi)筒發(fā)射電子，外半徑為1.0mm；外筒接受電子，內(nèi)半徑為1.0cm。如果板壓為300V，不考慮邊緣效應(yīng)，求：(1) 發(fā)射極表面電荷面密度；(2) 電子剛剛離開發(fā)射極時(shí)的受力；(3) 電子到達(dá)接受極的速度。電子發(fā)射時(shí)初速度設(shè)為0，電子質(zhì)量為9.11´10-31kg，電荷為1.60´10-19C。電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力

30、、電勢(shì)計(jì)算p【例2.1.43】在一金屬球外有一同心金屬球殼，球殼有緊密接觸的兩部分 A 和 B 組成，其交界面為平面。初始時(shí)球與球殼都不帶電?，F(xiàn)在讓球帶電 q，證明當(dāng) c < ab/Ö(a2+b2) 時(shí)，B部分所受的靜電力為吸引力。rq2a2 - c2 rF B= -eInter32pe a2a2r0rq2b2 - c2 rF B=eOuter32pe b2b2r0電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算p導(dǎo)體表面電場(chǎng)突變與受力問題(2.1.37 & 2.1.38)：ì sfor infinite plate with s on the surface

31、E = ï 2e0í sïenear the unit dS of a conductor surfaceî 0What is wrong with it?電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算如何在 E=s/e0 和 E=s/2e0 之間過渡？問題出在 s 的定義?導(dǎo)體表面微元 dS 總受力作用，但孤立導(dǎo)體整個(gè)表面合力為0。pps × dS Þ E¢ = - s,E¢ = s12e22e00QdEº 0,s × (S - dS ) Þ E¢¢ = sIn

32、side the conductor2e0 E¢¢ + E¢ = 0& E = E¢ + E¢¢ = s+ s= s122e2ee000dF = E¢¢s × dS = 1 Es × dS2電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算pP.68【例題1】半無限大導(dǎo)體表面對(duì)點(diǎn)電荷Q的感應(yīng)電荷分布p(1) 在P點(diǎn)(導(dǎo)體內(nèi)側(cè))合電場(chǎng)為0。(2) DS外其它表面電荷對(duì) P 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)法向分量為0，僅沿表面方向。s(r)p(3) 可把DS面對(duì) P 點(diǎn)作用特征看作無限大均勻帶電平面。p電磁學(xué)02-

33、06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算pP點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：有了感應(yīng)電荷分布s(r)，其中r=r×sinq，則 Q 點(diǎn)處感受的感應(yīng)電荷電場(chǎng)可求。palong OQ-axis,1Q cosq + s= 0 ü4per 22eï Þ00ýfromcharge Qsurface unit DSþïÞ s = -Qa2pr 22p r3電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算p微分微元+：以Q點(diǎn)投影O為中心，作圓環(huán)微分元，面環(huán)元面積 2prdr，則圓環(huán)微分元產(chǎn)生的電場(chǎng) dE：dE =1(2prd r )s cosq =

34、12prd r a (- Qa ) 4per 24per32p r3002= -1a Q rd r4per60¥1rd r1Q E = ò -a2Q= -04pe(r 2 + a2 )34pe4a24pe(2a)20002F =Q4pe4a24pe(2a)200電磁學(xué)02-06: 導(dǎo)體周圍電場(chǎng)、受力、電勢(shì)計(jì)算p感應(yīng)電荷在Q點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng) E，等效于與點(diǎn)電荷Q關(guān)于導(dǎo)體表面對(duì)稱的鏡像電荷Q¢=-Q，在Q點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)；感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷Q施加的力等效于Q¢對(duì)Q產(chǎn)生的力；pp電像作用原理。電磁學(xué)02-07: 電像法pp電像法解靜電問題的一種特殊方法。在一接地的無窮

35、大平面導(dǎo)體前有一點(diǎn)電荷q，求空間的電場(chǎng)分布和導(dǎo)體表面上的電荷分布。像電荷對(duì)稱面上的電勢(shì)是不是為零？電磁學(xué)02-07: 電像法p注意電像作用的適用條件：導(dǎo)體表面、感應(yīng)電荷、點(diǎn)電荷、方向問題，等等1QE= E=B¢4peB(a + x)2 + y2 + z20p要點(diǎn)：由于像電荷放置在區(qū)域之外，因而不改變區(qū)域內(nèi)的電荷分布，不影響靜電場(chǎng)基本微分方程。只要邊界條件滿足，唯一 性定理就保證了找到的解是問題唯一正確的解。電磁學(xué)02-07: 電像法p【例2.1.44/45】電荷量為 q 的點(diǎn)電荷到一無窮大導(dǎo)體平面的距離為 l。已知導(dǎo)體電勢(shì)為零，(1) 求導(dǎo)體表面上的電荷分布；(2) 電場(chǎng)線從電荷 q

36、 發(fā)出時(shí)，有些是與導(dǎo)體表面平行的，求這些電場(chǎng)線在何處碰到導(dǎo)體表面？電磁學(xué)02-07: 電像法Ø再用電像法求解：去掉導(dǎo)體大平面，加上一個(gè)鏡像電荷-q，則在導(dǎo)體表面處電勢(shì)U=0，滿足靜電感應(yīng)條件下的邊界條件；Ø由上節(jié)提到的惟一性定理，一個(gè)區(qū)域的電勢(shì)由區(qū)域內(nèi)電荷分布與邊界上的電勢(shì)惟一確定；Ø在 z>0 空間任一點(diǎn) P(x, y, z)的電勢(shì) U:qæ11ö U =ç-÷ 4pe0 çx2 + y2 + (z - l)2x2 + y2 + (z + l)2 ÷èø電磁學(xué)02-07: 電像

37、法Øz>0處，電場(chǎng) E 為：ræ ¶U r¶U r¶U r öE = -ÑU = -ç ¶x ex + ¶y ey + ¶z ez ÷èøìrrrrrrü=qï xex + yey + (z - l)ez-xex + yey + (z + l)ezï4peí2223/ 22223/ 2 ý0 ïî éë x + y + (z - l) ù&#

38、251;éë x + y + (z + l) ùûïþ電磁學(xué)02-07: 電像法Ø 在 z Þ0處，電場(chǎng) E 的分布為(在 zÞ0處電場(chǎng)只有 z 分量)：rqlrE = - 2pe2223/ 2 ez0éë x+ y+ l ùûrs rQ E = e ez0s = - ql= - ql2p éë x2 + y2 + l 2 ùû3/ 22p éër 2 + l 2 ùû3/ 2 q

39、62; = ò¥ s × 2p rdr = -ql ò¥rdr= -q00(r 2 + l 2 )3/ 2電磁學(xué)02-07: 電像法Ø只考慮 x=0的平面(即 yz 面)，則電場(chǎng)表示為：Ø由上式分別求出電場(chǎng)分量 Ey 和 Ez，則電場(chǎng)線輪廓由如下微分方程確定。求解這個(gè)微分方程得到：dz = EzÞz + l-z - l=2l dyEy(z + l)2 + y2(z - l)2 + y2r 2 + l 2rqìïrrrrüïE =íyey + (z - l)ez-ye

40、y + (z + l)ezý4pe223/ 2223/ 20 ïî éë y+ (z - l) ùûéë y + (z + l) ùûïþrqìï xr + yr + (z - l)rxr + yr + (z + l)rüïE =íexeyez-exeyez ý4pe222 3/ 2222 3/ 20 îï éë x + y + (z - l) ùû

41、;éë x + y + (z + l) ùûþï電磁學(xué)02-07: 電像法既然電場(chǎng)線在 q 處與導(dǎo)體表面平行，即 dy/dz=¥。對(duì)下述方程求dy/dz，化成單一分式，其分母應(yīng)為零：ØØ最后得到又，dy/dz=¥只有在(z=l, y=0)處滿足，對(duì)(*)式移項(xiàng)并求極限：Ø(z - l)æz + l2lö2l lim= limç-÷ = 1 -z ®ly2 + (z - l)2z®l ç(z + l)2 + y2r 2

42、 + l 2 ÷r 2 + l 2y ®0y ®0 èø (z - l) (z + l)：=é y2 + (z - l)2 ù « (*)3/ 2 ëûy2 + (z - l)2éë y2 + (z + l)2 ùûz + l-z - l=2l« (*) (z + l)2 + y2(z - l)2 + y2r 2 + l 2電磁學(xué)02-07: 電像法對(duì)上一頁(*)式右邊再施加 y®0 和 z®l 的條件，得到：Ø&#

43、216;第(2)個(gè)問題也可利用高斯定理簡單求解。構(gòu)造如圖示高斯面 S (粗紅線包絡(luò))，因包絡(luò)面也是電場(chǎng)線包絡(luò)面，故 E×dSº0；且導(dǎo)體內(nèi) E=0，故有：ÒòòS E × dS º 01-2l= 0 Þ r =3l r 2 + l 2lim(z + l)é y2 + (z - l)2 ù =2l× 0 = 03/ 2 ëû3z®léë y2 + (z + l)2 ùû(2l)y®0電磁學(xué)02-07: 電像法

44、ØØ由高斯定理，高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和應(yīng)為 0。高斯面 S 內(nèi)包含的電荷有兩項(xiàng)：(1) 點(diǎn)電荷 +q 的一半，因?yàn)楦咚姑嬖邳c(diǎn)電荷 +q 處滿足dy/dz=0；(2) 導(dǎo)體表面部分 S¢ 的感應(yīng)電荷 s。由此得：ÒòòE × dS = 0S誰說電荷發(fā)出的與導(dǎo)體表面平行的電場(chǎng)線剛好切出點(diǎn)電荷的一半？q + òò s dS = 02S ¢Qs = - ql2p éër 2 + l 2 ùû3/ 2Þ òò s dS = ò&

45、#242; s × 2p rdr = -ql òrdrrS ¢S ¢0 (r 2 + l 2 )3/ 2l æ 1 -1ö Þ r =3l 2ç l(r 2 + l 2 )1/ 2 ÷èø電磁學(xué)02-08: 靜電場(chǎng)邊值問題的惟一性定理p邊界條件可將靜電場(chǎng)的空間分布唯一地確定下來。即，給定邊界條件后，不可能存在不同的靜電場(chǎng)分布。(電動(dòng)力學(xué)上將作詳細(xì)論證，亦可用反證法)p唯一性定理的實(shí)質(zhì)是：唯一性定理保證了不管我們用什么方法求出的解都是問題的真正的解。因此可以通過各種方法(捷徑)來計(jì)算(分

46、析)。電磁學(xué)02-08: 靜電場(chǎng)邊值問題的惟一性定理p前面的電像法給出的一定是正確結(jié)果。下面的推理也是惟一的。p無論點(diǎn)電荷+Q位于空腔中什么位置，外表面的感應(yīng)電荷+Q都是均勻分布。電磁學(xué)02-09: 重新審視電容問題pppppp孤立導(dǎo)體球之電勢(shì)為：電荷量越多，電勢(shì)越高。電勢(shì)所需電量的物理量為電容 C。標(biāo)度C 與 Q 和 U 無關(guān)，決定于幾何。1F=1C/1V，1mF=10-6F，1pF=10-12F。因此，一個(gè)電容器的電容 C = Q /(U - U )。12典型電容器：U =1Q4pe0 aC = Q /U = 4pe0a電磁學(xué)02-09: 重新審視電容問題p球形電容器：a的內(nèi)半徑表示內(nèi)球殼

47、的外半徑，b為外球殼1Q dr =1Q - Q )E =4pe4peab4pe12r2r 2aba0004pe0Q= 4peC =1 - 10U1 -U2b - aabp平行板電容器：= s S = e0 S-U2E = U1QÞ s = EeÞ C =0-UdUEdd12p有限平板電容器：電場(chǎng)不可能均勻，引入校正因子f 恒大于1。電磁學(xué)02-09: 重新審視電容問題p【習(xí)題p.99-2.7】非平行平板電容器平行板電容器電荷±Q，變形后保持不變因?yàn)?q 很小，不考慮 x 方向電場(chǎng)分量，只考慮垂直于底板方向的電場(chǎng)分量。ppQ d (x) = d0 (1 + q x

48、/ d0 ),E(x) = s (x) / e0,U (x) = E(x)d (x)Uds) Þ U (0) = d0 s (0) Þ s (x) = s (0) / (1 + q x)e0d0e0d0aQ æ aq ö1QQ = constan Þ ò0 s (x)adx = Q Þ s (0) = a2 ç d÷æaq öè0 ø ln ç1 +÷èd0 øs (0)Qe a2 æ1 aqöQU (0)

49、 = E(0)d0 =ed0 ,C = U (0) =dç1 - 2 d+÷ 000è0ø電磁學(xué)02-09: 重新審視電容問題p圓柱體電容器：a 內(nèi)柱殼半徑，b 外柱殼半徑pq1電容器的組合：并聯(lián)導(dǎo)致等效電容C。= C1U AB , q2q1= C2U AB ,.qn = CnUABqnC =U ABU AB+ + Cn= C1 + C2電磁學(xué)02-09: 重新審視電容問題p電容器的組合：串聯(lián)導(dǎo)致等效電容C。Q ,Q-U=U-U=UAEEFGBCCC12n-U= Q( 111 )+. +UABCCC12nQ1C =UA -UB111+ . +C1C21C

50、n111=+ . +CC1C2Cn電磁學(xué)02-09: 重新審視電容問題p復(fù)雜結(jié)構(gòu)的等效電容計(jì)算關(guān)鍵在于虛構(gòu)一充電過程，然后求等效電容兩端建立起電勢(shì)差U12時(shí)組合電容儲(chǔ)存的凈電荷。復(fù)雜結(jié)構(gòu)內(nèi)部導(dǎo)線節(jié)點(diǎn)電中性，閉合回路電勢(shì)差為零。pìÑòQ E × dl= 0= 0+ Q5 = 0ìîïAEFA,E × dl = Q2Q3ïÑò= 0 C5ïîC2C3EBFE= Q1 + Q4òA®E ®B=E × dl =+2 Þ C

51、UABAB等效CCU12AB電磁學(xué)02-09: 重新審視電容問題p作業(yè)：2.6，2.8，2.10，2.11p 電容計(jì)算問題放到電介質(zhì)一章去，在此略去不表！電磁學(xué)02-10: 真空靜止電荷系能量p在點(diǎn)電荷 Q1 的電場(chǎng)空間中，一個(gè)試探電荷 Q2 從ra 移動(dòng)到 r，靜電力做功：p靜電力之功=靜電勢(shì)能增量之負(fù)值。p定義無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)能為0，則 q0 在空間r處的電勢(shì)能是：p這一電勢(shì)能屬于Q1 和Q2 系統(tǒng)整體，考慮靜電力做功的對(duì)稱性：W = 1 (U Q + U Q ) 21122W = - Aab =1 = U2Q24pe0 rr rræ 11 öAab = Q2 ò

52、 E × dl =1 ç-÷ Þ if ra = ¥,then Aab = -1 r4pe0 è rar ø4pe0ra電磁學(xué)02-10: 真空靜止電荷系能量p 對(duì)于三電荷系統(tǒng)： Q1、Q2、Q3 (與移動(dòng)次序無關(guān))11(U + U ) =) Þ W = - A =)4pe4pe12rrrrr013230122331123123åi, j =1 i¹ jåi=1QU=j=ipei4r0ijpp注意：最后一項(xiàng)中 Ui 表示除 Qi 之外所有電荷在 Qi 處產(chǎn)生的電勢(shì)推廣到n個(gè)電荷，甚至是

53、連續(xù)電荷體，有類似結(jié)果：n nW = 1 å j = 1 åQUi24per2i i, j0iji=1i¹ j電磁學(xué)02-10: 真空靜止電荷系能量p離子晶體崩塌p以正離子為中心：立方體邊上的次近鄰鈉離子六個(gè)近鄰氯離子6e212e28e21214pe0W =(-+-+LL)Na2a3a靜電能起著使正負(fù)離子成晶體的作用2= - 0.8738Ne= -8.61´10J / mol < 05W4pe0aW(電離能)= -7.64 ´105 J / molExpp靜電能隨 a 減小而下降，離子結(jié)構(gòu)應(yīng)該崩坍，但離子間電子云重疊受制于泡利不相容原理，

54、晶體因此維持穩(wěn)定。N W= 1 N å k 2k = 2 4pe 0r1 k電磁學(xué)02-10: 真空靜止電荷系能量-s_0_E0p真空電場(chǎng)的概念：存在電荷分布的真空具有靜電能，即電場(chǎng)引起電勢(shì)能。+ +s0如何評(píng)估電場(chǎng)中電能Þ能量密度w！以平板電容為例：外力將 dq 注入到電容器中需做功 dA：pp可以推廣到連續(xù)電荷分布體系，雖然嚴(yán)格證明等到電動(dòng)力學(xué)。2dA = dq(U1¢ -U2¢ ) ÞQ (U1¢ -U2¢ )C0C= 2C= Q2= 1-= 1-2WQ(UU )C(UU ) 2C212212QU1 -U2 = Ed

55、, Q = s S = e0 ESW = 1 e E2Sd Þ w = 1 e E22020電磁學(xué)02-10: 真空靜止電荷系能量無表面電荷導(dǎo)體表面p考慮電勢(shì)能：p可以看到，對(duì)于一個(gè)真空電荷系統(tǒng)，可以從不同角度計(jì)算電能。(1) 利用電勢(shì)能來計(jì)算，只需對(duì)存在電荷的空間進(jìn)行；(2) 利用電場(chǎng)能來計(jì)算，則需對(duì)電場(chǎng)存在的整個(gè)空間，無論那里有無電荷；(3) 利用電容器計(jì)算，則需要判定是否為電容器！p導(dǎo)體和電荷系的電能計(jì)算是電磁學(xué)一個(gè)重要內(nèi)容，需要加以注意！W = 1 ò rUdt + 1 ò sUdS = 1 ò rUdt = 1 ò sUdS(if r =0)2 V2 S2 V2 SQ rU = dq U =dq U = dq U = dq E = s E = e E2dvdSdldS dldS0W = 1 ò rUdt