經(jīng)濟數(shù)學——微積分——中值定理的答案

1、第四章 中值定理，導數(shù)的應用4.1 中值定理一、單項選擇題1、下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理條件的是 (A) .(A) (B) (C) (D) 2、下列函數(shù)在給定區(qū)間上不滿足拉格朗日中值定理條件的是 (B) .(A) (B) (C) (D) 3、函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的 (B) .(A) (B) (C) (D) 4、設是內(nèi)的可導函數(shù)，是內(nèi)任意兩點，則 (C) .(A) (B) 在之間恰有一點，使(C) 在之間至少有一點，使(D) 對于之間任意一點，均有5、設在上有定義，在內(nèi)可導，則 (B) .(A) 當時，存在，使得(B) 對于任何，有(C) 當時，存在，使得(D) 存在，使得析：AB

2、C均要求在上連續(xù).二、證明題1、已知在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且.求證至少存在一點，使.證明 令，則，由題設知在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且.所以根據(jù)羅爾定理，至少存在一點，使得，即，從而.2、設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，.試證明存在兩點，使得.證明 令,則均在上連續(xù)，在內(nèi)可導.且在內(nèi)，.根據(jù)拉格朗日中值定理,至少存在一點，使得 ；又由柯西中值定理，至少存在一點，使得 ，即， 亦即 .所以存在兩點，使得.3、用拉格朗日中值定理證明：時，.證明 令，.顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導.根據(jù)拉格朗日中值定理,，即，又 ，所以當時，有.4、證明方程只有一個正實根.證明 存在性 令，在上連續(xù),，據(jù)零點定理，至少存在一點，使得，即方

3、程至少有一實根.唯一性 用反證法，假設方程有兩個實根且，則有，又在上連續(xù)，在內(nèi)可導，根據(jù)羅爾定理知，至少存在一點，使得，即，矛盾.所以只有一個實根.綜合知，方程只有一個正實根.4.2洛必達法則一、填空題1、；是型未定式.2、；是型未定式.3、；是型未定式.4、；是型未定式.5、；是型未定式.析：二、單項選擇題1、設為未定式，則存在是也存在的 (A) 條件.(A) 充分非必要 (B) 必要非充分 (C) 充要 (D) 既非充分也非必要2、求時，下列各種解法正確的是(C).(A) 用法洛必達則后，求得極限為零(B) 因為不存在，所以上述極限不存在(C) 原式(D) 因為不能用洛必達法則，所以極限不

4、存在3、下列求極限問題中，能夠使用洛必達法則的是 (C) .(A) (B) (C) (D) 三、用洛必達法則計算下列極限1、.2、.或.3、.4、,而 ，所以 .5、.4.3 導數(shù)的應用（一）函數(shù)的單調(diào)性一、單項選擇題1、函數(shù)在內(nèi) (A) .(A) 單調(diào)增加 (B) 單調(diào)減少 (C) 不單調(diào) (D) 不連續(xù)2、設，則的單調(diào)遞減區(qū)間為 (A) .(A) (B) (C) (D) 二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解 定義域，令，得，列表如下：三、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解 定義域，,令，得，又為的不可導點，列表如下：四、利用單調(diào)性證明不等式1、時，.證明 令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，于是有，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即

5、，亦即.2、時，.證明 令,則從而又有在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即 ，亦即.4.3 導數(shù)的應用（二）函數(shù)的極值一、單項選擇題1、若函數(shù)的極值點是，則必有 (D) .(A) (B)不存在 (C) (D)或不存在2、設，則是的 (D) .(A) 間斷點 (B) 可導點 (C) 駐點 (D) 極值點3、設，則在處 (A) .(A) 必有極大值 (B) 必有極小值 (C) 沒有極值 (D) 是否有極值不能確定析：,，即,在處取得極大值二、求函數(shù)的極值.解 定義域，令，得駐點，列表如下：極大值點所以的極大值為,無極小值.三、求函數(shù)的極值.解 定義域，令，得駐點，列表如下：不存在不是極值點間斷極小值點所以的極小

6、值為，無極大值.四、試求為何值時，函數(shù)在點處取得極值？它是極大值還是極小值？并求出該極值.解 ，據(jù)題設知，即，.,從而，所以是的極大值點，極大值.4.3 導數(shù)的應用（三）凸性與拐點一、單項選擇題1、若在區(qū)間內(nèi)，則在該區(qū)間內(nèi) (D) .(A) 單調(diào)減少，曲線是凹的 (B) 單調(diào)增加，曲線是凹的(C) 單調(diào)減少，曲線是凸的 (D) 單調(diào)增加，曲線是凸的2、若點是曲線的拐點，則 (B) .(A) (B) (C) (D) 3、曲線的拐點個數(shù)為 (C) .(A) (B) (C) (D) 4、曲線的圖形在 (A) .(A) 內(nèi)是凹的 (B) 內(nèi)是凸的 (C)內(nèi)是凹的，內(nèi)是凸的 (D) 內(nèi)是凸的，內(nèi)是凹的5

7、、設在處連續(xù)，又，則 (B) .(A) 是的極小值點 (B) 是的極大值點 (C)是曲線的拐點 (D) 不是的極值點，也不是曲線的拐點二、求曲線的凹凸區(qū)間與拐點.解 定義域，令，得，列表得結(jié)論如下：拐點拐點三、已知曲線在點處有水平切線，且原點為該曲線的拐點，試求的值，并寫出該曲線的方程.解 ，由題設知，即，解得 ，所以曲線的方程為.4.3 導數(shù)的應用（四）函數(shù)圖形的描繪一、填空題1、曲線有條漸近線，其方程為.2、曲線的垂直漸近線為，斜漸近線為.3、曲線有斜漸近線.4、曲線有垂直漸近線，斜漸近線.5、曲線有條漸近線.析：，是水平漸近線；是垂直漸近線.二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)

8、間與拐點，并求其漸近線，作出函數(shù)的圖形.解 定義域.令，得；令，得，無一階導數(shù)和二階導數(shù)不存在的點.列表得結(jié)論如下：極大值點拐點極大值，拐點.因為，所以為曲線的水平漸近線，曲線無垂直漸近線和斜漸近線.選取輔助點，做出函數(shù)的圖形如下：無垂直漸近線和斜漸近線. 選取輔助點，做出函數(shù)的圖形如下：4.4函數(shù)最大值與最小值及其在經(jīng)濟中的應用一、填空題1、在區(qū)間上的最大值為，最小值為.2、在區(qū)間上的最大值為，最小值為. 取得最大值的點為，取得最小值的點為.3、設在區(qū)間上的最大值為，最小值為，又，則，.析: (舍) ，最大值為，最小值為.二、單項選擇題1、設，則是在上的 (B) .(A) 極小值點，但不是最

9、小值點 (B) 極小值點，也是最小值點(C) 極大值點，但不是最大值點 (D) 極大值點，也是最大值點2、設，則 (B) .(A) 一定是的最小值 (B) 一定是的極小值(C) 一定是的最大值 (D) 一定是的極大值3、設在某區(qū)間內(nèi)可導且只有一個駐點，則 (C) .(A) 一定是的極值 (B) 一定不是的極值(C) 當是的極小值時，一定是在該區(qū)間上的最小值；當是的極大值時，一定是在該區(qū)間上的最大值 (D) 以上結(jié)論均不正確三、求函數(shù)在上的最大值和最小值.解 ，令，得，因為，所以在上的最大值為,最小值為.四、一商家銷售某種商品的價格滿足關系（萬元/噸），其中為銷售量，該商品的成本函數(shù)為（萬元）.（1）若每銷售一噸商品，政府要征稅萬元，求該商家獲最大利潤時的銷售量；（2）為何值時，政府稅收總額最大？解 (1) 設政府稅收總額為，商品銷售收入為，則，利潤函數(shù)為 ；.令，得，又，所以當銷售量為（噸）時，該商家可獲得最大利潤.(2) ，令，得，又，所以當為萬元時，政府稅收總額最大.五、某商品進價為（元/件），根據(jù)以往經(jīng)驗，當銷售價為（元/件）時，銷售量為件（均為正常數(shù),且）.市場調(diào)查表明，銷售價每下降10%，銷售量可增加40%，現(xiàn)決定一次性降價.試問當銷售價定為多少時，可獲