第3章離散傅立葉變換

1、第3章 離散傅立葉變換3.1 離散傅里葉變換的定義 3.1.1 DFT的定義、DFT與Z變換（ZT）、傅里葉變換（FT）的關(guān)系及DFT的物理含義1、DFT的定義設(shè)是一個長度為M的有限長序列， 則定義的N點(diǎn)離散傅里葉變換為的離散傅里葉逆變換為，稱為旋轉(zhuǎn)因子，稱為DFT變換區(qū)間的長度，NM例 ，求的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT 設(shè)變換區(qū)間N=8， 則設(shè)變換區(qū)間N=16， 則2、DFT與Z變換（ZT）、傅里葉變換（FT）的關(guān)系設(shè)序列的長度為N， 其ZT和FT分別為：比較上面二式可得關(guān)系式物理含義：序列的的DFT的物理意義是對的頻譜在上的等間隔采樣，采樣間隔為，即對序列頻譜的離散化。結(jié)論：(1):DFT變換區(qū)間

2、長度不同，變換結(jié)果不同，一旦確定，與一一對應(yīng)；（2）當(dāng)足夠大時，的包絡(luò)包絡(luò)可逼近（3）表示頻率點(diǎn)處的幅度譜線。如果是一個模擬信號的采樣，采樣間隔為，則與相應(yīng)的模擬頻率的關(guān)系為 對于模擬頻率而言，點(diǎn)DFT意味著頻率采樣間隔為稱為頻率分辨率，為表示時域采樣的區(qū)間長度或記錄長度，所以，要提高頻率分辨率，就必須使記錄時間足夠大。3.1.2 DFT的隱含周期性1、是以為周期的，就以為周期的。對于非周期序列，可以通過周期延拓得到，常取主值區(qū)間為研究對象：2、有限長序列的點(diǎn)離散傅里葉變換也可以定義為的周期延拓序列的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的主值區(qū)間。例：有限長序列及其周期延拓 3.1 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)時移

3、循環(huán)移位性質(zhì)頻域循環(huán)移位性質(zhì)卷積定理、線性性質(zhì)和分別為序列的延拓周期。2、循環(huán)移位性質(zhì)(1) 序列的循環(huán)移位定義：設(shè)為有限長序列，長度為N， 則的循環(huán)移位定義為(2)時域循環(huán)移位定理 設(shè)是長度為的有限長序列 令，則有（3）頻域循環(huán)移位定理： 3、 循環(huán)卷積定理時域循環(huán)卷積定理：（1）計算過程（2）線性卷積與循環(huán)卷積關(guān)系：線性卷積轉(zhuǎn)化為循環(huán)卷積計算問題：實(shí)際需要: LTI系統(tǒng)響應(yīng)（a）循環(huán)卷積（b）線性卷積結(jié)論: 兩序列線性卷積的結(jié)果與將兩序列周期延拓為線性卷積長度后再進(jìn)行循環(huán)卷積的結(jié)果相等。循環(huán)卷積的矩陣表示線性卷積的矩陣表示頻域卷積定理：4、對稱性用途：3.3 頻率域采樣 1、頻域采樣定理如

4、果序列的長度為，只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)時， 才有即可由頻域采樣恢復(fù)原序列，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。 2、頻域采樣的內(nèi)插函數(shù)：頻域采樣表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。 設(shè)序列的長度為M， 在頻域02之間等間隔采樣點(diǎn)，則有 內(nèi)插函數(shù)：表示的的內(nèi)插公式。表示的的內(nèi)插公式。當(dāng) 3.4 DFT的應(yīng)用1、用DFT計算線性卷積將兩個序列都補(bǔ)零延拓為并進(jìn)行循環(huán)卷積時，線性卷積和循環(huán)卷積相等可以用FFT進(jìn)行計算。2、長序列計算卷積直接計算的缺點(diǎn)(1) 信號要全部輸入后才能進(jìn)行計算，延遲太多（2）內(nèi)存要求大（3）算法效率不高解決問題方法：采用分段卷積， 長序列的線性卷積可以用分段線性卷積進(jìn)行運(yùn)算。分段卷積可采用重疊相

5、加法和重疊保留法；設(shè)序列長度為，為無限長序列。將均勻分段，每段長度取M， 重疊相加法：依次將均勻分段，每段長度取M，與線性卷積結(jié)果后，結(jié)果的相鄰兩段的N-1個重疊點(diǎn)相加，即得到最終的線性卷積結(jié)果。例 已知序列，試分別利用重疊相加和保留法計算線性卷積。重疊相加法，取L=5， yk=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14重疊保留法 (1) 將長序列分段，每段長度為L； (2) 各段序列與 M點(diǎn)短序列循環(huán)卷積；(3) 從各段循環(huán)卷積中提取線性卷積結(jié)果。注意：保留前面的M-1個序列，首個序列補(bǔ)0，最終結(jié)果也是舍棄前M-1個，取最

6、后的L個；，3、用DFT對信號進(jìn)行譜分析設(shè)連續(xù)信號的采樣持續(xù)時間點(diǎn)數(shù)為，采樣保持時間為，信號最高截止頻率為，信號采樣頻率為。則、N和F滿足如下關(guān)系式： 在用DFT分析信號頻譜特性時，在已知信號的最高頻率(即譜分析范圍時)，為了避免在DFT運(yùn)算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣速率滿足下式 譜分辨率，信號的觀察時間和N可以按照下式進(jìn)行選擇 因此，例：對實(shí)信號進(jìn)行譜分析， 要求譜分辨率F10 Hz，信號最高頻率，試確定最小記錄時間，最大的采樣間隔，最少的采樣點(diǎn)數(shù)。如果不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時間是多少? 為使頻率分辨率提高一倍，F(xiàn)=5 Hz，要求用DFT進(jìn)行譜分析的步驟：（1）對信號進(jìn)行采樣，；（2）截取有限點(diǎn)進(jìn)行DFT分析4. 用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題DFT(實(shí)際中用FFT計算)可用來對連續(xù)信號和數(shù)字信號進(jìn)行譜分析，誤差來源為 (1) 混疊現(xiàn)象：當(dāng)采樣頻率過低時發(fā)生。 (2) 柵欄效應(yīng)：過大，會遺漏某些頻率。 (3) 截斷效