復(fù)變?cè)囶}答案

1、復(fù)變?cè)囶},選擇題（30分）1. 設(shè)=部則zFz 33-2的值為（）oA. i ; B. 1; C. i ； D. 12. 方程Re（z2） = l所代表的曲線是（）。A.圓周；B.橢圓；C,雙曲線；D.拋物線3. 函數(shù)0） = Lnz在2 ="'處的值為（k為整數(shù)）（）C. 2km - D. (2 k + -)mA.(2kAr + l)i ； B. (2k + l)m ；4,設(shè)函數(shù)f(z) = u + iv在區(qū)域D內(nèi)解析,則"，v的雅可比（Jacob）矩陣行列式aw¥ dv5.J(X,A. |r(z)|；ay源一I8xlaB.=()o；c.2.7D.設(shè) C

2、 :|z| = 1,則SmZ .-dz=()oA.-龍；B. m ；c. 0； d. -2m6.8'，則雙邊幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋ā?=_83 +n若 c =<4 ,=0 1 2cn = -1,-2,?8.B.4< |z| < 3 ；設(shè)函數(shù)竺與在z-i = 2內(nèi)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為2z-3 11A. 1; B. 2; C. 3;設(shè) F/(Z) = F(to),如果當(dāng) £+8 時(shí),C. jv|z|v+8 ； D. J < |z| < +oo()oD.4g(t)= f f(u)du 0 ,則J-8<7f(u)du=(A. -ei7o)F(-)-,2ia)

3、2B. e 2>(-);i(o 2C. e，2>(ty);2i(oD. ei7o,F(to)ito9.積分2（U+4）3（1T也的值為（）A. 2( +4); B. 8; C. -10; D. 1010.利用Laplace變換的性質(zhì)，實(shí)積分 °佬一 "sinZ>W(a > 0)=()aa2-b2lab-lab(a2+b2)2'(a2+b2)2,(a2+b2)2,(a2+b2)2%1.填空題（21分）1.一復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)晉后對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1 + i ,則原復(fù)數(shù)是-2一2. 已知Z = 亍,則Z的輻角主值為01 + V3i3 .函數(shù)

4、 f(z) = x2+iy2,則/'(l + z) =o4.設(shè)驀級(jí)數(shù)£ c “z"與£A（&止”的收斂半徑為和，那么和之間的關(guān)系 ?=0 ?=0是o5.8（。）= 2cos3切的傅氏逆變換f（t）為o6 ,已知 Ff(t) = F(a),設(shè) gi(t) = f(t)*= f(t)*f(t +1o),則Gi (切)=Fgi( £ =G(D)= Fg 2(t) = o%1.判斷下列命題的正誤，正確的在后面的括號(hào)里劃錯(cuò)誤的劃X （14分）。1. 復(fù)變數(shù)的指數(shù)函數(shù)是以 2ki（k為正整數(shù)）為周期的周期函數(shù)。（）2. 設(shè)f（z） = u + iv在

5、區(qū)域D內(nèi)是解析函數(shù)，如果“是實(shí)常數(shù)，那么/'（Z）在區(qū)域D內(nèi)是是常數(shù)；如果 v是實(shí)常數(shù)，那么/Xz）在區(qū)域。內(nèi)是常數(shù)；。（）3.若z°是函數(shù)/'(Z)的奇點(diǎn)，貝U /'(Z)在Z。點(diǎn)不可導(dǎo)。C:|z|=r(O<r<l)的積分等于4.被積函數(shù)/'(z)在0 v|z|v 1內(nèi)解析，且沿任何圓周零, 則/'(z)在z = 0處解析5. 在Z = 0處解析且在Zn =處取下列值n1111111122446688的函數(shù)/ '(z)是不存在的。()6. 設(shè)f(z) = (z-z°ym(p(z),(p(z)在點(diǎn)解析，所為自然數(shù)，

6、則Z0為/'(Z)的所級(jí)極點(diǎn)。()7. 若z = 0為偶函數(shù)/z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，貝iJRes/,0 = 0o() %1. 計(jì)算題(27分)1.H .2. 函數(shù) 1在有限復(fù)平面有些什么類型的奇點(diǎn)，如果是極點(diǎn)，指岀其級(jí)數(shù)，并求岀z(z-D2這些奇點(diǎn)處的留數(shù)。3.求函數(shù)/'(Z) =7 + 在0 <|z|< 1及1 <|z l|<+8內(nèi)的洛朗展式。4.利用Laplace變換求初值問題礦+ 2)'- 3)=。”，火。)=0,y'(0) = 1的解%1. 證明題(8分)已知?/ (，)= n n (夕>0)，證明秘",t >

7、 0-,t = 0 20J < 0r /3cos (a + a ) sin ( m<°at 命 fl 2 +a ) 2“復(fù)變函數(shù)及積分變換”答案%1.選擇題（共30分，每題3分）1B,2C,3A,4C,5C,6A,7D,8B,9D,1OC%1.填空題（共21分，每空3 分）5 ./ 7U1. 41e 12 ,3. 2,4- R<R25. d( t - 3 )+ 6( t + 3)6. icoFa>) ,a°(o)%1.判斷題（共14分，每題2 分)1. X2. V3. X4.X5. V6. X7. V%1.計(jì)算題（共27分）1.（7分）2 （7 97

8、 + 8" | |解：被積函數(shù) 2在時(shí)=2內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)，z = 0為一級(jí)極點(diǎn)，Z = 1為二級(jí)極 點(diǎn)不相交。則（亍一9z + 8）e(f-9z +8)e 分別以z = 0, Z = 1為圓心作兩個(gè)小圓G : |z|= 卜 , C2 :|z-l| = r2,使它們互不包含互一以2m-8 +2m成-9z + 80=16 萬一 14 萬 e2.( 7.5分（第1個(gè)積分2分，第二個(gè)Resf(z),O1分1 11_1_因?yàn)橐?1是函數(shù)Z(Z )2的二級(jí)零點(diǎn)，不是函數(shù)e -1的零點(diǎn),f(z)二級(jí)極點(diǎn)。/ 2分(ez -1八Resf(z),l=lim -(z-1)2 =11)2J2分3. (5 分

9、)(1) 0<|z|<l,所以2f(Z)=弓(-土 )=(+Z 1Z Z Z n=0n=0馬(-如")=-n=01<1|<+8f(Z) 2(z-l)2 | _ Z-l Z2 Z-1=£-i)；)n=0V)'=*)'=T"=V"")'Z-l=£i)"( +i)n=01原式n+2(z-l)=£(-)n=01001廠 + y (T) (n + 1)(z-1) =0(z -1)811)77頃力n=l(Z-l)4設(shè)Ly(f) = 丫(s),對(duì)方程的兩邊取Laplace變換，則得

10、s Y(S) sy(O) v'(0) +2sY(s) -2v(0)-將初始條件代入整理得(廣 + 2s - 3)7(5)3Y(s)=5 + 1 s+ 25+3 5-1即 Y(s)=(s + l)(s + 3)(s取其Laplace逆變換得-t 1 3,3e e H e8 8%1. 證明題（8分）證明：f（ ?）'f （f）e&故=ae°再取其傅氏逆變換得ica I e- dt+8/3 + ico?3在f。）的連續(xù)點(diǎn)處/(O-a-豎 idcoft -ico("cosico ,.(cos 破 + Z sin + 1 cot)do) co 1cot + 刃 sin ax) + i(J3sin cot(/? cos?cos a) t