球面三角形的面積與歐拉公式4

1、球面三角形的面積與歐拉公式474302 / 14§6球面三角形的面積與歐拉公式問題提出如何計(jì)算球面三角形的面積？球面三角形面積與平面三角形面積有什么區(qū)別？如何利用球面三角形面積公式證明球面多面體的歐拉公式？如何利用球面知識(shí)證明簡單多面體的歐拉公式？6.1球面二角形與三角形的面積我們知道，若球面半徑為R,則球面面積為S=4乃斤，現(xiàn)在考慮球面上的一個(gè)小區(qū)域：球面上由兩個(gè)大圓的半周所圍成的較小部分叫做一個(gè)球面二角形。如圖所示，大圓半周刀。和戶©戶所圍成的陰影部分就是一個(gè)球面二角形。顯然P和P'是對(duì)徑點(diǎn)，大圓半周PAR和戶稱為球面二角形的邊。球面角NP=NP'稱為球

2、面二角形的夾角。如果大圓弧AB以P和P為極點(diǎn)，A8所對(duì)的球心角為。，則NP=NP=。計(jì)算地球上一個(gè)時(shí)區(qū)所占有的面積。解 如圖所示，設(shè)0為地心，N、S為北極點(diǎn)和南極點(diǎn)，A、B為赤道上兩點(diǎn)，且ZAO8=15地球半徑為R=6400km,球面三角形的面積與歐拉公式47430根據(jù)地理知識(shí)，地球共分為24個(gè)時(shí)區(qū)，一個(gè)時(shí)區(qū)跨越地球表面15。，所以由經(jīng)線NAS與經(jīng)線NBS圍成的二角形就是一個(gè)時(shí)區(qū)，它所占面積為地球表面積的15_1360-24?ArrD-1即=-xx6400221446605.85r246如何計(jì)算一般球面二角形的面積？1 .二角形的夾角。，就是平面PAP'與PBP，所夾的二面角的平面角;

3、2 .這個(gè)二角形可以看成半個(gè)大圓萬向繞直徑PP'旋轉(zhuǎn)。角所生成；球面二角形的面積與其夾角成比例。設(shè)這個(gè)二角形得面積為U,則巴4萬2汗即U=2a抽象概括球面上，夾角為。的二角形的面積為U=2。如何計(jì)算球而三角形的而積？1.設(shè)S(A8C)表示球面三角形ABC的面積,2 / 14球面三角形的面積與歐拉公式474303 / 142.斤對(duì)球而三角形ABC,分別畫出三條邊所在的大圓。設(shè)A、B、C的對(duì)徑點(diǎn)分別是A、B'、C,則SG48C)+S(48C)=2ZA球面三角形的面積與歐拉公式47430球而三角形A8C+球面三角形48c+球面三角形ABC'+球面三角形A'BC構(gòu)成半個(gè)

4、球S(ABC)+S(AfBC)+S(ABC)+S(ABC)=2乃(1)S(ABC)+S(AfBC)=2ZA-S(ABC)+S(AB'C)=2ZB(2)S(ABC)+S(ABC,)=2ZC所以得到2s(ABC)=2(A+8+C)2開抽象概括定理6.1球面三角形的面積等于其內(nèi)角和減去。球面三角形的三個(gè)內(nèi)角和大于。即球而三角形ABC的面積5=44+/8+/(74，其中4,28,/。是球面三角形ABC的內(nèi)角。例2計(jì)算以北京、上海、重慶為頂點(diǎn)的球面三角形的邊長和的而積。3 / 14球面三角形的面積與歐拉公式474307 / 14解根據(jù)地理知識(shí)，北京位于北緯39。56二東經(jīng)116。201上海位于北

5、緯31。14、東經(jīng)121°29r,重慶位于北緯29。30東經(jīng)106。30,的經(jīng)緯度，地球半徑為R=6400km,如圖所示，設(shè)N為北極點(diǎn)，B為北京，S為上海，C為重慶，在球面三角形NBC中，/BNC=116.3-106.5°=9.80.17弧度,=0.87x/?=5.6xl03bn,18060.5,NC=乃xRL06xR=6.8x10,180BC cosR解球而三角形NBC,有=(cos0.87)-(cos1.06)+(sin0.87).(sin1.06)(cos0.17),8C»0.24H=L5x103%7,同理8s0.16R=1.0xIO,如7,CSx0.22/

6、?=1.4x102？解球而三角形BSC,有cos0.22=cos0.24cos0.16+sin0.24sin0.16cosZ.CBS,即NC6S、1.11弧度，同理N8SC、L34弧度，NSC8、0.71弧度，所以球面三角形BSC的面積為(1.11+1.34+0.71-I)川=7.5、105版2。練習(xí)1 .證明：半徑為R的球而上，夾角為夕的二角形的面積為U=2aR，2 .證明：半徑為R的球面上，球而三角形ABC的而積S=(N4+N8+NC-乃)於。3 .已知球面二角形的而積是球而而積的1，求其夾角。84 .已知球面三角形的邊角關(guān)系如下，求它的面積(前2組為單位球面，后兩組球而半徑為2)：/、一

7、Ij7C.n2%(1) 已知ci=,b=,c=333(2) 已知=三,c=W223(3) 已知ZA=工,N8=工,NC=3344(4) 已知=旦,/8=£,NC=23235 .查閱資料，比較例2結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)的差異。6 .已知球而三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角之和為田，求這個(gè)球而三角形的面積與球面而4積的比。用4個(gè)全等的球面三角形覆蓋整個(gè)球而，如何構(gòu)造？6.2球面上的歐拉公式設(shè)S是一個(gè)球而，我們把球面分割成若干個(gè)球面三角形，要求球而上的每一點(diǎn)至少包含在某個(gè)球面三角形的內(nèi)部或邊上。同時(shí)，任何兩個(gè)球而三角形或者沒有公共點(diǎn)，或者有一個(gè)公共點(diǎn)的頂點(diǎn)，或者有一條公共邊，三者比居其一，這樣構(gòu)成的球面上的

8、網(wǎng)絡(luò)，叫做球而S上的一個(gè)三角剖分，記為圖中所示的兩個(gè)三角形的位置關(guān)系在球面的三角剖分中都是不允許出現(xiàn)的。設(shè)CT是球面S的一個(gè)三角剖分，CT的頂點(diǎn)數(shù)記為V,三角形邊數(shù)記為E,三角形的個(gè)數(shù)記為F,那么V、E、F滿足什么關(guān)系？例3觀察下面的球而三角剖分，記錄它們的頂點(diǎn)數(shù)V,三角形邊數(shù)E和三角形個(gè)數(shù)F,說明它們滿足什么關(guān)系？解在左圖中，頂點(diǎn)為A、B、C、D,頂點(diǎn)數(shù)V=4,三角形的邊為AB、AC、AD、BC、BD、CD,邊數(shù)E=6,三角形為ABC、ABD、ACD、BCD,三角形個(gè)數(shù)F=4,球面三角形的面積與歐拉公式47430所以V-E+F=2：在中圖中，頂點(diǎn)為A、B、C、D、E、F,頂點(diǎn)數(shù)V=6,三角形

9、的邊為AB、AC、AD、AE,FB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED,邊數(shù)E=12,三角形為ABC、ABE、ACD、ADE,FBC、FBE、FCD、FDE,三角形個(gè)數(shù)F=8,所以V-E+F=2：在右圖中，頂點(diǎn)為A、B、C、D、E、F、G、H,頂點(diǎn)數(shù)V=8,三角形的邊為AB、AC、AH、HD、AE、CH、HE,FG、GB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED、CG、GE,邊數(shù)E=18,三角形為ABC、ABE、ACH、CHD、AHE、HED,FGC、GCB、FGE、GEB、FCD、FDE,三角形個(gè)數(shù)F=12,所以V-E+F=2a抽象概括球而上的三角剖分o滿足下面的公式：V-E+F=2O

10、其中V、E、F分別是三角剖分。的頂點(diǎn)數(shù)，三角形邊數(shù)和三角形個(gè)數(shù)。我們把這個(gè)公式叫做球而的歐拉公式。這個(gè)公式與球而的大小，三角剖分的方式無關(guān)。即不管你在怎樣的球面上，如何進(jìn)行三角剖分，雖然V、E、F都發(fā)生了很大的變化，但是它們永遠(yuǎn)滿足歐拉公式。因此，歐拉公式一定反映出球而本身固有的某種性質(zhì)。1 .在另一個(gè)專題歐拉公式與閉曲面的分類中，將對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行詳細(xì)討論。2 .如何利用球面三角形面積公式證明球面多面體的歐拉公式？3 .考慮E和F的關(guān)系：球而上共有F個(gè)三角形，每個(gè)三角形有三條邊，每條邊屬于兩個(gè)三角形，所以3F=2E即Lf=E-F。24 .把F個(gè)三角形編號(hào)，記為i=l,2,對(duì)于第i個(gè)三角形，設(shè)它

11、的面積為三角形的內(nèi)角分別為4,4，%,那么因此，整個(gè)球而的面積6 / 14球面三角形的面積與歐拉公式474304江=力r-lF=Za+d+兀一吟=Z（%+4+%）一萬尸（2）5 .因?yàn)槿瞧史?。共有V個(gè)頂點(diǎn)，而在每個(gè)頂點(diǎn)處，以它為頂點(diǎn)的所有球面角之和為24，所以Z（q+a+%）=24Vz。6 .根據(jù)、（2）、（3）式，得V-E+F=2o這個(gè)公式用歐拉的名字命名，是因?yàn)樵?750年歐拉首次發(fā)現(xiàn)了凸多面體的歐拉公式。由若干個(gè)平面多邊形所圍成的封閉的立體，稱為多而體。如果一個(gè)多面體在它的每一個(gè)面所決定的平而的同一側(cè)，就稱為凸多面體。10 / 14如圖所示，（1）,（2）、（3）、（4）、（5）都是凸

12、多而體，而（6）、（7）不是凸多而體.用V表示凸多而體的頂點(diǎn)數(shù)，E表示凸多而體的棱數(shù)，F(xiàn)表示凸多面體的而數(shù)，歐拉證明了：V-E+F=2.思考交流觀察上面的圖形，寫出它們的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和而數(shù)F,并驗(yàn)證歐拉公式。正如上面的（6）中看到的一樣，后來又可以把凸多面體的歐拉公式推廣到簡單多而體。當(dāng)把多面體想象成由橡皮薄膜圍成的，一充氣這個(gè)橡皮薄膜就可以變成一個(gè)球面，這樣的多而體就是簡單多面體。上圖中的（1）.（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都是簡單多面體，而（7）不是簡單多而體。例4如何利用球面知識(shí)證明簡單多面體的歐拉公式？例5觀察下面的圖形，寫出凸多而體和它對(duì)應(yīng)的球面三角剖分的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)

13、E和面數(shù)F,并驗(yàn)證凸多而體的歐拉公式和它對(duì)應(yīng)的球而三角剖分的歐拉公式。Af多面體的面是指可以經(jīng)過連續(xù)變換變成圓盤的多邊形，比如三角形、四邊形都可以做多而體的而，而正方形中挖掉一個(gè)小正方形后剩下的圖形就不是凸宴面體的面c數(shù)V=4,棱數(shù)E=6,而數(shù)F=4它對(duì)應(yīng)的球而三角剖分的頂點(diǎn)數(shù)V=4,棱數(shù)E=6,而數(shù)F=4,凸多而體的歐拉公式是V-E+F=2,它對(duì)應(yīng)的球而三角剖分的歐拉公式V-E+F=2i在中圖中，凸多而體的頂點(diǎn)數(shù)V=6,棱數(shù)E=12,面數(shù)F=8它對(duì)應(yīng)的球而三角剖分的頂點(diǎn)數(shù)V=6,棱數(shù)E=12,面數(shù)F=8,凸多而體的歐拉公式是V-E+F=2,它對(duì)應(yīng)的球面三角剖分的歐拉公式V-E+F=2i在下圖

14、中，凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=8,棱數(shù)E=18,面數(shù)F=12它對(duì)應(yīng)的球面三角剖分的頂點(diǎn)數(shù)V=8,棱數(shù)E=18,面數(shù)F=12,凸多面體的歐拉公式是V-E+F=2,它對(duì)應(yīng)的球而三角剖分的歐拉公式V-E+F=2；下而我們給出簡單多面體的歐拉公式的證明思路。不失一般性，我們不妨假設(shè)簡單多而體P的頂點(diǎn)都在同一個(gè)單位球面S上。如果A、B是簡單多面體上兩個(gè)頂點(diǎn)，且連結(jié)A、B的線段是多而體P的一條棱，過A、B作球而S的大圓劣弧，這樣就得到一個(gè)覆蓋整個(gè)球面的球面多邊形Z。在這個(gè)變化過程中，多面體P和它對(duì)應(yīng)的球而多邊形Z的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)(邊數(shù))E和而數(shù)F都是一樣的。在球而多邊形E中連接頂點(diǎn)使得它成為球而S的一個(gè)三角剖分在此過程中，每添加一條大圓劣弧，邊數(shù)E就變成E+1,與此同時(shí)，而數(shù)F就變成F+1。假設(shè)o中一共新連結(jié)了N條大圓劣弧，那么邊數(shù)為E+N,而數(shù)為F+N,而頂點(diǎn)數(shù)V不變，根據(jù)球面三角剖分的歐拉公式，有V(E+N)+(F+N)=2,因此V-E+F=2.習(xí)題A1 .已知地球表面上的球而三角形的三邊分別是1000km,1500km,2000km,求它的而積。2 .在單位球面上，已知等邊球而三角形的面積等于球面面積的L,求它的三個(gè)內(nèi)角4和三條邊。3 .已知一個(gè)簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為8,而數(shù)為6,求這個(gè)多而體的棱數(shù)。4 .在一個(gè)球面上，畫出一個(gè)三角剖分，并分別數(shù)出V、