矩陣分析解讀

1、偶然在網(wǎng)上看到此篇文章，很受啟發(fā)，轉(zhuǎn)載過來共勉。課程，不管你從行列式入手仍是直接從入手，從一開始就充滿著莫名其妙：比如說，在全國一樣匚科院系教學中應用最普遍的同濟線性代數(shù)教材（此刻到r第四版），一上來就介紹逆序數(shù)那個怪僻概念，然后用逆序數(shù)給出行列式的一個極不直觀的概念，接著是一些簡直犯傻的行列式性質(zhì)和習題一一把這行乘一個系數(shù)加到另一行上，再把那一列減過來，折騰得那叫一個喧鬧，可確實是壓根看不出那個東西有嘛用。大多數(shù)像我一樣資質(zhì)平麻的學生到那個地址就有點犯壁：連這是個什么東西都模模糊糊的，就開始鉆火圈演出r,這未免太無厘頭了吧！于是開始有人逃課，更多的人開始抄作業(yè)。這下就中招r,因為其后的進展能

2、夠用一句峰回路轉(zhuǎn)來形容，緊隨著那個無皿頭的行列式的，是一個一樣無厘頭可是偉大的無以更加的家伙的出場一一矩陣來廣！連年以后，我才明白，當教師犯傻似地用中括號把一堆傻r吧嘰的數(shù)括起來，而且不緊不慢地說：“那個東西叫做矩陣”的時候，我的數(shù)學生涯掀開r何等悲壯辛酸、慘無人道的一幕！自那以后，在幾乎所有跟“學問”二字略微沾點邊的東西里，矩陣那個家伙從不缺席。關(guān)于我那個沒能一次界定線性代數(shù)的笨蛋來講，矩陣老大的不請自來每每弄得我灰頭土臉,頭破血流。長期以來，我在閱讀中一見矩陣，就猶如阿Q見到假洋鬼子，揉揉額角就繞道走。事實上，我并非是特例。一樣工科學生初學線性代數(shù)，通常都會感到困難c這種情形在國內(nèi)外皆然。

3、瑞典數(shù)學家LarsGarding在其名著EncounterwithMathematics中說：“若是不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學習自然科學，此刻看來就和文盲差不多.但是“依照現(xiàn)行的國際標準，線性代數(shù)是通過公理化來表述的，它是第二代數(shù)學模型，這就帶來了教學上的困難。”事實上，當咱們開始學習線性代數(shù)的時候，不知不覺就進入r“第二代數(shù)學模型”的范圍當中，這意味著數(shù)學的表述方式和抽象性有了一次全面的進化.關(guān)于從小一直在“第一代數(shù)學模型”，即以有效為導向的、具體的數(shù)學模型中學習的咱們來講，在沒有并明確告知的情形下進行如此猛烈的paradigmshift,不感到困難才是奇怪的。大部份工科學生，往往是在學習

4、了一些后繼課程，如數(shù)值分析、數(shù)學計劃、矩陣論以后，才慢慢能夠明白得和熟練運用線性代數(shù)。即便如此，很多人即便能夠很熟練地以線性代數(shù)為：具進行科研和應用工作，但關(guān)于很多這門課程的初學者提出的、看上去是很基礎(chǔ)的問題卻并非清楚。比如說：一、矩陣究竟是什么東西？二、向量能夠被以為是具有n個彼此獨立的性質(zhì)（維度）的對象的表示，矩陣又是什么呢？3、咱們?nèi)羰且詾榫仃囀且唤M列（行）向量組成的新的夏合向量的展開式，那么什么緣故這種展開式具有如此普遍的應用？專門是，什么緣故恰恰二維的展開式如此有效？4、若是矩陣中每一個元素又是一個向量，那么咱們再展開一次，變成三維的立方陣，是不是更有效？五、矩陣的乘法規(guī)那么究竟什么

5、緣故如此規(guī)定？什么緣故如此一種怪異的乘法規(guī)那么卻能夠在實踐中發(fā)揮如此龐大的功效？很多看上去似乎是完全不相關(guān)的問題，最后竟然都歸結(jié)到矩陣的乘法，這莫非不是很奇異的情形？莫非在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規(guī)那么下面，包括著世界的某些木質(zhì)規(guī)律？若是是的話，這些木質(zhì)規(guī)律是什么？六、行列式究竟是一個什么東西？什么緣故會有如此怪異的計算規(guī)那么？行列式與其對應方陣本質(zhì)上是什么關(guān)系？什么緣故只有方陣才有對應的行列式，而一樣矩陣就沒有(不要感覺那個問題很注，若是必要，針對mxn矩陣概念行列式不是做不到的，之因此不做，是因為沒有那個必要，可是什么緣故沒有那個必要)？而且，行列式的計算規(guī)那么，看上去跟矩陣的任何計算規(guī)

6、那么都沒有直觀的聯(lián)系，什么緣故又在很多方面決定矩陣的性質(zhì)？莫非這一切僅是巧合？7、矩陣什么緣故能夠分塊計算？分塊”算這件情形看上去是那么隨意，什么緣故竟是可行的？八、關(guān)于矩陣轉(zhuǎn)置運弊AT.有(AB)T=BTAT,關(guān)于矩陣求逆運算AT,有兩個看上去完全沒有什么關(guān)系的運算，什么緣故有著類似的性質(zhì)？這僅僅是巧合嗎？九、什么緣故說PTAP取得的矩陣與A矩陣“相似”？那個地址的“相似”是什么意思？10、特點值和特點向量的本質(zhì)是什么？它們概念就讓人很驚訝，因為Ax=、x,一個諾大的矩陣的效應,竟然只是相當于一個小小的數(shù)人,確實有點奇異。但何至于用“特點”乃至“本征”來界定？它們刻劃的究竟是什么？如此的一類

7、問題，常常讓利用線性代數(shù)已經(jīng)很連年的人都感到為難。就仿傀大人而對小小孩的尋根究底，最后總會迫不得已地說“就如此吧，到此為止”一樣，面對如此的問題，很多內(nèi)行們最后也只能用：“確實是這么規(guī)定的，你同意而且記住就好”來敷衍。但是，如此的問題若是不能取得回答，線性代數(shù)關(guān)于咱們來講確實是一個粗魯?shù)摹⒉恢v道理的、莫名其妙的規(guī)那么集合，咱們會感到，自己并非是在學習一門學問，而是被不由分說地“拋到”一個強制的世界中，只是在考試的皮鞭揮動之下被迫趕路,全然無法領(lǐng)略其中的美好、和諧與統(tǒng)一。直到連年以后，咱們已經(jīng)覺察這門學問如此的有效，卻仍然會超級迷惑：怎么這么恰巧？我以為這是咱們的線性代數(shù)教學中直覺性喪失的后果。

8、上述這些涉及到“如何能”、“怎么會”的問題，僅僅通過純粹的數(shù)學證明來回答，是不能令提問者中意的.比如,若是你通過一樣的證明方.XX證/矩陣分塊運算確實可行，那么這并非能夠讓提問者的疑惑取得解決。他們真正的困惑是：矩陣分塊運算什么緣故竟然是可行的？究竟只是恰巧，仍是說這是由矩陣這種對象的某種本質(zhì)所必然決定的？若是是后者，那么矩陣的這些本質(zhì)是什么？只要對上述那些問題略加考慮，咱們就會發(fā)覺，所有這些問題都不是唯純依托數(shù)學證明所能夠解決的。像咱們的教科書那樣，凡事用數(shù)學證明，最后培育出來的學生，只能熟練地利用工具，卻欠缺真正意義上的明白得。自從1930年代法國布爾巴基學派興起以來，數(shù)學的公理化、系統(tǒng)性

9、描述已經(jīng)取得龐大的成功，這使得咱們同意的數(shù)學教育在嚴謹性上大大提高。但是數(shù)學公理化的一個備受爭議的副作用，確實是一樣數(shù)學教育中直覺性的喪失。數(shù)學家們似乎以為直覺性與抽象性是矛盾的，因此本不猶豫地捐軀掉前者。但是包括我本人在內(nèi)的很多人都對此表示疑心，咱們不以為直覺性與抽象性必然彼此矛盾，專門是在數(shù)學教育中和數(shù)學教材中，幫忙學生成立直覺，有助于它們明白得那些抽象的概念，進而明白得數(shù)學的木質(zhì)。反之，若是一味注重形式上的嚴格性，學生就仿佛被迫進行鉆火劇演出的小白鼠一樣，變成枯燥的規(guī)那么的奴隸。關(guān)于線性代數(shù)的類似上述所提到的一些直覺性的問題，兩年多來我斷斷續(xù)續(xù)地反豆試探/四、五次，為此閱讀r好幾本國內(nèi)外

10、線性代數(shù)、數(shù)值分析、代數(shù)和數(shù)學通論性書籍，其中像前蘇聯(lián)的名著數(shù)學：它的內(nèi)容、方式和意義、龔昇教授的線性代數(shù)五講、前面提到的EncounterwithMathematics（數(shù)學概觀）和ThomasA.Garrity的數(shù)學拾遺都給我專門大的啟發(fā)°只是即便如此，我對那個主題的熟悉也經(jīng)歷/好幾回自我否定。比如以前試探的一些結(jié)論曾經(jīng)寫在自己的blog里，可是此刻看來，這些結(jié)論大體上都是錯誤的。因此打算把自己此刻的有關(guān)明白得比較完整地記錄下來，一方面是因為我感覺此刻的明白得比較成熟廣，能夠拿出來與他人探討，向他人請教。另一方面，若是以后再有進一步的熟悉，把此刻的明白得給推翻廣，那此刻寫的那個s

11、napshot也是很成心義的。今天先談?wù)剬€形空間和矩陣的幾個核心概念的明白得,這些東西大部份是憑著自己的明白得寫出來的，大體上不抄書，可能有錯誤的地址，希望能夠被指出。但我看望做到直覺，也確實是說能把數(shù)學背后說的實質(zhì)問題說出來,第一說說空間（space）,那個概念是現(xiàn)代數(shù)學的命根子之一，從拓撲空間開始，一步步往上加概念，能夠形成很多空間。線形空間其實仍是比較低級的，若是在里面概念J'范數(shù)，就成J'賦范線性空間。賦范線性空間知足完備性，就成/巴那赫空間：賦范線性空間中概念角度，就有r內(nèi)積空間，內(nèi)積空間再知足完備性，就取得希爾伯特空間。總之，空間有很多種。你若是去看某種空間的數(shù)學

12、概念，大致都是：存在一個集合，在那個集合上概念某某概念，然后知足某些性質(zhì)，就能夠夠被稱為空間。這未免有點奇怪，什么緣故要用“空間”來稱號一些如此的集合呢？大伙兒將會看到，其實這是很有道理的C咱們一樣人最熟悉的空間，亮無疑問確實是咱們生活在其中的（依照牛頓的絕對時空觀）的三維空間，從數(shù)學上說，這是一個三維的歐幾里德空間，咱們先不管那么多，先看看咱們熟悉的如此一個空間有些什么最大體的特點。認真想一想咱們就會明白，那個三維的空間：L由很多（事實上是無窮多個）位置點組成：2 .這些點之間存在相對的關(guān)系：3 .能夠在空間中概念長度、角度：4 .那個空間能夠容納運動，那個地址咱們所說的運動是從一個點到另一

13、個點的移動（變換），而不是微積分意義上的“持續(xù)”性的運動°上面的這些性質(zhì)中，最最關(guān)鍵的是第4條，第一、2條只能說是空間的基礎(chǔ)，不算是空間特有的性質(zhì)，凡是討論數(shù)學問題，都得有一個集合，大多數(shù)還得在那個集合上概念一些結(jié)構(gòu)（關(guān)系），并非是說有這些就算是空間。而第3條太特殊,其他的空間不需要具有，史不是關(guān)鍵的性質(zhì)。只有第4條是空間的本質(zhì)，也確實是說，容納運動是空間的本偵特點。熟悉到這些，咱們就能夠夠把咱們關(guān)于三維空間的熟悉擴展到其他的空間。事實上，不管是什么空間，都必需容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)那么的運動（變換）。你會發(fā)覺，在某種空間中往往會存在一種相對應的變換，比如拓撲空間中有拓撲變換，

14、線性空間中有線性變換.仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只只是是對應空間中許諾的運動形式罷伙I此只要明白，“空間”是容納運動的一個對象集合，而變換那么規(guī)定了對應空間的運動。下面咱們來看看線性空間。線性空間的概念任何一本書上都有，可是既然咱們承認線性空間是個空間，那么有兩個最大體的問題必需第一取得解決，那確實是：L空間是一個對象集合，線性空間也是空間，因此也是一個對象集合。那么線性空間是什么樣的對象的集合？或說，線性空間中的對象有什么一起點嗎？2,線性空間中的運動如何表述的？也確實是，線性變換是如何表示的？咱們先來回答第一個問題，回答那個問題的時候?qū)嶋H上是不用拐彎抹角的，能夠直截r當?shù)慕o出答案

15、:線性空間中的任何一個對象，通過選取基和坐標的方法，都能夠表達為向量的形式。通常的向量空間我就不說r,舉兩個不、那么一般的例子：一、L1是最高次項不大于n次的多項式的全部組成一個線性空間，也確實是說，那個線性空間中的每一個對象是一個多式°若是咱們以xO,xl,.,xn為基，那么任何一個如此的多項式都能夠表達為一組n+1維向量，其中的每一個分量ai其實確實是多項式中工（i-D項的系數(shù)。值得說明的是，基的選取有多種方法，只要所選取的那一組基線性無關(guān)就能夠夠。這耍用到后面提到的概念廣，因此那個地址先不說,提一下罷九L2是閉區(qū)間a,b上的n階持續(xù)可微函數(shù)的全部，組成一個線性空間。也確實是說，

16、那個線性空間的每一個對象是一個持續(xù)函數(shù)。關(guān)于其中任何一個持續(xù)函數(shù),依照趣爾斯特拉斯定理，必然能夠找到最高次項不大于n的多項式函數(shù)，使之與該持續(xù)函數(shù)的差為0,也確實是說，完全相等。如此就把問題歸結(jié)為L1r。后面就不用再重且r。因此說，向量是很厲害的，只要你找到適合的基，川向生能夠表示線性空間里任何一個對象,那個地頷首大有文章，因為向量表面上只是一列數(shù),可是其實由于它的有序性，因此除這些數(shù)木身攜帶的信息之外，還能夠在每一個數(shù)的對應位置上攜帶信息。什么緣故在程序設(shè)計中數(shù)組最簡單，卻又威力無窮呢？全然緣故就在于此。這是另一個問題r,那個地址就不說下面來回答第二個問題，那個問題的回答會涉及到線性代數(shù)的一

17、個最全然的問題c線性空間中的運動，被稱為線性變換也確實是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都能夠通過一個線性轉(zhuǎn)變來完成。那么，線性變換如何表示呢？很成心思，在線性空間中，當你選定一組基以后，不僅能夠用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且能夠用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而使某個對象發(fā)生對應運動的方式，確實是用代表那個運動的矩陣，乘以代表那個對象的向量。簡而言之，在線性空間當選定基以后，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動是的，矩陣的本質(zhì)是運動的描述若是以后有人問你矩陣是什么，那么你就能夠夠響亮地告知他，矩陣的木質(zhì)是運動的描述C可是何等成

18、心思啊,向量木身不是也能夠看成是n工1矩陣嗎？這實在是很奇異，一個空間中的對象和運動竟然能夠用相類同的方式表示。能說這是巧合嗎？若是是巧合的話，那可真是幸運的巧合！能夠說.線性代數(shù)中大多數(shù)奇異的性質(zhì)，均與那個巧合有直接的關(guān)系。接著明白得矩陣，上面說“矩陣是運動的描述”，到此刻為止，仿佛大伙兒都還沒什么意見?？墒俏蚁嘈旁缤頃袛?shù)學系身世的網(wǎng)友來拍板轉(zhuǎn)。因為運動那個概念，在數(shù)學和物理里是跟微積分聯(lián)系在一路的C咱們學習微積分的時候，總會有人照本宣科地告知你，初等數(shù)學是研究常量的數(shù)學,是研究靜態(tài)的數(shù)學，高等數(shù)學是變量的數(shù)學，是研究運動的數(shù)學。大伙兒口口相傳，差不多人人都明白這句話?？墒钦婷靼走@句話說的

19、是什么意思的人，仿佛也不多。簡而言之，在咱們?nèi)祟惖捏w會里，運動是一個持續(xù)進程，從A點到B點，就算走得最快的光，也是需要一個時刻來逐點地通過AB之間的途徑，這就帶來/持續(xù)性的概念。而持續(xù)那個情形，若是不概念極限的概念，全然就說明不廣。占希臍人的數(shù)學超級強，但確實是缺乏極限觀念，因此說明不r運動，被芝諾的那些聞名悖論（飛箭不動、飛毛腿阿喀琉斯跑只是烏龜?shù)人膫€悖論）弄得死去活來。因為這篇文章不是講微積分的，因此我就不多說有愛好的讀者能夠去看看齊民友教授寫的重溫微枳分。我確實是讀/這本書開頭的部份，才明白“高等數(shù)學是研究運動的數(shù)學”這句話的道理。只是在我那個明白得矩陣的文豪里，“運動”的概念不是微積分

20、中的持續(xù)性的運動，而是剎時發(fā)生的轉(zhuǎn)變.比如那個時刻在A點，通過一個“運動”，一下子就“躍遷”到/B點，其中不需要通過A點與B點之間的任何一個點。如此的“運動”，或說“躍遷”，是違背咱們?nèi)粘５捏w會的。只是解一點量子物理常識的人，就會立刻指出，量子(例如電子)在不同的能量級軌道上跳躍，確實是剎時發(fā)生的，具有如此一種躍遷行為。因此說，自然界中并非是沒有這種運動現(xiàn)象，只只是宏觀上咱們觀看不到?？墒遣还茉趺凑f，“運動”那個詞用在那個地址，仍是容易產(chǎn)生歧義的，說得更確切些，應該是“躍遷”。因此這句話能夠改成：.矩陣是線性空間里躍遷的描述”。可是如此說又太物理，也確實是說太具體，而不足數(shù)學，也確實是說不夠抽

21、象。因此咱們最后換用一個正牌的數(shù)學術(shù)語變換，來描述那個情形。如此一說，大伙兒就應該明白/，所謂變換，其實確實是空間里從一個點(元素/對象)到另一個點(元素/對象)的躍遷。比如說，拓撲變換,確實是在拓撲空間里從一個點到另一個點的躍遷。再比如說，仿射變換，確實是在仿射空間里從一個點到另一個點的躍遷。附帶說一下，那個仿射空間跟向量空間是親兄弟。做運算機圖形學的朋友都明白，盡管描述一個三維對象只需要三維向量，但所有的運算機圖形學變換矩陣都是依4的。說其緣故，很多書上都寫著“為了利用中方便”，這在我眼里簡直確實是企圖蒙混過關(guān)。真正的緣故，是因為在運算機圖形學里應用的圖形變換,事實上是在仿射空間而不是向量

22、空間中進行的：想一想看，在向量空間里相一個向量平行移動以后仍是相同的那個向量，而現(xiàn)實世界等長的兩個平行線段固然不能被以為同一個東西，因此運算機圖形學的生存空間事實上是仿射空間:而仿射變換的矩陣表示全然確實是4x1的。有愛好的讀者能夠去看運算機圖形學一一幾何1：具算法詳解譏一旦咱們明白得“變換”那個概念，矩陣的概念就變成：矩陣是線性空間里的變換的描述到那個地址為止，咱們終于取得r一個看上去比較數(shù)學的概念。只是還要多說幾句。教材上一樣是這么說的，在一個線性空間V里的一個線性變換T,被選定一組基以后，就能夠夠表示為矩陣。因此咱們還要說清楚到底什么是線性變換,什么是基，什么叫選定一組基。線性變換的概念

23、是很簡單的，設(shè)有一種變換T，使得關(guān)于線性空間V中間任何兩個不相同的對象x和y,和任意實數(shù)a和中有：T(ax+by)=aT(x)+bT(y),那么就稱T為線性變換。概念都是這么寫的，可是光看概念還得不到直覺的明白得。線性變換究竟是一種什么樣的變換？咱們適才說心變換是從空間的一個點躍遷到另一個點，而線性變換，確實是從一個線性空間V的某一個點躍遷到另一個線性空間需的另一個點的運動。這句話里包括著一層意思，確實是說一個點不僅能夠變換到同一個線性空間中的另一個點，而且能夠變換到另一個線性空間中的另一個點去。不管你怎么變，只要變換前后都是線性空間中的對象，那個變換就必然是線性變換，也就必然能夠用一個非奇異

24、矩陣來描述。而你用一個非奇異矩陣去描述的一個變換，必然是一個線性變換。有的人可能要問，那個地址什么緣故要強調(diào)非奇異矩陣？所謂非奇異，只對方陣成心義，那么非方陣的情形怎么樣？那個提及來就會比較冗長了,最后要把線性變換作為一種映射，而且討論其映射性質(zhì)，和線性變換的核與像等概念才能完全講清楚。以下咱們只探討最經(jīng)常使用、最有效的一種變換，確實是在同一個線性空間之內(nèi)的線性變換C也確實是說，下面所說的矩陣，不作說明的話，確實是方陣，而且是非奇異方陣。學習一門學問，最重要的是把握骨干內(nèi)容，迅速成立關(guān)于這門學問的整體概念，沒必要一開始就考慮所有的細枝末節(jié)和特殊情形，自亂陣腳。什么是基呢？那個問題在后面還要大講

25、一番，那個地址只要把基看成是線性空間里的坐標系就能夠夠r。注意是坐標系,不是坐標值，這二者可是一個“對立矛盾統(tǒng)一體”。如此一來，“選定一組基”確實是說在線性空間里選定一個坐標系,好，最后咱們把矩陣的概念完善如下：“矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要咱們選定一組基，那么關(guān)于任何一個線性變換，都能夠用一個確信的矩陣來加以描述?！泵靼椎眠@句話的關(guān)鍵,在于把“線性變換”與“線性變換的一個描述”區(qū)別開C一個是那個對象，一個是對那個對象的表述。就仿佛咱們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨?，一個對象能夠有多個引用，每一個引用能夠叫不同的名字，但都是指的同一個對象。若是還不形象，那就干脆來個很俗的

26、類比。比如有一頭豬,你打算給它拍照片，只要你給照相機選定r一個鏡頭位置,那么就能夠夠給這頭豬拍一張照片。那個照片能夠看成是這頭豬的一個描述，但只是一個片面的的描述,因為換一個鏡頭位置給這頭豬拍照，能取得一張不同的照片，也是這頭豬的另一個片面的描述。所有如此照出來的照片都是這同一頭豬的描述，可是又都不是這頭豬本身。一樣的，關(guān)于一個線性變換,只要你選定一組基，那么就能夠夠找到一個矩陣來描述那個線性變換。換一組基，就取得一個不同的矩陣°所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身?？墒侨绱说脑挘瑔栴}就來r若是你給我兩張豬的照片,我怎么明白這兩張照片上的是同一頭豬呢？一樣的

27、，你給我兩個矩陣，我怎么明白這兩個矩陣是描述的同一個線性變換呢？若是是同一個線性變換的不同的矩陣描述，那確實是木家兄弟r,見面不熟悉，豈不成r笑話°好在，咱們能夠找到同一個線性變換的矩陣兄弟們的一個性質(zhì)，那確實是：假設(shè)矩陣A與B是同一個線性變換的兩個不同的描述（之因此會不同，是因為選定r不同的基，也確實是選定不同的坐標系），那么必然能找到一個非奇異矩陣p,使得a、B之間知足如此的關(guān)系：A=P-1BP：線性代數(shù)略微物一點的讀者一下就看出來，這確實是相似矩陣的概念。沒錯，所謂相似矩陣，確實是同一個線性變換的不同的描述矩陣，依照那個概念，同一頭豬的不同角度的照片也能夠成為相似照片。俗r一點

28、，只是能讓人明白。而在上面式子里那個矩陣p,其實確實是a矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個變換關(guān)系。關(guān)于那個結(jié)論，能夠用一種超級直覺的方式來證明（而不是一樣教科書上那種形式上的證明），若是有時刻的話，我以后在biog里補充那個證明。那個發(fā)覺過重要r。原先一族相似矩陣都是同一個線性變換的描述啊！難怪這么重要！I：科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講各類各樣的相似變換.比如什么相似標準型，對角化之類的內(nèi)容，都要求變換以后取得的那個矩陣與先前的那個矩陣式相似的，什么緣故這么要求？因為只有如此要求，才能保證變換前后的兩個矩陣是描述同一個線性變換的：固然，同一個線性變換的不同矩

29、陣描述，從實際運算性質(zhì)來看并非是不分好壞的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質(zhì)好得多。這很容易明白得，同一頭豬的照片也有美丑之分嘛，因此矩陣的相似變換能夠把一個比較丑的矩陣變成一個比較美的矩陣，而保證這兩個矩陣都是描述門司一個線性變換。如此一來，矩陣作為線性變換描述的一面，大體上說清楚可是，情形沒有那么荷服，或說，線性代數(shù)還有比這更奇異的性質(zhì)，那確實是，矩陣不僅能夠作為線性變換的描述，而且能夠作為一組基的描述而作為變換的矩陣，不但能夠把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個坐標系（基）表換到另一個坐標系（基）去。而且，變換點與變換坐標系，具有異曲同1：的成效C線性代數(shù)里

30、最有趣的微妙，就包括在其中c明白得r這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)那么會變得加倍清楚、直覺。第一來總結(jié)一下前臉部份的一些要緊結(jié)論：L第一有空間，空間能夠容納對象運動的。一種空間對應一類對象。2 .有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量對象運動的。3 .運動是瞬時的，因此也被稱為變換c4 .矩陣是線性空間中運動（變換）的描述。5 .矩陣與向殳相乘，確實是實施運動（變換）的進程。6,同一個變換，在不同的坐標系下表現(xiàn)為不同的矩陣，可是它們的木質(zhì)是一樣的，因此本征值相同。下面讓咱們把視力集中到一點以改變咱們以往看待矩陣的方式。咱們明白，線性空間里的大體對象是向量。向量是這么表示的：al,a2,向,

31、.,an矩陣是這么表示的：all,a12,al3,.,aln,a21,a22,a23,.,a2n,.,anl,an2,an3,ann不用太伶俐，咱們就能夠看出來，矩陣是一組向量組成的。專門的，n維線性空間里的方陣是由n個n維向型組成的。咱們在那個地址只討論那個n階的、非奇異的方陣，因為明白得它確實是明白得矩陣的關(guān)鍵，它才是一樣情形，而其他矩陣都是意外，都是不能不對付的討厭狀況，大能夠放在一邊。那個地址多一句嘴，學習東西要抓住主流，不要糾纏于旁支末節(jié)。很可借咱們的教材講義大多數(shù)都是把主線埋沒在細節(jié)中的，弄得大伙兒還沒明白怎么回事就先被灌虻了。比如數(shù)學分析，明明最要緊的觀念是說，一個對象能夠表達為

32、無窮多個合理選擇的對象的線性和，那個概念是貫穿始終的，也是數(shù)學分析的精華?？墒侵v義里自始至終不講這句話，終歸確實是讓你做吉米多維奇，把握一大堆解偏題的技術(shù)，記住各類特殊情形，兩類中斷點，怪異的可微和可積條件（誰還記得柯西條件、迪里赫萊條件.？），最后考試一過，一切忘光光。要我說，還不如反更強調(diào)這一個情形，把它深深刻在頭腦里，別的東西忘就忘J，真碰者問題了,再查數(shù)學手冊嘛，何須因小失大呢？言歸正傳，若是一組向量是彼此線性無關(guān)的話，那么它們就能夠夠成為氣宇那個線性空間的一組基，從而事實上成為一個坐標系體系，其中每一個向量都躺在一根坐標軸上，而且成為那根坐標軸上的大體氣宇玳位（長度1）。此刻到r關(guān)鍵

33、的一步。看上去矩陣確實是由一組向量組成的，而且若是矩陣非奇異的話（我說r,只考慮這種情形），那么組成那個矩陣的那一組向量也確實是線性無關(guān)的心也就能夠夠成為氣宇線性空間的一個坐標系。結(jié)論：矩陣描述了一個坐標系,“慢著！”，你嚷嚷起來r,“你那個躺子！你不是說過，矩陣確實是運動嗎？怎么這會矩陣又是坐標系r?”嗯，因此我說到了關(guān)鍵的一步。我并無騙人，之伙此矩陣又是運動，又是坐標系，那是因為一“運動等價于坐標系變換”，對不起，這話其實不準確，我只是想讓你印象深刻。準確的說法是：“對象的變換等價于坐標系的變換”?；颍骸肮潭ㄗ鴺讼迪乱粋€對象的變換等價于固定對象所處的坐標系變換.”說白r確實是：“運動是相對

34、的。”讓咱們想一想，達到同一個變換的結(jié)果，比如把點（1,1）變到點（2,3）去，你能夠有兩種做法。第一，坐標系不動，點動，把（1,1）點挪到（2,3）去。第二，點不動，變坐標系，讓x軸的氣宇（單位向量）變成原先的1/2,讓y軸的氣宇（單位向量）變成原先的1/3,如此點仍是那個點，可是點的坐標就變成（2,3）方式不同，結(jié)果一樣。從第一個方式來看，那確實是把矩陣看成是運動描述，矩陣與向量相乘確實是使向量（點）運動的進程.在那個方式下，Ma=b的意思姥：“向量a通過矩陣M所描述的變換，變成了向最b”而從第二個方式來看，矩陣M描述了一個坐標系，姑且也稱之為M.那么：Ma=b的意思是：“有一個向量，它在

35、座標系M的氣宇下取得的氣宇結(jié)果向量為a,那么它在座標系I的氣宇下，那個向量的氣字結(jié)果是b.”那個地址的I是指單位矩陣，確實是主對角線是1,其他為零的矩陣.而這兩個方式本偵上是等價的,我看望你務(wù)必明白得這一點，因為這是本篇的關(guān)鍵。正因為是關(guān)健，因此我得再說明一下。在M為坐標系的意義下,若是把X放在一個向量a的前面,形成Ma的樣式，咱們能夠以為這是對向量a的一個環(huán)境聲明。它相當于是說：“注意廣！那個地址有一個向:S，它在座標系M中氣宇，取得的氣宇結(jié)果能夠表達為a,可是它在別的坐標系里氣宇的話，就會取得不同的結(jié)果。為明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在座標系M中氣宇的結(jié)果c”那么咱們再看孤零

36、零的向量b：b多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b,它是：lb也確實是說：,在單位坐標系，也確實是咱們通常說的直角坐標系I中，有一個向量，氣宇的結(jié)果是b"而Ma=Ib的意思確實是說：“在M坐標系里量出來的向量a,跟在I坐標系里生出來的向量b,其實全然確實是一個向地?。?quot;這哪里是什么乘法計算，全然確實是身份識別嘛。從那個意義上咱們從頭明白得一下向量。向量那個東西客觀存在，可是要把它表示出來，就要把它放在一個坐標系中去氣宇它，然后把氣宇的結(jié)果（向量在各個坐標軸上的投影值）按必然順序列在一路，就成門啟們平常所見的向量表示形式。你選擇的坐標系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向

37、量仍是那個向量，選擇的坐標系不同，其表示方式就不同c因此，按道理來講，每寫出一個向量的表示，都應該聲明一下那個表示是在哪個坐標系中氣宇出來的。表示的方式，確實是Ma，也確實是說，有一個向量，在M矩陣表示的坐標系中氣宇出來的結(jié)果為a。咱們平常說一個向量是2357T,隱含著是說,那個向量在I坐標系中的氣宇結(jié)果是2357T,因此，那個形式反而是一種簡化r的特殊情形。注意到，m矩陣表示出來的那個坐標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，一樣存在這組向量是在哪個坐標系下氣宇而成的問題。也確實是說，表述一個矩陣的一樣方式，也應該要指明其所處的基準坐標系。所謂M.實際上是I'L也確實是說，M中那組基的氣宇是在I坐標系中得H；的°從那個視角來看，XXN也不是什么矩陣乘法了，而是聲明了一個在M坐