中科院matlab在科學計算中的應用

1、精選課件精選課件1第三章 微積分問題的計算機求解 微積分問題的解析解微積分問題的解析解 函數(shù)的級數(shù)展開與級數(shù)求和問題求解函數(shù)的級數(shù)展開與級數(shù)求和問題求解 數(shù)值微分數(shù)值微分 數(shù)值積分問題數(shù)值積分問題 曲線積分與曲面積分的計算曲線積分與曲面積分的計算精選課件精選課件23.1 微積分問題的解析解 3.1.1 極限問題的解析解 單變量函數(shù)的極限 格式1： L= limit( fun, x, x0) 格式2： L= limit( fun, x, x0, left 或 right)精選課件精選課件3 例: 試求解極限問題 syms x a b; f=x*(1+a/x)x*sin(b/x); L=limit

2、(f,x,inf) L = exp(a)*b 例:求解單邊極限問題 syms x; limit(exp(x3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x),x,0,right) ans =12精選課件精選課件4 在(-0.1,0.1)區(qū)間繪制出函數(shù)曲線： x=-0.1:0.001:0.1; y=(exp(x.3)-1)./(1-cos(sqrt(x-sin(x);Warning: Divide by zero.(Type warning off MATLAB:divideByZero to suppress this warning.)? plot(x,y,-,0,12,o)精選課件精選課

3、件5 多變量函數(shù)的極限：格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或 L1=limit(limit(f,y,y0), x,x0) 如果x0 或y0不是確定的值，而是另一個變量的函數(shù)，如x-g(y)，則上述的極限求取順序不能交換。精選課件精選課件6 例：求出二元函數(shù)極限值 syms x y a; f=exp(-1/(y2+x2) *sin(x)2/x2*(1+1/y2)(x+a2*y2); L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y),y,inf)L =exp(a2)精選課件精選課件73.1.2 函數(shù)導數(shù)的解析解 函數(shù)的導數(shù)和高階導數(shù) 格式： y=diff(fu

4、n,x) %求導數(shù) y= diff(fun,x,n) %求n階導數(shù) 例： 一階導數(shù)： syms x; f=sin(x)/(x2+4*x+3); f1=diff(f); pretty(f1)精選課件精選課件8 cos(x) sin(x) (2 x + 4) - - - 2 2 2 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3)原函數(shù)及一階導數(shù)圖： x1=0:.01:5; y=subs(f, x, x1); y1=subs(f1, x, x1); plot(x1,y,x1,y1,:)更高階導數(shù)： tic, diff(f,x,100); tocelapsed_time = 4.6860精選課件精

5、選課件9 原函數(shù)4階導數(shù) f4=diff(f,x,4); pretty(f4) 2 sin(x) cos(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) - + 4 - - 12 - 2 2 2 2 3 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 3 sin(x) cos(x) (2 x + 4) cos(x) (2 x + 4) + 12 - - 24 - + 48 - 2 2 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 4 2 sin(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x +

6、 4) sin(x) + 24 - - 72 - + 24 - 2 5 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3)精選課件精選課件10 多元函數(shù)的偏導：格式： f=diff(diff(f,x,m),y,n) 或 f=diff(diff(f,y,n),x,m) 例： 求其偏導數(shù)并用圖表示。 syms x y z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); zx=simple(diff(z,x)zx = -exp(-x2-y2-x*y)*(-2*x+2+2*x3+x2*y-4*x2-2*x*y)精選課件精選課件11 zy=diff(z

7、,y)zy =(x2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y) 直接繪制三維曲面 x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,z), axis(-3 3 -2 2 -0.7 1.5) 精選課件精選課件12 contour(x,y,z,30), hold on % 繪制等值線 zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);

8、 % 偏導的數(shù)值解 quiver(x,y,zx,zy) % 繪制引力線精選課件精選課件13 例 syms x y z; f=sin(x2*y)*exp(-x2*y-z2); df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z); df=simple(df); pretty(df) 2 2 2 2 2 -4 z exp(-x y - z ) (cos(x y) - 10 cos(x y) y x + 4 2 4 2 2 4 2 2sin(x y) x y+ 4 cos(x y) x y - sin(x y)精選課件精選課件14 多元函數(shù)的Jacobi矩陣:格式：J=jacobian(Y,

9、X)其中，X是自變量構成的向量，Y是由各個函數(shù)構成的向量。精選課件精選課件15 例：試推導其 Jacobi 矩陣 syms r theta phi; x=r*sin(theta)*cos(phi); y=r*sin(theta)*sin(phi); z=r*cos(theta); J=jacobian(x; y; z,r theta phi) J = sin(theta)*cos(phi), r*cos(theta)*cos(phi), -r*sin(theta)*sin(phi) sin(theta)*sin(phi), r*cos(theta)*sin(phi), r*sin(theta)

10、*cos(phi) cos(theta), -r*sin(theta), 0 精選課件精選課件16 隱函數(shù)的偏導數(shù)：格式：F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)精選課件精選課件17 例： syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); pretty(-simple(diff(f,x)/diff(f,y) 3 2 2 -2 x + 2 + 2 x + x y - 4 x - 2 x y - - x (x - 2) (2 y + x)精選課件精選課件183.1.3 積分問題的解析解 不定積分的推導：格式： F=int(fun,x) 例：用diff() 函數(shù)求其

11、一階導數(shù)，再積分，檢驗是否可以得出一致的結果。 syms x; y=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y); y0=int(y1); pretty(y0) % 對導數(shù)積分 sin(x) sin(x) - 1/2 - + 1/2 - x + 3 x + 1精選課件精選課件19 對原函數(shù)求對原函數(shù)求4 4 階導數(shù)，再對結果進行階導數(shù)，再對結果進行4 4次積分次積分 y4=diff(y,4); y0=int(int(int(int(y4); pretty(simple(y0) sin(x) - 2 x + 4 x + 3精選課件精選課件20 例:說明明 syms a x; f=s

12、imple(int(x3*cos(a*x)2,x)f = 1/16*(4*a3*x3*sin(2*a*x)+2*a4 *x4+6*a2*x2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*cos(2*a*x)-3)/a4 f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin(2*a*x)+. (3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(2*a*x); simple(f-f1) % 求兩個結果的差ans = -3/16/a4精選課件精選課件21 定積分與無窮積分計算:格式： I=int(f,x,a,b)格式： I=int(f,x,a,inf)精選課件精選課件2

13、2 例： syms x; I1=int(exp(-x2/2),x,0,1.5) 無解無解I1 =1/2*erf(3/4*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2) vpa(I1,70) ans = 1.6925342362935327229308528 I2=int(exp(-x2/2),x,0,inf) I2 =1/2*2(1/2)*pi(1/2) 2/ 2( )xfxe202( )xterf xe dt精選課件精選課件23 多重積分問題的MATLAB求解 例： syms x y z; f0=-4syms x y z; f0=-4* *z z* *exp(-x2exp(-x2* *y-z2)

14、y-z2)* *(cos(x2(cos(x2* *y)-y)-1010* *cos(x2cos(x2* *y)y)* *y y* *x2+.x2+. 4 4* *sin(x2sin(x2* *y)y)* *x4x4* *y2+4y2+4* *cos(x2cos(x2* *y)y)* *x4x4* *y2-sin(x2y2-sin(x2* *y);y); f1=int(f0, f1=int(f0,z z);f1=int(f1,);f1=int(f1,y y);f1=int(f1,);f1=int(f1,x x);); f1=simple(int(f1, f1=simple(int(f1,x x)

15、f1 =f1 = exp(-x2 exp(-x2* *y-z2)y-z2)* *sin(x2sin(x2* *y)y)精選課件精選課件24 f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); f2=simple(int(f2,y)f2 =2*exp(-x2*y-z2)*tan(1/2*x2*y)/(1+tan(1/2*x2*y)2) ?f2=sin(x2*y)/exp(y*x2 + z2) simple(f1-f2)ans =0 順序的改變使化簡結果不同于原函數(shù)，但其誤差為0，表明二者實際完全一致。這是由于積分順序不同，得不出實際的最簡形式。精選課件精選課件25

16、 例： syms x y z int(int(int(4*x*z*exp(-x2*y-z2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi)ans =(Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2)*pi2*hypergeom(1,2,-pi2) ?Ei(n,z)為指數(shù)積分，無解析解，但可求其數(shù)值解： vpa(ans,60) ans = 3.14127228346146476723483588精選課件精選課件26精選課件精選課件273.2 函數(shù)的級數(shù)展開與 級數(shù)求和問題求解 3.2.1 Taylor 冪級數(shù)展開 3.2.2 Fourier 級數(shù)展開 3.2.3 級數(shù)

17、求和的計算精選課件精選課件283.2.1 Taylor 冪級數(shù)展開 3.2.1.1 單變量函數(shù)的 Taylor 冪級數(shù)展開精選課件精選課件29精選課件精選課件30例: syms x; f=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=taylor(f,x,9); pretty(y1) 23 34 4087 3067 515273 386459 1/3 x - 4/9 x2 + - x3 - - x4 + -x5 - - x6 +- x7 - - x8 54 81 9720 7290 1224720 918540精選課件精選課件31 taylor(f,x,9,2)ans =1/15*sin(2)+

18、(1/15*cos(2)-8/225*sin(2)*(x-2)+ (-127/6750*sin(2)-8/225*cos(2)*(x-2)2 +(23/6750*cos(2)+628/50625*sin(2)*(x-2)3 +(-15697/6075000*sin(2)+28/50625*cos(2)*(x-2)4 +(203/6075000*cos(2)+6277/11390625*sin(2)*(x-2)5 +(-585671/2733750000*sin(2)-623/11390625*cos(2)*(x-2)6 +(262453/19136250000*cos(2)+397361/51

19、25781250*sin(2)*(x-2)7 +(-875225059/34445250000000*sin(2)-131623/35880468750*cos(2)*(x-2)8 syms a; taylor(f,x,5,a) % 結果較冗長，顯示從略ans =sin(a)/(a2+3+4*a) +(cos(a)-sin(a)/(a2+3+4*a)*(4+2*a)/(a2+3+4*a)*(x-a) +(-sin(a)/(a2+3+4*a)-1/2*sin(a)-(cos(a)*a2+3*cos(a)+4*cos(a)*a-4*sin(a)-2*sin(a)*a)/(a2+3+4*a)2*(4

20、+2*a)/(a2+3+4*a)*(x-a)2+精選課件精選課件32例:對y=sinx進行Taylor冪級數(shù)展開,并觀察不同階次的近似效果。 x0=-2*pi:0.01:2*pi; y0=sin(x0); syms x; y=sin(x); plot(x0,y0,r-.), axis(-2*pi,2*pi,-1.5,1.5); hold on for n=8:2:16 p=taylor(y,x,n), y1=subs(p,x,x0); line(x0,y1) endp =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7p =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/36

21、2880*x9p =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11p =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11+1/6227020800*x13 精選課件精選課件33p =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11+1/6227020800*x13-1/00*x15精選課件精選課件343.2.1.2 多變量函數(shù)的Taylor 冪級數(shù)展開 多變量函數(shù) 在的Taylor冪級數(shù)的展開12(,)nf x x

22、x12(,)na aa精選課件精選課件35 例：？ syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); F=maple(mtaylor,f,x,y,8)F = mtaylor(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y),x, y,8)精選課件精選課件36 maple(readlib(mtaylor);讀庫，把函數(shù)調入內存 F=maple(mtaylor,f,x,y,8) F =-2*x+x2+2*x3-x4-x5+1/2*x6+1/3*x7+2*y*x2+2*y2*x-y*x3-y2*x2-2*y*x4-3*y2*x3-2*y3*x2-y4*x+y*x5+3/2*y

23、2*x4+y3*x3+1/2*y4*x2+y*x6+2*y2*x5+7/3*y3*x4+2*y4*x3+y5*x2+1/3*y6*x syms a; F=maple(mtaylor,f,x=1,y=a,3); F=maple(mtaylor,f,x=a,3)F =(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-1+2*a2+2*a*y+1/2*y2)+exp(-a2-y2-a*y)+(2*a-2)*exp(-a2

24、-y2-a*y)*(-2*a-y)*(x-a)2精選課件精選課件373.2.2 Fourier 級數(shù)展開精選課件精選課件38function A,B,F=fseries(f,x,n,a,b)if nargin=3, a=-pi; b=pi; endL=(b-a)/2; if a+b, f=subs(f,x,x+L+a); end變量區(qū)域互換A=int(f,x,-L,L)/L; B=; F=A/2; %計算a0for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; A=A, an; B=B,bn;

25、 F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);endif a+b, F=subs(F,x,x-L-a); end 換回變量區(qū)域精選課件精選課件39例: syms x; f=x*(x-pi)*(x-2*pi); A,B,F=fseries(f,x,6,0,2*pi)A = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 B = -12, 3/2, -4/9, 3/16, -12/125, 1/18 F =12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/125*sin(5*x)+1/18*sin(6*x)精選課件精選

26、課件40例: syms x; f=abs(x)/x; % 定義方波信號 xx=-pi:pi/200:pi; xx=xx(xx=0); xx=sort(xx,-eps,eps); % 剔除零點 yy=subs(f,x,xx); plot(xx,yy,r-.), hold on % 繪制出理論值并保持坐標系 for n=2:20 a,b,f1=fseries(f,x,n), y1=subs(f1,x,xx); plot(xx,y1)end精選課件精選課件41a = 0, 0, 0b = 4/pi, 0f1 =4/pi*sin(x)a = 0, 0, 0, 0 b = 4/pi, 0, 4/3/pi

27、f1 =4/pi*sin(x)+4/3/pi*sin(3*x)精選課件精選課件423.2.3 級數(shù)求和的計算 是在符號工具箱中提供的精選課件精選課件43例:計算 format long; sum(2.0:63) %數(shù)值計算ans = 1.844674407370955e+019 sum(sym(2).0:200) % 或 syms k; symsum(2k,0,200)把2定義為符號量可使計算更精確更精確ans =3298846823252565585670602751 syms k; symsum(2k,0,200)ans =3298846823252565585670602751精選課件精

28、選課件44例:試求解無窮級數(shù)的和 syms n; s=symsum(1/(3*n-2)*(3*n+1),n,1,inf)%采用符號運算工具箱s =1/3 m=1:10000000; s1=sum(1./(3*m-2).*(3*m+1);%數(shù)值計算方法,雙精度有效位16,“大數(shù)吃小數(shù)”,無法精確 format long; s1 % 以長型方式顯示得出的結果s1 = 0.33333332222165精選課件精選課件45例:求解 syms n x s1=symsum(2/(2*n+1)*(2*x+1)(2*n+1),n, 0,inf); simple(s1) % 對結果進行化簡，MATLAB 6.5

29、 及以前版本因本身 bug 化簡很麻煩ans =log(2*x+1)2)(1/2)+1)/(2*x+1)2)(1/2)-1)%實際應為log(x+1)/x)精選課件精選課件46例:求 syms m n; limit(symsum(1/m,m,1,n)-log(n),n,inf)ans =eulergamma vpa(ans, 70) % 顯示 70 位有效數(shù)字ans =.577286824888677 精選課件精選課件47符號函數(shù)計算器 單變量符號函數(shù)計算器 Taylor 逼近計算器 精選課件精選課件48單變量符號函數(shù)計算器（1/3） 在命令窗口中執(zhí)行 funtool 即可調出單變量符號函數(shù)計

30、算器。單變量符號函數(shù)計算器用于對單變量函數(shù)進行操作，可以對符號函數(shù)進行化簡、求導、繪制圖形等。該工具的界面如圖所示。函數(shù) f 的圖形窗口 函數(shù) g 的圖形窗口 控制窗口 精選課件精選課件49單變量符號函數(shù)計算器（2/3） 1輸入框的功能 如圖：函數(shù)函數(shù) f 的編輯框的編輯框函數(shù)函數(shù) g 的編輯框的編輯框顯示繪制顯示繪制 f 和和 g 的圖像的的圖像的 x 區(qū)間區(qū)間用于修改用于修改 f 的常數(shù)因子的常數(shù)因子0函數(shù) f 自身的操作函數(shù) f 與常數(shù) a 的操作函數(shù) f 與函數(shù) g 的操作系統(tǒng)操作精選課件精選課件50單變量符號函數(shù)計算器（3/3） 單變量符號函數(shù)計算器應用示例在 f 函數(shù)輸入欄中輸入

31、cos(x3) cos(x3) (1+x2) 在 g 函數(shù)輸入欄中輸入 (1+x2) 點擊精選課件精選課件51Taylor 逼近計算器 Taylor 逼近計算器用于實現(xiàn)函數(shù)的 taylor 逼近。在命令窗口中輸入 taylortool，調出Taylor 逼近計算器，界面及功能如圖。輸入待逼近的函數(shù) 輸入擬合函數(shù)的階數(shù) 級數(shù)的展開點，默認為 0 輸入擬合區(qū)間 精選課件精選課件52MAPLE 函數(shù)的調用 maple 函數(shù)的使用 mfun 函數(shù)的使用 精選課件精選課件53maple 函數(shù)的使用 maple 是符號工具箱中的一個通用命令，使用它可以實現(xiàn)對 MAPLE 中大部分函數(shù)的調用。其使用格式為：

32、 r = maple(statement)，其中 statement 為符合 MAPLE 語法的可執(zhí)行語句的字符串，該命令將 statement 傳遞給 MAPLE，該命令的輸出結果也符合 MAPLE 的語法； r = maple(function,arg1,arg2,.)，該函數(shù)調用引號中的函數(shù)，并接受指定的參數(shù)，相當于 MAPLE 語句 function(arg1,arg2,.)； r, status = maple(.)，返回函數(shù)的運行狀態(tài)，如果函數(shù)運行成功，則 status 為 0，r 為運行結果；如果函數(shù)運行失敗，則 status 為一個正數(shù)，r 為相應的錯誤信息； maple(tr

33、aceon) 或者 maple trace on，輸出 MAPLE 函數(shù)運行中的所有子表達式和運行結果； maple(traceoff) 或 maple trace off，不顯示中間過程。精選課件精選課件54mfun 函數(shù)的使用 mfun 函數(shù)用于對 maple 函數(shù)進行數(shù)字評估。該函數(shù)的調用格式為： Y = mfun(function,par1,par2,par3,par4)。 該語句對指定的數(shù)學函數(shù)進行評估。其中 function 指定待評估的函數(shù)，par1、par2 等為 function 的參數(shù)，為待評估的數(shù)值，其維數(shù)有 function 函數(shù)的參數(shù)類型確定。在該語句中最多可以設置四

34、個參數(shù)，最后一個參數(shù)可以為矩陣。 用戶可以通過 help mfunlist 查看 MATLAB 中 mfun 可以調用的函數(shù)列表，另外，可以通過 mhelp function 查看指定函數(shù)的相關信息。精選課件精選課件553.3 數(shù)值微分0()( ) ( )limhf xhf xfxh差商型求導公式 由導數(shù)定義1 ()( ) ( )2 ( )() ( )3 ()() ( )2fxhfxfxhfxfxhfxhfxhfxhfxh（ ）向前差商公式（ ）向后差商公式（ ）中心差商公式 （中點方法 ） x-h x x+hBCAT f(x)精選課件精選課件56 3.3.1 數(shù)值微分算法 向前差商公式： 向

35、后差商公式精選課件精選課件57兩種中心公式：2342342( )( )( )/ 2!( )/3!()( )2( )( )( )/ 2!( )/3!()2( )( )3!f xtfxt fxt fotf xtf xtfxt fxt fotttfxf %精選課件精選課件58精選課件精選課件59精選課件精選課件603.3.2 中心差分方法及其 MATLAB 實現(xiàn) function dy,dx=diff_ctr(y, Dt, n) yx1=y 0 0 0 0 0; yx2=0 y 0 0 0 0; yx3=0 0 y 0 0 0; yx4=0 0 0 y 0 0; yx5=0 0 0 0 y 0; y

36、x6=0 0 0 0 0 y; switch n case 1 dy = (-diff(yx1)+7*diff(yx2)+7*diff(yx3)- diff(yx4)/(12*Dt); L0=3; case 2 dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)- 15*diff(yx3) +diff(yx4)/(12*Dt2);L0=3; 數(shù)值計算diff(X)表示數(shù)組X相鄰兩數(shù)的差精選課件精選課件61 case 3 dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+. 7*diff(yx5)-diff(yx6)/(8*Dt3); L0

37、=5; case 4 dy = (-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28* diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*Dt4); L0=5; end dy=dy(L0+1:end-L0); dx=(1:length(dy)+L0-2-(n2)*Dt;調用格式： y為 等距實測數(shù)據(jù)， dy為得出的導數(shù)向量， dx為相應的自變量向量，dy、dx的數(shù)據(jù)比y短 。,_( , )yxdddiffctr yt n精選課件精選課件62 例：求導數(shù)的解析解,再用數(shù)值微分求取原函數(shù)的14 階導數(shù)，并和解析解比較精度。 h=0.05; x=0:

38、h:pi; syms x1; y=sin(x1)/(x12+4*x1+3);% 求各階導數(shù)的解析解與對照數(shù)據(jù) yy1=diff(y); f1=subs(yy1,x1,x); yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);精選課件精選課件63 y=sin(x)./(x.2+4*x+3); % 生成已知數(shù)據(jù)點 y1,dx1=diff_ctr(y,h,1); subplot(221),plot(x,f1,dx1,y1,:); y2,dx2=dif

39、f_ctr(y,h,2); subplot(222),plot(x,f2,dx2,y2,:) y3,dx3=diff_ctr(y,h,3); subplot(223),plot(x,f3,dx3,y3,:); y4,dx4=diff_ctr(y,h,4); subplot(224),plot(x,f4,dx4,y4,:)求最大相對誤差： norm(y4-f4(4:60)./f4(4:60)ans = 3.5025e-004精選課件精選課件643.3.3 用插值、擬合多項式的求導數(shù) 基本思想：當已知函數(shù)在一些離散點上的函數(shù)值時，該函數(shù)可用插值或擬合多項式來近似，然后對多項式進行微分求得導數(shù)。 選

40、取x=0附近的少量點 進行多項式擬合或插值 g(x)在x=0處的k階導數(shù)為( ,),1,2,1iix yin1121( )nnnng xcxc xc x c()1(0)!0,1,2,knkgckkn 精選課件精選課件65 通過坐標變換用上述方法計算任意x點處的導數(shù)值 令 將g(x)寫成z的表達式 導數(shù)為 可直接用 擬合節(jié)點 得到系數(shù) d=polyfit(x-a,y,length(xd)-1) zxa1121( )( )nnnng xg zdzd zd z d( )( )1( )(0)!0,1,kknkgagdkkn ( )g z(,)iixa yid精選課件精選課件66 例：數(shù)據(jù)集合如下： x

41、d: 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000 yd: 0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053計算x=a=0.3處的各階導數(shù)。 xd= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000; yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053; a=0.3;L=length(xd); d=polyfit(xd-a,yd,L-1);fact=1; for k=1:L-1;fact=factorial(k),fact;end deriv=d.*factderiv = 1

42、.8750 -1.3750 1.0406 -0.9710 0.6533 0.6376精選課件精選課件67 建立用擬合（插值）多項式計算各階導數(shù)的poly_drv.mfunction der=poly_drv(xd,yd,a)m=length(xd)-1;d=polyfit(xd-a,yd,m);c=d(m:-1:1); 去掉常數(shù)項fact(1)=1;for i=2:m; fact(i)=i*fact(i-1);endder=c.*fact; 例： xd= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000; yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.

43、8614 0.9053; a=0.3; der=poly_drv(xd,yd,a)der = 0.6533 -0.9710 1.0406 -1.3750 1.8750精選課件精選課件683.3.4 二元函數(shù)的梯度計算 格式： 若z矩陣是建立在等間距的形式生成的網格基礎上，則實際梯度為,( )xyffgradient z/,/xxyyffxffy( ,)zfx y精選課件精選課件69 例：計算梯度，繪制引力線圖： x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); fx,fy=gradient(z); fx=fx/0.2

44、; fy=fy/0.2; contour(x,y,z,30); hold on; quiver(x,y,fx,fy)%繪制等高線與引力線圖精選課件精選課件70 繪制誤差曲面: zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx); axis(-3 3 -2 2 0,0.08) figure; surf(x,y,abs(fy-zy); axis(-3 3 -2 2 0,0.11)建立一個新圖形窗口精選課件精

45、選課件71 為減少誤差，對網格加密一倍： x,y=meshgrid(-3:.1:3,-2:.1:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); fx,fy=gradient(z); fx=fx/0.1; fy=fy/0.1; zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx); axis(-3 3 -2 2 0,0.02) figure; surf(x,y,abs(fy-zy)

46、; axis(-3 3 -2 2 0,0.06)精選課件精選課件723.4 數(shù)值積分問題 4.3.1 由給定數(shù)據(jù)進行梯形求積精選課件精選課件73Sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2精選課件精選課件74 格式： S=trapz(x,y) 例： x1=0:pi/30:pi; y=sin(x1) cos(x1) sin(x1/2); x=x1 x1 x1; S=sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2S = 1.9982 0.0000 1.9995 S1=trapz(x1,y) % 得出和上述完全一致的結果S1 = 1.9982

47、 0.0000 1.9995精選課件精選課件75 例：畫圖 x=0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2; % 這樣賦值能確保 3*pi/2點被包含在內 y=cos(15*x); plot(x,y)% 求取理論值 syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2)A =1/15精選課件精選課件76隨著步距h的減小，計算精度逐漸增加： h0=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001; v=; for h=h0, x=0:h:3*pi/2, 3*pi/2; y=cos(15*x); I=trapz(x,y); v=v; h, I, 1/15-I

48、 ;end format long; vv = 0.100 0.076 0.591 0.000 0.584 0.083 0.000 0.004 0.663 0.000 0.667 0.000 0.000 0.167 0.500 0.000 0.542 0.125 精選課件精選課件773.4.2 單變量數(shù)值積分問題求解 梯形公式 格式：(變步長）(Fun:函數(shù)的字符串變量） y=quad(Fun,a,b) y=quadl(Fun,a,b) % 求定積分 y=quad(Fun,a,b, ) y=quadl(Fun,a,b, ) %限定精度的定積分求解，默認精度為106。后面函數(shù)算法更精確，精度更高

49、。精選課件精選課件78 例：第三種：匿名函數(shù)(MATLAB 7.0)第二種：inline 函數(shù)第一種，一般函數(shù)方法精選課件精選課件79函數(shù)定義被積函數(shù)： y=quad(c3ffun,0,1.5)y = 0.9661 用 inline 函數(shù)定義被積函數(shù)： f=inline(2/sqrt(pi)*exp(-x.2),x); y=quad(f,0,1.5)y = 0.9661 運用符號工具箱： syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x2),0,1.5),60) y0 = .966179499943257461473285749 y=quad(f,0,1.5,1e-20

50、) % 設置高精度，但該方法失效精選課件精選課件80提高求解精度： y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y = 0.9661 abs(y-y0)ans = .64892e-16 format long 16位精度 y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y = 0.96610514647531精選課件精選課件81 例：求解繪制函數(shù): x=0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4; y=exp(x.2).*(x2); y(end)=0; x=eps, x; y=0,y; fill(x,y,g)為減少視覺上的誤差，對端點與間斷點（有跳躍）進行處理。精選課件精選課件82 調用qu

51、ad( ): f=inline(exp(x.2).*(x2)./(4-sin(16*pi*x),x); I1=quad(f,0,4)I1 = 57.76435412500863 調用quadl( ): I2=quadl(f,0,4)I2 = 57.76445016946768 syms x; I=vpa(int(exp(x2),0,2)+int(80/(4-sin(16*pi*x),2,4) I = 57.76445333精選課件精選課件833.4.3 Gauss求積公式 為使求積公式得到較高的代數(shù)精度 對求積區(qū)間a,b，通過變換 有110( )()nkkkfx dxA fx22babaxt1

52、10( )()()222222nbkakb ab aa bb ab aa bf x dxftdtA ft01010202111,0.5773503,1.00000000;2,0.7745967,0.555555560.00000000,0.88888889;nxxAAnxxAAxA 精選課件精選課件84 以n=2的高斯公式為例：function g=gauss2(fun,a,b)h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c, c, h*0.7745967+c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.88888889*

53、gaussf(x(2);function y=gaussf(x)y=cos(x); gauss2(gaussf,0,1)ans = 0.841522babaxt0( )()222nbkakb ab aa bf x dxA ft0210212,0.7745967,0.000000000.55555556,0.88888889;nxxxAAA精選課件精選課件853.4.4 雙重積分問題的數(shù)值解 矩形區(qū)域上的二重積分的數(shù)值計算 格式： 矩形區(qū)域的雙重積分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM) 限定精度的雙重積分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM， )精選課件精選

54、課件86 例：求解 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); y=dblquad(f,-2,2,-1,1)y = 1.57449318974494精選課件精選課件87 任意區(qū)域上二元函數(shù)的數(shù)值積分 (調用工具箱NIT），該函數(shù)指定順序先x后y.精選課件精選課件88例 fh=inline(sqrt(1-x.2/2),x); % 內積分上限 fl=inline(-sqrt(1-x.2/2),x); % 內積分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),y,x); % 交換順序的被積函數(shù) y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/

55、2,1,eps)y = 0.41192954617630精選課件精選課件89 解析解方法： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y), y, -sqrt(1-x2/2), sqrt(1-x2/2); int(i1, x, -1/2, 1)Warning: Explicit integral could not be found. In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58 ans = int(2*exp(-1/2*x2)*sin(x2)*sin(1/2*(4-2*x2)(1/2), x = -1/2 . 1)

56、 vpa(ans) ans = .41192954617629511965175994017601精選課件精選課件90222112211sin()yxyIexy dxdy222221sin ()xxyIexy d xd y例：計算單位圓域上的積分： 先把二重積分轉化： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y), x, -sqrt(1-y.2), sqrt(1-y.2);Warning: Explicit integral could not be found. In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58精選課

57、件精選課件91對x是不可積的，故調用解析解方法不會得出結果，而數(shù)值解求解不受此影響。 fh=inline(sqrt(1-y.2),y); % 內積分上限 fl=inline(-sqrt(1-y.2),y); % 內積分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); %交換順序的被積函數(shù) I=quad2dggen(f,fl,fh,-1,1,eps)Integral did not converge-singularity likelyI = 0.53686038269795精選課件精選課件923.4.5 三重定積分的數(shù)值求解 格式: I=triplequad(Fun,xm,xM,ym,yM, zm,zM， ,quadl) 其中quadl為具體求解一元積分的數(shù)值函數(shù),也可選用quad或自編積分函數(shù),但調用格式要與quadl一致。精選課件精選課件93 例： triplequad(inline(4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z), x,y,z), 0, 1, 0, pi, 0, pi,1e-7,quadl)ans = 1.7328精選課件精選課件943.5 曲線積分與曲面積分的計算 3.5.1 曲線積分及MATLAB求解第一類曲線積分 起源于對不均勻分布的空間曲線總質量的求取.設空間曲線L的密度函數(shù)為f(x,y,z),則其總質量