三角形相似(部分答案在2014和難題集錦)

1、2.如圖，在中，BD平分，試說明：AB·BC = AC·CD 3.已知：ACB為等腰直角三角形，ACB=900 延長BA至E，延長AB至F，ECF=1350 求證：EACCBF4.已知:如圖,ABC中,AD=DB,1=2.求證:ABCEAD.5.、如圖，點C、D在線段AB上，且PCD是等邊三角形.(1)當AC，CD，DB滿足怎樣的關(guān)系時，ACPPDB；(2)當PDBACP時，試求APB的度數(shù).6.如圖，（1）嗎？說明理由。（2）求AD的長。7.已知:如圖,CE是RtABC的斜邊AB上的高,BGAP. 求證:CE2=ED·EP.8.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，

2、AEBC于E，AFCD于F.(1)ABE與ADF相似嗎？說明理由.(2)AEF與ABC相似嗎？說說你的理由.9.如圖，D為ABC內(nèi)一點，E為ABC外一點，且1=2，3=4.(1)ABD與CBE相似嗎？請說明理由.(2)ABC與DBE相似嗎？請說明理由.10.已知:如圖,CE是RtABC的斜邊AB上的高,BGAP. 求證:CE2=ED·EP.1 如圖：ABC中，D是AB上一點，AD = AC，BC邊上的中線AE交CD于F，求證：2 四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項，且AC平分DAB，求證：3 如圖，已知菱形ABCD中，在AD上任取一點E，連結(jié)CE并延長與BA的延長線交于點F

3、，過E作EGFB交FD于G，求證：GF = AE4 在RtABC中，ACB = Rt，AD平分CAB，CEAB于E，交AD于F，過F作FGAB交CB于G，求證：CD = GB5 矩形ABCD中，M是BC的中點，DEAM，E是垂足，求證：6 如圖，過平行四邊形ABCD的頂點A的直線交BD于P，交CD于Q，并交BC的延長線于R，求證：7 已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AC三分之一處，即AE = AC，DE的延長線交AB于F，求證：AF = FB2. 如圖，在平行四邊形ABCD中，R在BC的延長線上，AR交CD于Q，若DQCQ43，求AQQR的值。 3.如圖，梯形中，且，分別是，的中點，與

4、相交于點（1）求證：；（2）若，求4.如圖，ABC中AB=BD，AD為中線，點E是BD的中點。求證：（1） ABECBE； （2）求證：AC=2AE5. 如圖，點，分別在的邊，上，四邊形是等腰梯形，與交于點，且（1）試問：成立嗎？說明理由；（2）若，求證：是等腰三角形6、已知：如圖，AD是ABC的角平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長線于點F,求證：7、已知：如圖，四邊形ABCD中，A=BCD=900,過C作對角線BD的垂線交BD、AD于點E、F。求證： 、已知：如圖，D是ABC的邊AC上一點，且CD=2AD，AEBC于E, 若BC=13, BDC的面積是39, 求AE的長。 &

5、#160;   1、如圖：三角形ABC是一快銳角三角形余料，邊BC120mm,高AD 80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？12、已知：如圖：FGHI為矩形，ADBC于D，BC36cm,AD12cm 。求：矩形FGNI的周長。13、已知:如圖,DEBC,AFFB=AGGE。求證:AFGAED。14、己知:如圖,ABCD,AF=FB,CE=EB. 求證:GC2=GF·GD.21、已知:如圖,DEBC,AD2=AF·AB。求證:AEFACD。26、已知:如圖,1=2,3

6、=4. 求證:DBEABC.27、如圖，B=900，AB=BE=EF=FC=1。求證：AEFCEA例1.如圖，在ABC中，D是BC的中點，E是AC延長線上任意一點，連接DE與AB交于F，與過A平行于BC的直線交于G。求證：.變式1：如圖，在ABC中，與互余，CDAB，DE/BC，交AC于點E，求證：AD:AC=CE:BD.例2：如圖：已知梯形ABCD中，AD/BC，且BDCD于D。求證：；例3.如圖，在ABC中，M是BC的中點，DMBC交BA的延長線于D，交AC于E。求證：例4.已知：在ABC中，AD是的平分線，點E在AD上，點F在AD的延長線上，且 求證：BE/FC。例5.如圖，在正方形AB

7、CD中，E，F(xiàn)分別為AB、AC上一點，切BE=BF，BPCE，垂足為P。 求證：PDPF.例6.在ABC的中線AD,BE相交于G。求證：AGB的面積等于四邊形CEGD。47、已知,如圖,在ABC中,D是BC的中點,且AD=AC,DEBC交AB于點E,ABDECFEC與AD相交于點F.（1）求證:ABCFCD；（2）若SFCD=5,BC=10,求DE的長.48、 已知,梯形ABCD中,ADBC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.（1）P為AD上一點,滿足BPC=A,求證:ABPDPC；（2）如果點P在AD邊上移動（P與點A、D不重合），且滿足BPE=A,PE交直線BC于點E,同時交直

8、線DC于點Q,那么,當點Q在線段DC的延長線上時,設(shè)AP=x，CQ=y，求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.BCDAPEQBCDAP49、已知,如圖,等邊三角形ABC中,AB=2,點P是AB邊上的任意一點（點P與點A重合,但不與點B重合），過點P作PEBC于E,過點E作EFAC于F,過點F作FQAB于點Q,設(shè)BP=x，AQ=y.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：（2）當BP的長等于多少時,點P與點Q重合；AQBEPFC（3）當線段PE、FQ相交時,寫出線段PE、EF、FQ所圍成三角形的周長的取值范圍.如圖,已知，在ABC中,BA=BC=20，AC=30,點P從A點出發(fā),沿AB以4/s的速度

9、向點B運動；同時點Q從C點出發(fā),沿CA以3/s的速度向A點運動,設(shè)運動時間為x，（1）當x為何值時,PQBC；（2） 當SBCQSABC=13時,求SBPQSABC的值；（3）APQ能否與CQB相似,若能,求出AP的長,若不能,請說明理由.BPACQ例1. 如圖，的AB邊和AC邊上各取一點D和E，且使ADAE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證： 例2. 如圖，ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點F，證明：AB·DF=AC·EF。 2如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、

10、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t2時，判斷BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR/BA交AC于點R，連結(jié)PR，當t為何值時，APRPRQ？ 40、 （2013巴中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且AFE=B（1）求證：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長 6、（2013蘇州）如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并

11、延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長交邊AD于點F，交CD的延長線于點G（1）求證：APBAPD；（2）已知DF：FA=1：2，設(shè)線段DP的長為x，線段PF的長為y求y與x的函數(shù)關(guān)系式；當x=6時，求線段FG的長 （1）如圖1，在等邊ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊AMN，連結(jié)CN求證：ABC=ACN【類比探究】（2）如圖2，在等邊ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論ABC=ACN還成立嗎？請說明理由【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM

12、，以AM為邊作等腰AMN，使頂角AMN=ABC連結(jié)CN試探究ABC與ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由48、（2013紹興）在ABC中，CAB=90°，ADBC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上（1）如圖1，AC：AB=1：2，EFCB，求證：EF=CD（2）如圖2，AC：AB=1：，EFCE，求EF：EG的值 51、（2013遵義）如圖，在RtABC中，C=90°，AC=4cm，BC=3cm動點M，N從點C同時出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設(shè)移動時間

13、為t（單位：秒，0t2.5）（1）當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與ABC相似？（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說明理由52、（2013泰州）如圖，在矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與C、D不重合，過點A作AP的 垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，M為PQ中點（1）求證：ADPABQ；（2）若AD=10，AB=20，點P在邊CD上運動，設(shè)DP=x，BM2=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM的最小值；（3）若AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取

14、值范圍 4、（2013泰安）如圖，四邊形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90°，E為AB的中點，（1）求證：AC2=ABAD；（2）求證：CEAD；（3）若AD=4，AB=6，求的值 6、（2013包頭）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F（1）如圖，當時，求的值；（2）如圖當DE平分CDB時，求證：AF=OA；（3）如圖，當點E是BC的中點時，過點F作FGBC于點G，求證：CG=BG 一.相似三角形中的動點問題1.已知如圖，正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點，點Q在線段BC上，設(shè)BQ，是否存在這樣的

15、實數(shù)，使得Q、C、P為頂點的三角形與ADP相似，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。2.如圖，在梯形中，梯形的高為動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設(shè)運動的時間為（秒）（1）當時，求的值；（2）試探究：為何值時，為直角三角形變式練習1：如圖所示，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設(shè)運動時間為x。（1）當x為何值時，PQBC？（2）當，求的值；（3）APQ能否與CQB相似？若能，求出AP的長；

16、若不能，請說明理由。變式練習2：如圖，已知直線的函數(shù)表達式為，且與軸，軸分別交于兩點，動點從點開始在線段上以每秒2個單位長度的速度向點移動，同時動點從點開始在線段上以每秒1個單位長度的速度向點移動，設(shè)點移動的時間為秒（1）求出點的坐標；（2）當為何值時，與相似？（3）求出（2）中當與相似時，線段所在直線的函數(shù)表達式OPAQByx3.如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t2時，判斷BPQ的

17、形狀，并說明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR/BA交AC于點R，連結(jié)PR，當t為何值時，APRPRQ？1、如圖，已知ABBC，CDBC，垂足分別為B、D，AB=4，CD=6，BD=14，P為BD上一點，試問BP為何值時，以A、B、P為頂點的三角形與以P、C、D為頂點的三角形相似。2、如圖，在ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點M從點A出發(fā)，以1cm秒的速度向點B運動，動點N從點C出發(fā)，以2cm秒的速度向點A運動，若兩點同時運動，是否存在某一時刻t，使得以點A、M、N為頂點的三角形與ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由 3、如圖

18、，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：是否存在時刻t，使以A、M、N為頂點的三角形與ACD相似？若存在，求t的值 4、如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PFAE于F（1）求證：PFAABE；（2）當點P在射線AD上運動時，設(shè)PA=x，是否存在實數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點的三角形也與ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由 1.如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=3，BC=4，

19、過點B作射線BB1AC動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動過點D作DHAB于H，過點E作EFAC交射線BB1于F，G是EF中點，連接DG設(shè)點D運動的時間為t秒（1）當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；（2）當DEG與ACB相似時，求t的值2.如圖，在ABC中，ABC90°，AB=6m，BC=8m，動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向點C移動同時，動點Q以1m/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動當其中有一點到達終點時，它們都停止移動設(shè)移動的時間為t秒（1）當t=2.5s時，求CPQ的面積；求C

20、PQ的面積S（平方米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在P，Q移動的過程中，當CPQ為等腰三角形時，求出t的值3.如圖1，在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8，點D在邊AB上運動，DE平分CDB交邊BC于點E，EMBD，垂足為M，ENCD，垂足為N（1）當ADCD時，求證：DEAC；（2）探究：AD為何值時，BME與CNE相似？4.如圖所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，當P點到達B點時，Q點隨之停止運動設(shè)運動的時間為x（1）當x為何值時，PQBC？

21、（2）APQ與CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能說明理由5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0t6）。（1）當t為何值時，QAP為等腰直角三角形？（2）當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似？ 二、構(gòu)造相似輔助線雙垂直模型 6.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°，求這個正比例函數(shù)的表達式7.在ABC中，AC=BC，ACB=90

22、76;，點M是AC上的一點，點N是BC上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點求證：MC：NC=AP：PB9.如圖，在直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E那么D點的坐標為？10.已知，如圖，直線y=2x2與坐標軸交于A、B兩點以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD，使得矩形的兩邊之比為12。求C、D兩點的坐標。構(gòu)造相似輔助線A、X字型 11.如圖：ABC中，D是AB上一點，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F。求證：12.四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中

23、項，且AC平分DAB。求證：13.在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E為AD邊上的任意一點，EFAB，且EF交BC于點F，某同學在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：(1)當時，EF=；(2)當時，EF=；(3)當時，EF=當時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明14.已知：如圖，在ABC中，M是AC的中點，E、F是BC上的兩點，且BEEFFC。 求BN：NQ：QM15.證明：（1）重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的（注：重心是三角形三條中線的交點） （2）角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比

24、例 四、相似類定值問題 16.如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點，D為MN上任意一點，BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F求證：17.已知：如圖，梯形ABCD中，AB/DC，對角線AC、BD交于O，過O作EF/AB分別交AD、BC于E、F。求證：18.如圖，在ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個頂點分別在ABC上。求證：19.已知，在ABC中作內(nèi)接菱形CDEF，設(shè)菱形的邊長為a求證：1如圖所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF 2如圖，ABCD的對角線相交于點O，在AB的延長線上任取一點E，連接OE交BC于點F若AB=a，AD=c

25、，BE=b，則BF長？ 3如圖所示在ABC中，BAC=120°，AD平分BAC交BC于D求證： 4.如圖所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O點，過O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF 5已知：P為ABCD邊BC上任意一點，DP交AB的延長線于Q點，求證： 6如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，MNBC，且MN與對角線BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN 7P為ABC內(nèi)一點，過P點作DE，F(xiàn)G，IH分別平行于AB，BC，CA（如圖所示）求證： 8如圖所示P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且BP=BQ，BHPC于H求證：QHDH 五、相似之共線線段的比例問題 20.（1）如圖1，點在平行四邊形ABCD的對角線BD上，一直線過點P分別交BA，BC的延長線于點Q，S，交于點求證： 21.已知：如圖，ABC中，