數(shù)學建模論文(房地產)

1、摘要房地產業(yè)發(fā)展涉及到國計民生的眾多行業(yè)，其受各種因素的多元化影響，對于房產業(yè)發(fā)展相關問題的有效研究可以對國民經(jīng)濟的健康可持續(xù)發(fā)展產生積極的影響。本文針對房地產發(fā)展的三個重要問題，分別建立了相應的數(shù)學模型進行了分析，并得出了相應的結論。對于第一問，我們選取了房地產開發(fā)投資，商品房銷售價格與全市生產總值有著密切關系的指標進行研究。我們采用多元線性回歸模型利用SPSS統(tǒng)計軟件分別對兩個指標與全市生產總值進行線性回歸，得到線性回歸方程和相關系數(shù)。即y1=0.5819*x1+0.4181*x2-0.07R2=0.843并由圖1得出房地產發(fā)展與經(jīng)濟發(fā)展，他們之間相互拉動，又相互牽制。隨著市場經(jīng)濟的不斷完

2、善，他們之間的互動越來越強。對于問題二，我們運用灰色關聯(lián)分析模型和相關分析方法，得出影響房地產發(fā)展的主要因素及關聯(lián)系數(shù)如下表：城市居民可支配收入R1=0.69房屋租賃價格指數(shù)R2=0.67房屋銷售價格指數(shù)R3=0.65居民居住房價R4=0.81房地產開發(fā)投資R5=0.70居民消費價格指數(shù)R6=0.60居民居住消費價格指數(shù)R7=0.61對于問題三，為了預測2015年人均住房面積我們建立了灰色預測模型，模型如下:X1(k+1)=X0(1)-u/a*e-ak u/a;X0(k+1)=X1(k+1)-X1(k) X1(k+1)=1557.4* e-0.0155*K -1557.4; X0(k+1)=1

3、557.4*(1557.4* e-0.0155*K -1557.4* e-0.0155*(K-1) ) ;k=1,2,.n X0(k+1)表示第K年的人均住房面積。X0(1)=19.4;對2015年該市人均住房面積進行了預測并得出，2015年該市人均住房面積達到28.85平方米。關鍵詞：多元先行回歸 SPSS 灰色關聯(lián)分析 相關分析 灰色預測 綜合評價方法一 問題重述長久以來，房地產問題都得到了國人很大的關注關于對房地產問題的分析和預測一直沒有停止過。住房問題是關系民生的大問題。自2001 年以來中國經(jīng)濟進入了以住房、汽車、電子通訊、能源和基礎原材料業(yè)較快發(fā)展的新一輪增長周期。2004 年1-

4、2 月份固定資產投資完成額增長53，經(jīng)濟運行中出現(xiàn)了新的不平衡，能源、運輸供應緊張，居民消費品價格指數(shù)(CPI)開始走高（6 月同比上漲5），中國經(jīng)濟運行出現(xiàn)偏熱的跡象。從2003 年下半年開始，房地產業(yè)在發(fā)展過程中出現(xiàn)了部分地區(qū)房地產投資過熱、房價上漲過高的現(xiàn)象，各項指標表明中國房地產存在一定程度的泡沫。為保持經(jīng)濟健康穩(wěn)定的發(fā)展，近年來，中央政府綜合運用經(jīng)濟、法律和必要的行政手段，以區(qū)別對待和循序漸進的方式，對房地產業(yè)連續(xù)出臺了一系列宏觀調控政策。但房地產市場仍然存在住房供給結構不合理、部分城市房價上漲太快、中低收入居民住房難以滿足等問題。2008 年，在世界金融危機和國內經(jīng)濟下行的雙重外部

5、壓力下，在行業(yè)自身調整的內部推動下，全國房地產市場出現(xiàn)了周期性變化，由增長期轉變?yōu)樗ネ似冢?009 年世界經(jīng)濟形勢非常嚴峻，這場百年一遇的金融危機，目前尚看不出何時會到底，最壞的時間或許還沒有到來，世界經(jīng)濟步入衰退，已沒有什么懸念，這必將對我國房地產業(yè)產生巨大影響。09 年剛剛開始，房地產業(yè)陷入了低靡期，房價會不會繼續(xù)下跌呢？自己辛辛苦苦賺的錢，會不會買了房就貶值呢？那么，在經(jīng)濟形勢不容樂觀的今天，購房者是該出手時就出手，還是持幣待購，繼續(xù)觀望呢？政府究竟是否應該救市？中國房地產究竟是否存在泡沫？當房價已經(jīng)超過居民消費能力時，既要維持房價上漲、又要拉動交易量上升，是很困難的。房地產業(yè)要健康發(fā)展

6、，需要在房價和交易量的合理平衡上做文章。在本次數(shù)學建模的A 題中我們有以下問題需要解決：問題一：試建立數(shù)學模型闡述房地產市場發(fā)展與經(jīng)濟發(fā)展的關系。2009 年該市的房地產市場發(fā)展形勢如何？問題二：試建立數(shù)學模型分析影響房地產業(yè)發(fā)展的因素，該模型對于政府調控房地產市場有何指導作用？問題三：作為建設小康社會的一項重要指標，在房地產業(yè)健康穩(wěn)定發(fā)展的前提下（可參照附件一中的部分指標），欲使該市人均住房面積在2015 年達到30 平方米，政府應采取哪些措施？二 模型的基本假設1.題目提供的數(shù)據(jù)在誤差允許范圍內真實有效；2. 2015 年之前房地產業(yè)健康穩(wěn)定發(fā)展；3.在著重討論主要因素時，其他的次要因素對

7、主要因素的影響可以忽略；4假設剔除材料中空缺的數(shù)據(jù)對計算結果沒有影響；.三 符號說明房地產開發(fā)投資X1商品房銷售價格X2全市生產總值Y1城市居民可支配收入M1房屋租賃價格指數(shù)M2房屋銷售價格指數(shù)M3居民居住房均價M4房地產開發(fā)投資M5居民消費價格指數(shù)M6居民居住消費價格指數(shù)M7房地產業(yè)生產總值增加值Y2殘差 系數(shù)i常數(shù)0隨機變量i第k年的人均住房面積X0(k+1)X0前k+1項累加和X1(k+1)四 問題分析與模型準備 第一問中結合模型準備階段做的工作，首先多元線性回歸，刻畫了房地產市場發(fā)展與宏觀經(jīng)濟之間的關系。并且建立多元線性回歸模型 y1=0+1*X1+2*X2+ ;通過對附件二可知：在近

8、幾年房地產市場發(fā)展與經(jīng)濟發(fā)展兩者之間互動關系有一個機構性變化，由于利率缺乏彈性，通過利率來調整房地產市場，成效不大，但是信貸規(guī)模的變化對房地產投資有較大的影響。y1=0.5819x1+0.4181x2-0.07+函數(shù)的結果表明：房地產投資的沖擊對經(jīng)濟增長有長期影響，個別企業(yè)對相關行業(yè)的拉動作用也比較大。 解決第二問時，我們利用關聯(lián)度分析的方法得到房地產市場發(fā)展與經(jīng)濟發(fā)展的定量關系。并結合相關分析加以檢驗。 對于第三問，我們利用主成分分析法建模量化得到影響房地產業(yè)發(fā)展的因素?；诜康禺a業(yè)健康穩(wěn)定發(fā)展的前提，我們針對GM(1,1)模型（灰色預測模型）的應用做了詳細分析，提出了在本題中的不足，采用了

9、的改進的GM(1,1)模型2，效果良好。預測出2015年該市人均住房面積將達到28.85平方米，欲使該市人均住房面積在2015 年達到30 平方米，在模型的進一步討論中，我們針對在我國現(xiàn)階段發(fā)展中較為突出的房產泡沫與用戶需求的矛盾問題采用綜合評價法。最后，我們根據(jù)對結果的分析提出了一些有價值的建議。五 模型建立與求解5.1 問題一模型的求解 模型的準備 房地產業(yè)作為新的經(jīng)濟增長點，其投資規(guī)模的快速發(fā)展會促使固定資產投資和鋼鐵、水泥等行業(yè)的持續(xù)增長，并對煤電油運鞥行業(yè)產生巨大壓力，影響國民經(jīng)濟的協(xié)調發(fā)展。而作為一般投資品，像其他金融產品一樣，其價格的極不穩(wěn)定性對經(jīng)濟的影響也是人們關注的熱點問題。

10、因此，本模型從房地產投資和房地產價格的沖擊入手，來分析房地產業(yè)的波動對國民經(jīng)濟的影響。 首先，對房地產業(yè)的發(fā)展進行分析可知，它主要由房地產開發(fā)投資和商品房銷售價格兩個因素決定。因次以房地產開發(fā)投資和商品房銷售價格兩個指標作為自變量，以全市生產總值作為因變量進行回歸分析，建立多元線性回歸模型如下：Y1=0+1*X1+2*X2+ ;將房地產開發(fā)投資和商品房銷售價格以及全市生產總值這三個變量進行標準化處理，并用SPSS軟件解得如下：回歸系數(shù)和置信區(qū)間如下表系數(shù)0=-0.071=0.58192=0.4181置信區(qū)間-1.888,0.0790.283,0.9030.129,0.722統(tǒng)計檢驗量 R=0.

11、918 R2=0.843 F=51.060 p=0.05 殘差分析ModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression1.6562.82851.060.000aResidual.30819.016Total1.96521a. Predictors: (Constant), 標準化房地產開發(fā)投資, 標準化商品房銷售價格b. Dependent Variable: 標準化全市生產總值CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorB

12、eta1(Constant)-.070.057-1.227.235標準化價格.5819.148.5584.004.001標準化投資.4181.142.4193.007.007a. Dependent Variable: 標準化全市生產總值得出多元線性回歸方程，如下Y1=0.5819x1+0.4181x2-0.07+對所得模型進行檢驗：做出殘差圖形如下殘差的正態(tài)分布檢驗：經(jīng)殘差檢驗以及R2=0.843可以看出該模型基本成立。對房地產開發(fā)投資和商品房銷售價格以及全市生產總值做出隨時間變化的趨勢圖如下：圖1由多元線性回歸模型及圖1可以看出房地產開發(fā)投資和商品房銷售價格與全市生產總值呈正相關，即房地產

13、發(fā)展與經(jīng)濟發(fā)展，他們之間相互拉動，又相互牽制。隨著市場經(jīng)濟的不斷完善，他們之間的互動越來越強。2008年，在世界金融危機和國內經(jīng)濟下行的雙重外部壓力下，在行業(yè)自身調整的內部推動下，全國房地產市場出現(xiàn)了周期性變化，由增長期轉變?yōu)樗ネ似冢?在2009 年，該市的房地產產業(yè)將進入一個新的發(fā)展階段。由于經(jīng)濟危機的影響，城鎮(zhèn)居民的人均收入呈現(xiàn)下降趨勢，由此引發(fā)中國的房地產市場的急劇下滑。由圖可以看出，呈現(xiàn)了下降的趨勢，長期看來，該市的房地產市場發(fā)展前景仍然是看好的。5.2 問題二模型的求解 由第一問可知房地產業(yè)的發(fā)展與經(jīng)濟的發(fā)展，他們之間相互拉動，又相互牽制因此分析影響房地產業(yè)發(fā)展的因素對經(jīng)濟的發(fā)展起至

14、關作用。由此，我們運用了灰色關聯(lián)分析模型。 關聯(lián)分析方法是根據(jù)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度，亦即“灰色關聯(lián)度”，作為衡量因素間關聯(lián)程度的一種方法?；疑到y(tǒng)理論提出了對各子系統(tǒng)進行灰色關聯(lián)度分析的概念，意圖透過一定的方法，去尋求系統(tǒng)中各子系統(tǒng)（或因素）之間的數(shù)值關系。因此，灰色關聯(lián)度分析對于一個系統(tǒng)發(fā)展變化態(tài)勢提供了量化的度量，非常適合動態(tài)歷程分析。確定分析序列。在對所研究問題定性分析基礎上，確定一個因變量因素和多個自變量因素。設因變量數(shù)據(jù)構成參考序列X0，各自變量數(shù)據(jù)構成比較序列Xi( i=1，2，_ ，n)構成如下矩陣： X0(1) X1(1)Xn(1)X0(2) X1(2)Xn(2).

15、（X0,X1,.,Xn）=.X0(n) X1(n)Xn(n)對變量序列進行無量綱化。原始變量序列具有不同量綱或數(shù)量級，需進行無量綱化，常用無量綱化方法有均值化法和初值化法等。求差序列，最大值和最小值，形成下列矩陣X1(1)-X0(1) X2(1)-X0(1).Xn(1)-X0(1)X1(2)-X0(2) X2(2)-X0(2).Xn(2)-X0(2). . .X1(n)-X0(n) X2(n)-X0(n).Xn(n)-X0(n)根據(jù)公式計算關聯(lián)系數(shù)為兩級最小差為兩級最大差稱為分辨率，0<<1,一般取=0.5R(i)表示第X(i)個因素和因變量X0關聯(lián)度。 關聯(lián)度矩陣中每列的平均數(shù)代

16、入數(shù)值求的：關聯(lián)度矩陣如下： R=0.7859290.5693650.548150.4362080.4154730.4547240.5086440.5575130.402040.3826710.9469630.6336060.3333330.3514470.4697550.4188050.3517430.7360820.9711760.360670.3464920.578030.6577460.6569180.9821340.5702980.6413880.6439580.7601890.995710.9401440.7722740.5881190.7783160.9525761110.982

17、596110.833267R RR R1=0.69 R2=0.67 R3=0.65 R4=0.81 R5=0.70 R6=0.60 R7=0.61; 計算結果表明，居民居住房均價,房地產開發(fā)投資與房地產發(fā)展的的關聯(lián)程度較大，城市居民可支配收入，房屋租賃價格指數(shù) 次之，居民消費價格指數(shù)影響最小。由上可知政府應該主要通過適度控制房地產開發(fā)投資并有效控制房價過分增長。5.3 問題三模型的求解 灰色系統(tǒng)理論中的灰色預測GM(1,1)模型1因其所需信息少、運算方便、建模精度較高而被廣泛應用于各種預測領域。所以我們在房地產業(yè)健康穩(wěn)定發(fā)展的前提下，并根據(jù)2003至2008年的數(shù)據(jù)使用灰色預測模型來預測201

18、5年人均住房面積。Step1:設時間序列X0(k)=X0(1),X0(2),X0(n),共有n個觀察值，其中X0(k)0 (K=1,2,n)對X0作一次累加生成列X1,即X1(k)=i=1kX0（i）=X1(k-1)+X0(k);Step2:定義矩陣B與Yn,其中X0(2)B=(-1/2X1(1)+X1(2)1-1/2X1n-1+X1(n)1 Yn=X0(3) X0(n) a=(a,u)T=(BTB)-1BTYn;求解微分方程：dX1dt+aX1=u可的預測模型：X1(k+1)=X0(1)-u/a*e-ak u/a；k=0,1,2 .n可的預測值：X0(k+1)=X1(k+1)-X1(k);

19、k=1,2 .n當1<k<n時上式反映原始數(shù)據(jù)的變化情況，當k>n時，上式為預測值。模型求解:X0=19.4 24.22 25.01 25.75 23.7 26.8 做一次累加后的序列X1(K)=19.4 43.62 68.63 94.38 118.08 144.88Setp3:由矩陣B的值計算得：B=-31.51 -56.125 -81.505 -106.23 -131.481 1 1 1 1TYn=24.22 25.01 25.75 23.7 26.8 代入數(shù)據(jù)求的：a=a,u'=-0.0155 23.8386X1(k+1)=X0(1)-u/a*e-ak u/a=

20、19.4+1538*e0.0155*k -1538 ; k=0,1,2.nStep4:進一步可求的：X0(k+1)=1557.4* (e0.0155*k - e(0.0155*(k-1) ); k=1,2n代入數(shù)據(jù)k=12求的2015年人均住房面積為28.85平方米。通過分別計算絕對誤差與相對誤差，進行殘差檢驗：作圖如下： 結果分析：由殘差分析可知，本模型的預測誤差較小變動均勻預測精度較高，但是經(jīng)過數(shù)據(jù)檢驗預測，我們發(fā)現(xiàn)長序列預測的誤差通常大于短序列，并且預測的時間越遠，誤差越大，而預測的時間越近，誤差就越小。而且由本模型預測的2015年城區(qū)人均住宅使用面積為28.85平方米未達到題目中要求的

21、30平方米，所以在房地產業(yè)健康穩(wěn)定發(fā)展的前提下，政府應采取如下措施：經(jīng)附表二中統(tǒng)計分析的：1998-2008政府為應對房地產市場發(fā)展分別針對存款準備金率，存貸款利率，最低首付款，所做的調整如下：存款準備金率：2004年4月由7%-7.5%,2007年12月調增至14.5%，2008年1月由14.5%調至15%，2008年3月由15%調整至15.5%，2008年4月15.5%調整至16%，2008年10月兩次分別下調0.5%和0.27%。最低首付款：2005年3月最低首付款在20%-30%之間，2007年9月大于40%。2008年9月由調至20%。有附件數(shù)據(jù)可知：2003-2008年住宅用房和其

22、他商用房平均空置率分別為：10.48%和32.10%，2003-2008年年度家庭全部收入與房價之比為1：17.88，國際標準為：1-2.55。2003年年度居民個人月收入與每平米房價之比0.302003-2008年年度全部貸款中房地產類貸款的比重25.38%，超過20%以上為嚴重經(jīng)濟泡沫。綜上可知：假設在房地產業(yè)健康發(fā)展的前提下政府應采取的措施如下：（1） 適度控制房價上漲，六 模型的優(yōu)化與改進6.1模型的優(yōu)點 對于問題一所建立的多元線性回歸模型，能夠較準確的反映出房地產市場發(fā)展與經(jīng)濟的發(fā)展相互拉動，又相互牽制。關于問題二，我們應用灰色關聯(lián)分析模型，對影響房地產業(yè)發(fā)展的因素進行深入分析，通過

23、對這些因素的分析，得出一些促進房地產業(yè)發(fā)展的建議，而且此模型對政府如何提高房地產業(yè)的發(fā)展，做出了明確的指導。對于問題三，我們建立了灰色預測模型，根據(jù)材料中給出的2003年至2008年的數(shù)據(jù)，我們預測出2015年城市居民人均住房面積為28.85平方米，且此預測模型誤差較小，適用于各方面類似的時間序列預測問題，具有很好的普適性。此模型層層替推，之間的邏輯清晰，便于理解。.模型考慮的比較全面，運用此模型可以十分準確地推測各因素對房地產產業(yè)的發(fā)展影響比重。6.2模型的缺點 由于材料中所給數(shù)據(jù)不全，且有許多數(shù)據(jù)丟失，所以建立的模型有一定的誤差。前期準備時所需數(shù)據(jù)量龐大，不容易收集，而且處理時容易出錯。模

24、型中用到的一些數(shù)據(jù)會是人的一些經(jīng)驗所得，所以會有一些誤差。對于問題三所求的時間序列預測模型是根據(jù)時間的變化而變化的，所以受時間影響較大，預測時間越近，誤差越小，預測時間越遠，誤差越大，因此根據(jù)所建立的灰色預測模型來求2015年的城市居民人均居住面積，結果有一定的誤差。6.3模型的改進 在建模預測的過程中，我們發(fā)現(xiàn)保有量的預測與人口的預測有相似之處，然而我們知道隨著政府政策,家庭收入,投資傾向等因數(shù)對房地產的發(fā)展有著至關重要的作用,所以在本數(shù)學模型的建立過程中，我們一直是假設發(fā)地產市場是健康的向前發(fā)展的。換言之，從結果中我們可以看出我們模型在對一定情況下的預測是準確的,但是，由于上述原因，就不一定能準確