數(shù)學(xué)建模案例大象群落的穩(wěn)定發(fā)展

1、封一答卷編號(競賽組委會填寫:答卷編號(競賽組委會填寫:論文題目大象群落的穩(wěn)定發(fā)展參賽隊員:1.黃立敬電話:2.陳光電話:3.陳靈電話:大象群落的穩(wěn)定發(fā)展摘要本文根據(jù)非洲某國的國家公園近兩年內(nèi)從公園運出的大象的大致年齡和性別的統(tǒng)計情況,探討大象的合理的存活率并推測當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu),針對不同情況給出如何進行避孕注射以達(dá)到控制大象數(shù)量的目的。首先,充分利用給出的近兩年來運出的大象的數(shù)量與性別統(tǒng)計表,分析近兩年來的大象群落的情況,建立一個線性方程組的數(shù)學(xué)模型,通過求解方程組得到年齡在2歲到60歲之間的大象的總數(shù),并且求出了存活率為:98.9718%;因為假設(shè)公園內(nèi)2歲到60歲之間的大象占總大象的比例等

2、于運出的2歲到60歲之間的大象占總移出大象的比例,所以通過一些比例之間的關(guān)系得到這個大象群落的當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)(見表1。然后,建立一個按年齡分組的種群增長的差分方程模型,運用第一問求出的各年齡段大象的存活率以及繁殖率,求解當(dāng)前大象群落對應(yīng)的Leslie矩陣的特征根,發(fā)現(xiàn)該特征根大于1,根據(jù)Leslie矩陣的穩(wěn)定性理論知道:如果不進行避孕注射該大象種群將無限增長(如果環(huán)境允許;據(jù)此,利用Leslie矩陣穩(wěn)定的充要條件求出應(yīng)該保持多大的繁殖率才能使種群保持穩(wěn)定,求解的主要思路是:特征根取為1、把繁殖率當(dāng)成未知數(shù),將此時的各年齡段的存活率代入方程VI,求解這個以繁殖率為未知數(shù)的方程可以得到要使種群保持

3、穩(wěn)定繁殖率的取值;根據(jù)需要避孕掉母象所生的幼象的數(shù)目等于注射避孕藥使得母象沒有繁殖幼象的數(shù)目這一條件建立一個方程,最后求得每年注射避孕藥的母象頭數(shù)為:1393 (頭。最后,假設(shè)被轉(zhuǎn)移的大象只考慮處于160歲之間,這樣可以認(rèn)為轉(zhuǎn)移后的大象看成每年多死了這么多頭大象,即意味著死亡率將增加,存活率將減少;仍然按照解決第二問的模型,只需將此時不同的各年齡段大象的存活率代入那個以繁殖率為未知數(shù)的方程(方程VI,求出應(yīng)該保持多大的繁殖率才能使種群保持穩(wěn)定?？紤]到求解的數(shù)據(jù)比較多,采取計算機模擬的方法來確定移出大象后所需要進行避孕的母象頭數(shù)(見表2,為了檢驗計算機模擬的正確性,用理論去驗證。模擬的思路方法見

4、計算機模擬流程圖圖2。關(guān)鍵字:線性方程組、差分方程模型、Leslie矩陣、計算機模擬位于非洲某國的國家公園中棲息著近11000頭大象。管理者要求有一個健康穩(wěn)定的環(huán)境以便維持這個11000頭大象的穩(wěn)定群落。管理者逐年統(tǒng)計了大象的數(shù)量,發(fā)現(xiàn)在過去的20年中,整個大象群經(jīng)過一些偷獵槍殺以及轉(zhuǎn)移到外地還能保持在11000頭的數(shù)量,而其中每年大約有近600頭到800頭是被轉(zhuǎn)移的。由于近年來,偷獵被禁止,而且每年要轉(zhuǎn)移這些大象也比較困難,現(xiàn)決定采取避孕注射法以維持大象數(shù)量的平衡。我們已知此公園近兩年內(nèi)從這個地區(qū)運出的大象的大致年齡和性別的統(tǒng)計。根據(jù)這些信息我們需要解決以下問題:1.探討年齡在2歲到60歲之

5、間的象的合理的存活率的模型,推測這個大象群落的當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)。2.估計每年有多少母象要注射避孕藥,可以使象群固定在11000頭左右。這里不免有些不確定性,是否能估計這種不確定性的影響。3.假如每年轉(zhuǎn)移50至300頭象到別處,那么上面的避孕措施將可以有怎樣的改變?問題假設(shè)1、假設(shè)大象的性別比近似認(rèn)為1:1,并且采用措施維持這個性別比;2、假設(shè)母象可以懷孕的年齡為11歲60歲、最高年齡為70歲,70歲的死亡率為100%,并且6170歲的大熊的頭數(shù)呈線性遞減;3、假設(shè)大象在各年齡段中的分布率不變,即年齡結(jié)構(gòu)不變,并采用各種措施維持這一結(jié)構(gòu);4、假設(shè)被轉(zhuǎn)移的大象只考慮處于160歲之間,轉(zhuǎn)移后的大象看成

6、每年多死了這么多頭大象;5、假設(shè)0歲大象能夠活到1歲的比例為75%;i X :表示一年中大象的頭數(shù)(i=0表示0歲大象的頭數(shù),i=1表示1-60歲大象頭數(shù),i=2表示6170歲大象的頭數(shù);i p :表示存活率(0p 表示0歲大象的存活率,1p 表示160歲大象的存活率,2p 表示61歲70歲大象的存活率;(i x k :表示時段k 第i 年齡組的大象數(shù)量;i b :第i 年齡組每個(母象個體在1個時段內(nèi)平均繁殖的數(shù)量;i s :第i 年齡組的存活率;L :Leslie 矩陣;1:L 矩陣的那個唯一正特征根;n :表示移出大象的頭數(shù);問題分析對于問題一,利用給出的近兩年來運出的大象的數(shù)量與性別統(tǒng)

7、計表,可以分析近兩年來的大象群落的情況,比如移出的各個年齡段的大象占移出的總的大象的頭數(shù)的比例是多少,還可以根據(jù)兩年移出大象后大象總數(shù)都是11000來建立方程,用于求解存活率。對于問題二,因為考慮的是公園在未來很長一段時間的大象種群控制問題,所以可以建立一個按年齡分組的種群增長的差分方程模型,根據(jù)差分方程的Leslie 矩陣的特征根,結(jié)合Leslie 矩陣的穩(wěn)定性理論對當(dāng)前大象種群的情況進行分析。為了保持大象種群的穩(wěn)定,必須使得Leslie 矩陣的最大特征根為1,而這樣,特征根取為1、把繁殖率當(dāng)成未知數(shù),將此時的各年齡段的存活率代入方程特征方程,求解這個以繁殖率為未知數(shù)的方程可以得到要使種群保

8、持穩(wěn)定繁殖率的取值;根據(jù)需要避孕掉母象所生的幼象的數(shù)目等于注射避孕藥使得母象沒有繁殖幼象的數(shù)目這一條件建立方程來求解應(yīng)該對多少頭母象進行避孕。對于問題三,由于假設(shè)被轉(zhuǎn)移的大象只考慮處于160歲之間,故可以認(rèn)為轉(zhuǎn)移后的大象看成每年多死了這么多頭大象,即意味著死亡率將增加,存活率將減少。按照解決第二問的模型,只需將此時不同的各年齡段大象的存活率代替原來的存活率,就可以求出此時應(yīng)該保持多大的繁殖率才能使種群保持穩(wěn)定。為了方便,可用采用計算機模擬的方法來確定移出的大象在哪個年齡段,考慮到計算機模擬的不確定性,可以對模擬結(jié)果進行檢驗。探討大象的存活率和當(dāng)前大象的年齡結(jié)構(gòu)下面將根據(jù)給出的近兩年來運出的大象

9、的數(shù)量與性別統(tǒng)計表,分析近兩年來的大象群落的情況,建立一個線性方程組數(shù)學(xué)模型,通過求解方程組得到年齡在2歲到60歲之間的大象的存活率,并給出大象各年齡所占的比例,進而得到這個大象群落的當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)。1、線性方程組模型的建立(1首先,計算一年中大象的頭數(shù)。大象群是由0歲,160歲,61歲70歲組成,且穩(wěn)定在11000頭。設(shè)0歲的頭數(shù)為X 0,160歲大象頭數(shù)為X 1,61歲70歲大象頭數(shù)為X 2。所以得到第一個方程:X 0+X 1+X 2=11000(I (2其次,考慮到前一年大象的總數(shù)等于前兩年存活下來的大象加上新生的幼兒再減去運出的大象數(shù)。設(shè)0歲大象的存活率為0p ,160歲大象的存活率為

10、1p ,61歲70歲大象的存活率為2p 。則經(jīng)過一年后,新生的大象存活下來的頭數(shù)為X 0×0p ;1到60歲的大象存活下來的頭數(shù)為X 11p ×61歲70歲的大象能存活下來的頭數(shù)為X 22p ×,因此得到第二個方程:(X 0×0p +X 11p ×+X 22p ×+X 0-622=11000(II 聯(lián)立(I 、(II 得到方程組:0120011220X +X +X =11000X + X + X + X -622=11000 p p p ×××(*2、模型的求解根據(jù)近兩年來運出的大象的數(shù)量與性別統(tǒng)計表,得

11、到如下分析結(jié)果:(1計算0歲的大象頭數(shù)由表中統(tǒng)計,1歲10歲的大象占1歲60歲的大象比例為:(67/620+169/876/2=15.05%所以得到:11歲60歲能生小象的母象占1歲60歲的大象比例為:(1-15.032%×0.5=42.48%因為能生小象的母象每3.5年生一頭小象,且雙胞胎的機會為1.35%,相當(dāng)于每年生0.2896頭,所以0歲的大象占1歲60歲的大象比例為:0.4248×0.2896=0.12303這樣0歲的大象共有:0X =0.12303×1 X (III (2計算60歲70歲的大象頭數(shù)從表中計算運出的59歲的大象占運出的總大象比率為:(14

12、/622+22/876/2=0.0238由于運出的大象都是1歲60歲的,所以0.0238也可看為59歲的大象占160歲的大象的頭數(shù)比例,得到60歲的大象占的比例為0.02381p ×,由假設(shè)可以知道:61歲70歲的大象頭數(shù)為:2X =1/2×10×0.02381p ××X 1(IV 60歲70歲的大象經(jīng)過一年能存活下來的頭數(shù)為:2 211X =(1/290.0238Xp p ×××××(V p p p p ×××××××

13、15;×××××又由假設(shè)知道,0歲大象的存活率為0p =75%代入上述方程組,然后用Mathematica 解之得:110.9897198864.85p X =再依次將1X 、1s 代入(III 、(V 和(IV 求得:201044.07X 1090.66X =所以,0歲大象的總頭數(shù)為1091(頭;160歲的大象的存活率為98.9719%,總頭數(shù)為8865(頭;61歲70歲的大象頭數(shù)為1091(頭。把070歲的大象分為八個年齡段,由假設(shè)知道,各個年齡段占總數(shù)可以用各個年齡段移出的頭數(shù)除以移出的總頭數(shù)來衡量。下面以110年齡段的大象頭數(shù)計算為例:

14、前一年總共移出622頭,其中110歲移出為67頭;前兩年總共移出876頭,其中110歲移出169頭。故110年齡段的大象頭數(shù)可以這樣計算:11X =671698865 (/2622 876×+=1332(頭其他的年齡段用同樣的方法計算,得到如下表(附餅形圖:表1(大象年齡結(jié)構(gòu)101216101117149圖1(大象年齡結(jié)構(gòu)餅圖 3、結(jié)果分析(1由結(jié)果可以知道,260歲大象的存活率為98.9718%,這與題目給出的大于95%是相一致的,所以可以認(rèn)為結(jié)果是合理的;(2從圖1可以看出,各個年齡段的大象所占的比例基本上是一樣的,2130歲和4150歲的大象比例相對比較大,因為這段大象正處于年

15、齡的黃金時期。由此,可以認(rèn)為求出的大象年齡也是合理的。估計每年注射避孕藥的母象頭數(shù)為了估計每年注射避孕藥的母象頭數(shù),首先建立一個按年齡分組的種群增長的差分方程模型;然后用Leslie 矩陣穩(wěn)定的充要條件分析如果不進行避孕注射種群的增長情況;最后仍然利用Leslie 矩陣穩(wěn)定的充要條件求出應(yīng)該保持多大的繁殖率才能使種群保持穩(wěn)定,進而利用一個方程求出每年注射避孕藥的母象頭數(shù)。1、按年齡分組的種群增長的差分方程模型的建立記時段k 第i 年齡組的大象數(shù)量為(i x k ,k=0,1,2,i=1,2,n,第i 年齡組的繁殖率為i b ,即第i 年齡組每個(母象個體在1個時段內(nèi)平均繁殖的數(shù)量,第i 年齡的

16、存活率為i s ,我們這里假設(shè)i b 和i s 不隨時段k 變化,在穩(wěn)定的環(huán)境下這個假設(shè)是合理的。i b 和i s 可由統(tǒng)計資料獲得。(i x k 的變化規(guī)律由以下的基本事實得到:時段k+1第1年齡組種群數(shù)量是時段k 各年齡組繁殖數(shù)量之和,即11(1(ni i i x k b x k =+=時段k+1第i+1年齡組的種群數(shù)量是時段k 第i 年齡組存活下來的數(shù)量,即1(1(,1,2,1i i i x k s x k i n +=記時段k 種群按年齡組的分布向量為12(,(,(Tn x k x k x k x k =由繁殖率i b 和存活率i s 構(gòu)成的矩陣為.00.00.00.000.00.00

17、00b b b b b b b s s s s L s =606159.000.00.0000.000.0.0000.000.0.0000.000.00 (0000.000 00.0s b b 根據(jù)Leslie 矩陣的性質(zhì)可以得到如下的定理:定理1:L 矩陣有唯一的正特征根1,且它是單重根的,1對應(yīng)正特征向量*12111221111.1,.,Tn n s s s s s s x =L 矩陣的其他n-1個特征根k 都是滿足1,2,3,.,k k n=該定理表明L 矩陣的特征方程n n n n n n n b b s b s s s b s s s +=只有一個正根,并且易知,*1Lxx =2、如

18、果不進行避孕注射種群的增長情況(1建立Leslie 矩陣首先,由第一問的求解知道,0歲的大象的存活率為0.75;160歲大象的存活率為0.989718;根據(jù)假設(shè)6170歲大象頭數(shù)是線性遞減的,而且到70歲所有的大象都死完了,所以很容易求出存活率為(1-0.11s ×=0.9×0.989718=0.8907;1160歲大象的繁殖率為0.1448。然后根據(jù)上面的矩陣L 建立起如果不進行避孕注射種群的增長的Leslie 矩陣如下所示:7171L ×=0.000.9897.00.00.000.00.0000.000.00.0000.000.0.98970.0000.000

19、.00.9897.0000.000.00.0000.000.00.0.98970這是一個71×71的矩陣。(2討論7171L ×的特征根,分析種群增長規(guī)律用Matlab 軟件求得特征根為R=1.0481,根據(jù)定理1知道,如果不進行避孕注射,該大象種群將無限增長下去(如果環(huán)境允許,所以要進行避孕注射。3、求出每年注射避孕藥的母象頭數(shù)根據(jù)Leslie 矩陣的性質(zhì)知道,要保持種群穩(wěn)定,必須使得特征根r=1,即使得下面式子成立:具體到本題來就是使得如下成立:1024900b s s (1+s +s +.+s =1解這個方程求出要保持大象種群的穩(wěn)定,繁殖率應(yīng)該為0b =0.0377保

20、持大象種群數(shù)量不變的繁殖率b 0與沒采取避孕時的繁殖率b 有一定的差距,所以需要避孕掉具有(b-b 0繁殖率母象所生的幼象。假設(shè)每年要避孕0n 頭大象,由于一次注射可以使得一頭成熟的母象在兩年內(nèi)不會受孕,所以每年實際上共有20n ×頭大象處于避孕期。這樣根據(jù)需要避孕掉具有(b-b 0繁殖率母象所生的幼象的數(shù)目等于注射避孕藥使得母象沒有繁殖幼象的數(shù)目這個條件得到一個方程:(1/285%X (0.1448-0.0377=2n 0.144810××××解之得0n =1393所以每年注射避孕藥的母象頭數(shù)為:1393(頭4、分析不確定因素的影響(1最初一

21、兩年避孕母象發(fā)情期增多,與未避孕母象產(chǎn)生競爭求偶的公象,使部分能懷孕的母象不能懷孕。而避孕的母象每月發(fā)情一次,會擾亂了正常求偶的母象,這樣會造成未避孕母象的繁殖率出現(xiàn)下降,避孕的母象數(shù)量應(yīng)該減少。(2隨著時間的增長,如果持續(xù)使用避孕藥,會使象的年齡結(jié)構(gòu)發(fā)生變化,象的結(jié)構(gòu)呈老齡化,所以隨著時間的增長,要保證象群的穩(wěn)定,避孕藥的使用量必定會逐年減少直至禁用?？紤]轉(zhuǎn)移大象時母象的避孕策略被轉(zhuǎn)移的大象只考慮處于160歲之間,轉(zhuǎn)移后的大象看成每年多死了這么多頭大象,即意味著死亡率將增加,存活率將減少。下面首先通過計算機模擬來確定移出大象后所需要進行避孕的母象頭數(shù);然后用理論去驗證計算機模擬的正確性。1、

22、通過計算機模擬確定需要進行避孕的母象頭數(shù)產(chǎn)生了n(可自己指定個01的隨機數(shù)。具體算法如下頁圖所示。圖2(計算機模擬流程圖 下面議n=100為例進行計算機模擬。令n=100,進行10次計算機模擬,得到當(dāng)運出大象頭數(shù)為100頭時,要使大象頭數(shù)穩(wěn)定在11000頭需避孕的大象頭數(shù)如下:第一次模擬:1164(頭第二次模擬:1195(頭第三次模擬:1192(頭第四次模擬:1167(頭第五次模擬:1206(頭第六次模擬:1163(頭第七次模擬:1207(頭第八次模擬:1190(頭第九次模擬:1173(頭第十次模擬:1178(頭10次模擬得到需避孕的大象頭數(shù)的平均數(shù)為1184頭。因此可以認(rèn)為當(dāng)運出大象頭數(shù)為1

23、00頭時,要使大象頭數(shù)穩(wěn)定在11000頭需避孕的大象頭數(shù)為1184頭。同理,可以得到題目中要求的當(dāng)運出大象50300頭要使大象頭數(shù)穩(wěn)定在11000頭需避孕的大象頭數(shù)分別為:出頭數(shù)孕頭數(shù)出頭數(shù)孕頭數(shù)圖3(運出大象數(shù)目與應(yīng)該避孕母象數(shù)目的關(guān)系 圖4(原始數(shù)據(jù)關(guān)系與擬合關(guān)系對比圖 2、用理論去驗證計算機模擬的正確性假設(shè)所轉(zhuǎn)移的大象是有目的的挑選的,即挑選大象時是按照第i (i=1,2,3,4,5,6年齡組所占比例進行的,這也是符合情理。設(shè)每年被轉(zhuǎn)移的大象共有M 頭,160歲的大象共有W 頭。設(shè)第i 年齡組占160歲的比例為i w ,第i 年齡組的存活率1i s ,則有1212212(/(/i i i

24、 i s X s w M w X w X s M X =××××=×則要保持大象群落穩(wěn)定,如第二問的做法有:102500112(1.1i b s s s s s ×××+=當(dāng)移出大象頭數(shù)M=50時,解得b=0.0455。所以,現(xiàn)在只需避孕1291頭,由計算機模擬得到的是1297頭,非常地接近。同樣的道理可以驗證當(dāng)M=60,70,80的時候也是與計算機模擬很接近的。由此,可以說明我們用計算機模擬的方法是有效的。模型的評價和改進方法1、模型的優(yōu)點(1本文解決問題的模型都是比較簡單的,但是這并不影響得到的結(jié)果的準(zhǔn)確性,因

25、為這些簡單的模型都有很強的理論依據(jù);(2在求解第二問的時候,充分利用Leslie 矩陣穩(wěn)定性理論來求解應(yīng)該讓多少母象進行避孕注射,這些理論在差分方程中都是經(jīng)典的理論,經(jīng)得起許多事實的考驗;(3第三問的求解中運用了計算機模擬方法來模擬移出大象屬于哪個年齡段,這樣不僅求解方便、簡潔(只需要把算法程序?qū)懞镁涂梢缘玫浇Y(jié)果,得到的結(jié)果與實際也更接近;(4第三問用計算機模擬得到數(shù)據(jù)后,又用理論去驗證,這樣使得結(jié)果更具有說服力;2、模型需要改進的地方(1因為假設(shè)了大象性別是嚴(yán)格地1:1關(guān)系,而實際中不一定那么地嚴(yán)格是這樣,所以如果能夠把各個年齡段大象的性別比例分別計算,那么模型的結(jié)果可能更接近實際;(2在進

26、行計算機模擬時,最開始的隨機數(shù)的產(chǎn)生個數(shù)只有幾十個,這幾十個隨機數(shù)不能很好的反映各個年齡段的大象所占的比重,這樣勢必會對結(jié)果造成一定的誤差;參考文獻:1、姜啟源數(shù)學(xué)模型(第三版M.北京:高等教育出版社20032、趙靜數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗(第2版M.北京:高等教育出版社20033、周曉陽數(shù)學(xué)實驗與MatlabM.武漢:華中科技大學(xué)出版社20024、鄭諫當(dāng)代數(shù)學(xué)的若干理論與方法M.上海:華東理工大學(xué)出版社20025、李尚志數(shù)學(xué)建模競賽教程M.江蘇:江蘇教育出版社1996附錄:1、計算機模擬Matlab程序代碼functionbys,b0=moni(nc=b/sum(b;b=cumsum(c'

27、a=rand(n,1;k1=0;k2=0;k3=0;k4=0;k5=0;k6=0;i=1;for i=1:nif(a(i<=b(1k1=k1+1;elseif(a(i>b(1&a(i<=b(2k2=k2+1;elseif(a(i>b(2&a(i<=b(3k3=k3+1;elseif(a(i>b(3&a(i<=b(4k4=k4+1;elseif(a(i>b(4&a(i<=b(5k5=k5+1;else(a(i>b(5&a(i<=b(6k6=k6+1;endends10=1-(11000*0.12*(1-0.9897+k1/(11000*0.12;s20=1-(11000*0.16*(1-0.9897+k2/(11000*0.16;s30=1-(11000*0.1*(1-0.9897+k3/(11000*0.1;s40=1-(11000*0.12*(1