空間向量與立體幾何1

1、資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除空間向量與立體幾何一、知識(shí)梳理1、空間向量及其運(yùn)算(1)空間向量的基本知識(shí)：定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線段表示空間向量,且方向相同、長(zhǎng)度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量?？臻g向量基本定理：i定理:如果三個(gè)向量知的、的不共面，那么對(duì)于空間任一向量5,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組X、y、Z,使"+4+窄。且把1孫外與)叫做空間的一個(gè)基底，%0%都叫基向量。ii正交基底：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直，那么這個(gè)基底叫正交基底。iii單位正交基底:當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量

2、都是單位向量時(shí)，稱為單位正交基底，通常用時(shí)表示.iv空間四點(diǎn)共面：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間中任意一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使OP=xOAyOSV2OC共線向量（平行向量）：i定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作2雇。規(guī)定:零向量與任意向量共線；ii共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量體平行的充要條件是：存在實(shí)數(shù)入，使1花。共面向量：i定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量。ii向量與平面平行:如果直線0A平行于平面或工在a內(nèi)，則說(shuō)向量】平行于平面a,記作見(jiàn)平行于同

3、一平面的向量，也是共面向量。iii共面向量定理：如果兩個(gè)向量3、后不共線，則向量7與向量2、否共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y,使二襁十河。iv空間的三個(gè)向量共面的條件:當(dāng)尸、%、51 / 11資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除都是非零向量時(shí)，共面向量定理實(shí)際上也是嚴(yán)、2、否所在的三條直線共面的充要條件,但用于判定時(shí)，還需要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。V共面向量定理的推論:空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y,使得或?qū)τ诳臻g任意一定點(diǎn)3 / 110有OP=CM+xMA+yMB空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量）、石，在空間任

4、取一點(diǎn)0,作樂(lè)=",屈二看（兩個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同），則叫做向量2與否的夾規(guī)定日>e 0,7f :e = Q。 0°C日 <90。6 = 90。9Q0<9 <180° = 180°兩個(gè)向量的數(shù)量積:i定義：已知空間兩個(gè)非零向量之、則卜陰3。”叫做向量信后的數(shù)量積，記作荔，即：二叩同89法ii規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。iii注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積也叫向量3、否的點(diǎn)積（或內(nèi)積）,它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù),它等于兩向量的模與其夾角的余弦值.iv數(shù)量積的幾何意義:叫做向量后在3方向上的投影（其中0為向量和后的夾角）。即：數(shù)量積石石等

5、于向量的模與向量否在）方向上的投影的乘積。v基本性質(zhì)：一丁*cos<a,b>="=，一=；”聞faj東5=00以±.E；-2_*B=*=(懣'(°)=卜vi運(yùn)算律:校換律；ab=bM水分配律；Ia+bI'c=a七十石匕；1r啜乘結(jié)合律；芯=*芯：|=小。百（其中a為實(shí)數(shù)）空間向量的線性運(yùn)算:定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下:加法：OB=0A+AB=a+b減法：=0AOB=ab數(shù)乘向量：0E二曲（'JR）運(yùn)算律:i加法交換律：/+$=,五加法結(jié)合律:也數(shù)乘分配律：期+功二工+勘2、空間向量的坐標(biāo)表示

6、:資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除(1)空間直角坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系Oxyz,在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底卜、"以點(diǎn)OAb為原點(diǎn)，分別以、/'上的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸:X軸、軸、Z軸，它們都叫做坐標(biāo)-Ab軸，點(diǎn)o叫做原點(diǎn)，向量2、/'上叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為xOy平面，yOz平面,zOx平面。右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向；(2)空間向量的坐標(biāo)表示：-A.已知空間直角坐標(biāo)系和向量2,且設(shè)、/'上為坐標(biāo)向量

7、，由空間向量基本定理知存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(巧的的)叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作“二(電，電)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)于空間任一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量0月,若OA=汨+yJ+z云4 / 11資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除,則有序數(shù)組（X,y,z）叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A（x,ys），其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)，寫點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)間的順序不能變。規(guī)定：一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn),于是，空間任意一個(gè)向量與它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng).一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)

8、的坐標(biāo)。設(shè)月（，了卜馬），巧,芍），貝ij：加二。B一。4二（電，%勺）一（網(wǎng),乃,馬）二（電孫匕一乃,.F（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)<="1，的，的'r3=i瓦，為，&1，則；a+T出也自1=|+見(jiàn)%+務(wù)?a-b=A=瓦,%一%，&修:mA.%以=Ni以,電，電=2電，N以2，2的1（Ne我）；1-儀卜=（%,為i=以自+2%+以步35®a/lb=2或，務(wù)=以二雞，電二叫,電=帆；A瓦片«AbA*dJ»b=0；囪十取為十%=0；_ab_ajb+a2b2+«ACOS<",>山.向M2+%

9、+a；.Qb：+&?，空間兩點(diǎn)間距離：耳舄二:。）2+（乃一乃，十七一4）2；空間線段印和氏巧）鳥（如當(dāng)，22）的中點(diǎn)M（x,y,Z）的坐標(biāo)：巧一演必，J-、I2，2，2）3.空間向量的應(yīng)用（1）空間線線、線而、面而位置關(guān)系的判定設(shè)直線1,m的方向向量分別為a,b,平面a,B的法向量分別為u,v,則線線平行：1maba=kb;線面平行：1/aa±uau=0;面面平行：aBuvu=kv。線線垂直：l±ma±ba-b=0；線面垂直：1_Laa/7ua=ku;面面垂直：a_L6u±vuv=0.（2）直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為3,直線與平面所成的

10、角為。，平面的法向量為n,直線與平面法向量的夾角為a,則sin6=osa=（3）平面與平面所成角5 / 11二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角(或其補(bǔ)多)整二面角的平面角的大小。設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為E和沉，二面角的大小為。，則(4)點(diǎn)到平面的距離,再根據(jù)圖形確定6取鈍角或銳角。設(shè);為平面a的法向量，48是經(jīng)過(guò)面。的一條斜線，Aec,則點(diǎn)8到平面a的距離d AB-n注：用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(化為向量問(wèn)題)(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及

11、它們之間距離和夾角等問(wèn)題;(進(jìn)行向量運(yùn)算)(3)把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義.(回到圖形問(wèn)題)二、基礎(chǔ)自測(cè)1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若,瓦則x=,y=。2、設(shè)A(331)4(1,0,5),C(0,1,0)的中點(diǎn)Af,貝!JICM1=3、A(1-24),B(4,2,3),<3(6,-1,4)4248(：的形狀是。4、證明：三向量a=el+u2,b=3el2e2,c=2el+3e2共面。三、典例精析例1如圖，在直四棱柱ABCD-A|BC|D|中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD,AB=43C=CD=2,AAI=2,E、E1、F分別是梭AD、AA、AB的中點(diǎn).

12、證明:直線EE平面FCC；(2)求二面角BFCC的余弦值.資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除例2如圖，在四棱錐PA8C。中，底面A8C。是矩形，。4_1平ffiABCD,Q4=AP=4,A3=2.以80的中點(diǎn)。為球心、BD為直徑的球面交PQ于點(diǎn)(1)求證：平面A8W_L平面尸CO;(2)求直線尸C與平面所成的角的正弦值；(3)求點(diǎn)0到平面ABM的距離.四、總結(jié)提升五、鞏固練習(xí)1、點(diǎn)B是點(diǎn)A(1,2,3)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則OB等于2、已知點(diǎn)4(1211),8(423),C(x,y,15)三點(diǎn)共線，那么x,y的值分別是、。3、已知空間四邊形Q48C,點(diǎn)分別為0ABe的中點(diǎn)，